Bài tập mặt cầu lớp 12 ✅ Đầy đủ
Thủ Thuật Hướng dẫn Bài tập mặt cầu lớp 12 Mới Nhất
Hà Trần Thảo Minh đang tìm kiếm từ khóa Bài tập mặt cầu lớp 12 được Cập Nhật vào lúc : 2022-09-15 15:10:31 . Với phương châm chia sẻ Bí kíp về trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi đọc Post vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha., = Ìa’M.A’P.A'1 = j.|44 = 6 6 2 4 3 §2. MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa Tập hợp những điểm trong không khí cách điểm o cố định và thắt chặt một khoảng chừng cách R cho trước gọi là mặt cầu có tâm là o và bán kính bằng R. Kí hiệu: S(O; R). Như vậy: S(O; R) = [M I OM = Rị a) Nếu trên mặt cầu S(O; R) ta lấy điểm A nào đó, thì đoạn thẳng OA cũng khá được gọi là bán kính của mặt cầu. Nếu gọi B là vấn đề đôi xứng của A qua điếm o thì điểm B nằm trên mặt cầu. Đoạn thẳng AB gọi là đường kính của mặt cầu. b) Cho M là một điểm bất kì, ta có những trường hợp sau: Nếu OM - R thì điểm M nằm trên mặt cầu. Nếu OM > R thì ta nói rằng điểm M nằm ngoài mặt cầu. Nếu OM < R thì ta nói rằng điểm M nằm trong mặt cầu. VỊ trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc cúa o trên mp(P) và đặt d = OH (d là khoảng chừng cách từ điểm o đến mp(P)). Khi đó: Nếu d < R thì mp(P) cắt mặt cầu S(O; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng (P) có tâm là H và có bán kính là r = Ợr2 - d2 < Nếu d - R thì mp(P) và mặt cầu S(O; R) chỉ có một điểm chung duy nhât lả H, ta nói đường thẳng A tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại H, điểm H gọi là tiếp điếm và A gọi là tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm H. Nếu d > R thì đường thẳng A không cắt mặt cầu S(O; R). Định lí 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O; R) có vô sô' tiếp tuyến của mặt cầu (S). Tất cả những tiếp tuyến này đều nằm trên tiếp diện của mặt cầu tại điểm A. Định lí 2: Qua điếm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S). Độ dài những đoạn thẳng kẻ từ A tới những tiếp tuyến đều bằng nhau. Mặt cầu ngoại tiếp một hình đa diện Một mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện H, và hình đa diện H gọi là nội tiếp trong mặt cầu đó. Bất kì hình tứ diện nào thì cũng xuất hiện cầu ngoại tiếp. Xét hình tứ diện ABCD. Gọi A là trục của đường tròn ngoại tiếp ABCD và (P) là mặt trung trực của cạnh AB, thì tam giác o của mặt cầu ngoại tiếp ABCD là giao diện cua A và (P). Hình chóp S.AiA-2... Aj xuất hiện cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy AiA2...A„ có đường tròn ngoại tiếp. Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác AiA2...An và mặt trung trực một cạnh bên của hình chóp. Hình lăng trụ A1A2...An. A'j A'2...A'n xuất hiện cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng và đáy có đường tròn ngoại tiếp. Gọi I, F lần lượt là tâm hai đáy (tâm đường tròn ngoại tiếp), thì tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình lăng trụ là trung điếm o của đoạn thẳng II'. Mặt cầu nội tiếp hình đa diện Nếu có một mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cả những mặt của một hình đa diện H thì ta nói (S) là mặt cầu nội tiếp trong hình đa diện H và H gọi là hình đa diện ngoại tiếp (S). Diện tích mặt cầu và thế tích khôi cầu Mặt cầu bán kính R có diện tích s quy hoạnh là: s = 4nR2. Khối cầu bán kính R có thê tích là: V = 4nR:!. 3 B. BÀI TẬP Bài 1. Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong không khí luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định và thắt chặt dưới một góc vuông. Giái |m|AMB = 90° = s O; AB Gọi o là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có: Vậy tập hợp những điểm M nhìn đoạn thẳng cố định và thắt chặt AB dưới một góc vuông . _ AR là mặt cầu tâm o bán kính R = ——. 2 Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả những cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó. Giải Kẻ đường cao AH của hình chóp thì H là tâm của đáy ABCD. Ta có SA = SC = a, AC = 2 Suy ra AC2 = SA2 + sc2 = 2a3 Do đó ASAC vuông tại s. Chứng minh tương tự, ASBD vuông tại s. Ta được: HA = HB = HC = HD Do vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là H và có bán kính R = ■ Bài 3. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cô định cho trước. Giải Xét đường tròn (T) tâm I bán kính r, A là vấn đề bất kì trên (T). Gọi A là trục của đường tròn (T) thì A là đường thẳng cố định và thắt chặt. * Lấy điểm o bất kì trên A và đặt d = OI. Tam giác IAO vuông tại I nên: A OA = Via2 + OT = V?-2 + d2 Như vậy, mặt cầu (S) tâm o bán kính R = Vr2 + d2 đi qua đường tròn (T). (T) thì ta có: VA e (T) * Đảo lại, giả sử (S) là mặt cầu tâm 0 bán kính R chứa đường tròn ÍOA = R Vậy tập hợp tâm những mặt cầu luôn chứa đường tròn (T) là trục A của đường tròn (T). Bài 4. Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước. Ta xét tam giác ABC. Gọi (T) là đường tròn tâm I nội tiếp trong AABC, (T) tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA lần lượt tại những điếm M, N, p. Suy ra: IM = IN = IP và IM 1 AB, IN 1 BC, IP 1 CA. Dựng đường thẳng A là trục của đường tròn (T). Như thế, nếu lấy điểm K bất kì trên A ta đều có: KM 1 AB, KN 1 BC, KP 1 CA và KM = KN = KP. Do đó, với o là một điểm bất kì trong không khí, ta có: OM = ON = OP OM 1 AB, ON 1 BC, OP 1 CA Điều kiện (*) tương đương với: 0 là tâm của mặt cầu (S) tiếp xúc với AB, BC, CA tại M, N, p. Vậy có vô sô mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của AABC, tập hợp những tâm o của những mặt cầu này là trục A của đường tròn nội tiếp AABC. Bài 5. Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O; r) ta kẻ hai tuyến đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và c, D. Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD. Gọi MO = d. Tính MA, MB theo r và d. Gọi A là một cát tuyến của mặt cầu (S) đi qua M, cắt mặt cầu tại hai điểm A và B. Dựng mặt phẳng (P) qua 0 và A, mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn lớn (T). Trong mặt phẳng (P) ta có: P(M/(T) = MẨ, MB = MA.MB = d2 - r2 với d = OM (do điểm M nằm bên phía ngoài (S)) Tương tự ta cũng luôn có thể có: MC.MD = d2 - r2. Vậy MB.MB = MC.MD. Theo câu a ta có: MA.MB = d2 - r2 Bài 6. Cho mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với mặt phắng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là vấn đề đối xứng với I qua tâm o. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B. Chứng minh rằng AMB - AIB. Giải Theo giả thiết ta có OI 1 mp(P) tại điểm I. Vì IA và IB là những tiêp tuyến của (S) tại I nên OI 1 IA và OI ± IB. Xét hai tam giác AIB và AMB ta có: + AI = AM (hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ A) + BI = BM (hai đoạn tiếp tiếp tuyến kế từ B) Do đó hai tam giác trên bằng nhau. Suy ra: AMB = AIB. Bài 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó. Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên. Gọi Ũ là tâm của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', thì o là tâm của mặt cầu (S) qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật. Bán kính của (S) là: R = 4 Va2 + b2 + c2 2 Mặt phẳng (ABCD) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (T) tâm I, với I là giao điểm của AC và BD. Bán kính của đường tròn (T) là: Bài 8. Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của những cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau. Giải Ta có: AH = AI = AJ (những đoạn tiếp tuyến kẻ từ A) BH = BL = CK (những đoạn tiếp tuyến kẻ từ B) CM = CI = CK (những đoạn tiếp tuyến kế từ C) DM = DJ = DL (những đoạn tiếp tuyến kẻ từ D) Do đó: AB + CD = (AH + BH) + (CM + DM) = (AI + BL) + (CI + DL) = (AI + CI) + (BL + DL) = AC + BD Chứng minh tương tự, ta được: AB + CD = AD + BC Vậy AB + CD = AC + BD = AD + BC Bài 9. Cho một điểm A cố định và thắt chặt và một đường thẳng a cố định và thắt chặt không đi qua A. Gọi o là một điểm thay đổi trên a. Chứng minh rằng những mặt cầu tâm o bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định và thắt chặt. Giải Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại I, vì A và a cố định và thắt chặt nên (P) là mặt phẳng cố định và thắt chặt. Do đó I cũng là một điểm cố định và thắt chặt. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (T) bán kính IA, rõ ràng (T) là một đường tròn cố định và thắt chặt nằm trên (P). Vậy mặt cầu (S) luôn đi qua đường tròn cố định và thắt chặt (T). Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, sc = c và ba cạnh SA, SB, sc đôi một vuông góc. Tính diện tích s quy hoạnh mặt cầu và thể tích khôi cầu được tạo nên là mặt cầu đó. Giải Tam giác SAB vuông tại s nên trung điểm của AB là tâm đường tròn ngoại tiếp ASAB. Từ giả thiêt suy ra sc ± (SAB). Do đó nếu qua I dựng đường thẳng A vuông góc với mp(SAB) thì A là trục của đường tròn ngoại tiếp ASAB. Qua trung điểm J của sc ta dựng mặt trung trực của sc, mặt phẳng này cắt A tại o. Điểm o là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Ta CÓ AB Va2 + b2 Ó: —— = c B 2 2 Từ tam giác SIO vuông tại I cho: so = 75F7S7 = = c2 + b2 + c2 _ Va2 + b2 + c2 4 - 2 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: R = ị Va2 + b2 + c2 2 Diện tích của mặt cầu: S(m/c) = 4rcR2 = 71 Va2.+ b2 + c2 Thể tích của khối cầu: v _ i nR3 = 7t.Ợ(a2 + b2 + c2):i 3 6
Tailieumoi xin ra mắt đến những quý thầy cô, những em học viên đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Khối cầu, mặt cầu Toán lớp 12, tài liệu gồm có 20 trang, tổng hợp 5 dạng bài tập với 24 thắc mắc Khối cầu, mặt cầu đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải rõ ràng và bài tập có lời giải, giúp những em học viên có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và kỹ năng và sẵn sàng sẵn sàng cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc những em học viên ôn tập thật hiệu suất cao và đạt được kết quả như mong đợi.
Tài liệu Các dạng bài tập về Khối cầu, mặt cầu có đáp án gồm những nội dung sau:
A. Lý thuyết trọng tâm
- Tóm tắt kiến thức và kỹ năng trọng tâm cần nhớ về Khối cầu, mặt cầu
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
- Tóm tắt ngắn gọn phương pháp giải và 15 bài tập có đáp án và lời giải rõ ràng
Dạng 2. Mặt cầu nội tiếp khối đa diện
- Tóm tắt ngắn gọn phương pháp giải và 2 bài tập có đáp án và lời giải rõ ràng
Dạng 3. Bài toán cực trị
- Tóm tắt ngắn gọn phương pháp giải và 2 bài tập có đáp án và lời giải rõ ràng
Dạng 4. Bài toán thực tế
- Tóm tắt ngắn gọn phương pháp giải và 3 bài tập có đáp án và lời giải rõ ràng
Dạng 5. Dạng toán tổng hợp
- Tóm tắt ngắn gọn phương pháp giải và 2 bài tập có đáp án và lời giải rõ ràng
Mời những quý thầy cô và những em học viên cùng tham khảo và tải về rõ ràng tài liệu dưới đây:
BÀI 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU
A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định nghĩa
- Tập hợp những điểm trong không khí cách điểm O cố định và thắt chặt một khoảng chừng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O, bán
kính R, kí hiệu là: S (O;R). Khi đó S (O;R) = M;OM=R
- Khối cầu hay hình cầu S (O;R) là tập hợp tất cả những điểm M sao cho OM ≤ R .
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và một điểm
Cho mặt cầu S (O;R); và một điểm A. Nếu:
+) OA = R thì điểm A nằm trên mặt cầu S (O;R);
+) OA > R thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S (O;R);
+) OA < R thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S (O;R).
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S (I;R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ hay d (I; ∆) = IH
Nếu:
+) IH > R : ∆ không cắt mặt cầu hay mặt cầu S (I;R) và đường thẳng ∆ không còn điểm chung.
+) IH = R thì ∆ với mặt cầu S (I;R) có một điểm chung duy nhất là H. Ta nói ∆ là một tiếp
tuyến của mặt cầu S (I;R) và H là tiếp điểm.
+) IH < R : ∆ cắt mặt cầu S (I;R) tại hai điểm phân biệt.
Xem thêm
Trang 1
Trang 2
Trang 3
Trang 4
Trang 5
Trang 6
Trang 7
Trang 8
Trang 9
Trang 10
Tải thêm tài liệu liên quan đến nội dung bài viết Bài tập mặt cầu lớp 12 Khỏe Đẹp Bài tập