Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số y=1-sin5x ✅ Đầy đủ
Thủ Thuật về Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số y=1-sin5x Mới Nhất
Lê Hải Hưng đang tìm kiếm từ khóa Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số y=1-sin5x được Cập Nhật vào lúc : 2022-09-29 22:30:37 . Với phương châm chia sẻ Mẹo Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi Read tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Ad lý giải và hướng dẫn lại nha.
Xét tính chẵn, lẻ, chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác và cách giải - Toán lớp 11
1. Lý thuyết
a) Tính chẵn, lẻ của hàm số:
* Định nghĩa:
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: ∀x∈D thì −x∈D và f(-x) = f(x).
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: ∀x∈D thì −x∈D và f(-x) = - f(x).
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
* Đối với hàm số lượng giác:
- Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên D = R.
- Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên D = R.
- Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên D=ℝπ2+kπ;k∈ℤ.
- Hàm số y = cotx là hàm số lẻ trên D=ℝkπ;k∈ℤ.
b) Tính tuần hoàn và chu kì của hàm số:
* Định nghĩa:
- Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T≠0 sao cho với mọi x∈D ta có (x+T)∈D; (x−T)∈D và f(x + T) = f(x).
- Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn những điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f.
* Đối với hàm số lượng giác:
Hàm số y = sinx; y = cosx tuần hoàn với chu kì 2π.
Hàm số y = tanx; y = cotx tuần hoàn với chu kì π.
2. Các dạng bài tập
Dạng 1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
- Nếu D là tập đối xứng (tức là ∀x∈D⇒−x∈D), ta thực hiện tiếp bước 2.
- Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là ∃x∈D mà −x∉D), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Bước 2: Xác định f(-x), khi đó:
- Nếu f(-x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.
- Nếu f(-x) = - f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.
- Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của những hàm số:
a) y = f(x) = sinx + tan2x
b) y = f(x) = cos3x + sin22x
c) y = f(x) = cosx + tan2x
Lời giải
a) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó ∀x∈D thì −x∈D.
Ta có: f(-x) = sin(-x) + tan(-2x) = - sinx – tan2x = - (sinx + tan2x) = -f(x).
Vậy y = sinx + tan2x là hàm số lẻ.
b) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó ∀x∈D thì −x∈D.
Ta có: f(-x) = cos(-3x) + sin2(-2x) = cos3x + (-sin2x)2 = cos3x + sin22x = f(x).
Vậy y = cos3x + sin22x là hàm số chẵn.
c) Điều kiện xác định:
cos2x≠0⇔2x≠π2+kπ⇔x≠π4+kπ2; k∈ℤ
Tập xác định: D=ℝπ4+kπ2;k∈ℤ.
∀x∈D⇒x≠π4+kπ2, k∈ℤ, ta có:
−x≠−π4−kπ2=π4−π2−kπ2=π4−(k+1)π2; k∈ℤ
Đặt m=−(k+1), k∈ℤ, khi đó: −x≠π4+mπ2; m∈ℤ⇒ −x∈D.
Ta có: f(-x) = cos(-x) + tan(-2x) = cosx – tan2x
Nhận thấy: f−x≠fx và f−x≠−fx
Vậy f(x) = cosx + tan2x không phải là hàm số chẵn, không phải là hàm số lẻ.
Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ của những hàm số:
a) y = f(x) = |x|sinx
b) y = f(x) = cos(2x+1)
c) y=fx=sin2x+π2.cos3x
d) y=fx=sinx+tan2x2cotx
Lời giải
a) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó ∀x∈D thì −x∈D.
Ta có: f(-x) = |-x|sin(-x) = x.(-sinx) = -x.sinx = -f(x)
Vậy y = |x|sinx là hàm số lẻ.
b) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó ∀x∈D thì −x∈D.
Ta có: f(-x) = cos[2(-x)+1] = cos(-2x+1) = cos(2x-1)
Nhận thấy f−x≠fx và f−x≠−fx
Vậy hàm số y = cos(2x-1) không phải hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ.
c) Tập xác định: D = R là một tập đối xứng. Do đó ∀x∈D thì −x∈D.
y=fx=sin2x+π2.cos3x
=sinπ2−−2x.cos3x=cos(-2x).cos3x = cos2x.cos3x
Ta có: f(-x) = cos(-2x) cos3(-x) = cos2xcos3x = f(x)
Vậy hàm số y=sin2x+π2.cos3x là hàm số chẵn.
d) Điều kiện xác định:
cos2x≠0sinx≠0cotx≠0⇔2x≠π2+kπx≠kπx≠π2+kπ⇔x≠π4+kπ2x≠kπx≠π2+kπ⇔x≠kπ4; k∈ℤ
Tập xác định: D=ℝkπ4; k∈ℤ
∀x∈D⇒x≠kπ4, k∈ℤ, ta có: −x≠−kπ4=−kπ4; −k∈ℤ, khi đó −x∈D
Ta có:
f−x=sin−x+tan−2x2cot−x=−sinx−tan2x−2cotx=sinx+tan2xcotx=fx
Vậy y=sinx+tan2x2cotx là hàm số chẵn.
Dạng 2: Xét tính tuần hoàn, tìm chu kỳ luân hồi của hàm số lượng giác
Phương pháp giải:
- Xét tính tuần hoàn và chu kì bằng định nghĩa.
- Sử dụng những kết quả sau:
+ Hàm số y = sin(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T=2πa.
+ Hàm số y = cos(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T=2πa.
+ Hàm số y = tan(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T=πa.
+ Hàm số y = cot(ax + b) là một hàm số tuần hoàn với chu kì T=πa.
+ Nếu hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y = Af(x) (với A khác 0) tuần hoàn với chu kì T.
+ Nếu hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì T thì hàm số y = f(x) + c (c là hằng số) tuần hoàn với chu kì T.
+ Nếu hàm số y = f1(x); y = f2(x);… y = fn(x) tuần hoàn với chu kì lần lượt là T1; T2; … Tn thì hàm số y=f1x±f2x±...±fnx tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của T1; T2; … Tn.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm chu kì (nếu có) của những hàm số:
a) y = sin2x +1
b) y=−3tan4x+π3
c) y = cos2x -1
d) y = sin2(2x - 3) + 5
Lời giải
a) Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì 2π2=π.
Vậy hàm số y = sin2x +1 tuần hoàn với chu kì π.
b) Hàm số y=−3tan4x+π3 tuần hoàn theo chu kì π4.
c) Ta có: y=cos2x−1=1+cos2x2−1=12cos2x−12
Hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì 2π2=π.
Vậy hàm số y = cos2x - 1 tuần hoàn với chu kì π.
d) Ta có: y=sin22x−3+5=1−cos4x−62+5=−12cos4x−6+112.
Hàm số y = cos(4x+6) tuần hoàn với chu kì 2π4=π2.
Vậy hàm số y = sin2(2x-3) + 5 tuần hoàn với chu kì π2.
Ví dụ 2: Tìm chu kì (nếu có) của những hàm số:
a) y=sin3x+tan2x+π4
b) y= cos2x–sinx2+1
c) y = sin4x.cos2x
d) y=sinx+cos2x
Lời giải
a) Hàm số y = sin3x tuần hoàn với chu kì 2π3.
Hàm số y=tan2x+π4 tuần hoàn với chu kì π2.
Vậy hàm số y=sin3x+tan2x+π4 tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của 2π3 và π2, do đó T=2π.
b) Hàm số y=cos2x=1+cos2x2 tuần hoàn với chu kì 2π2=π.
Hàm số y=sinx2 tuần hoàn với chu kì 2π:12=4π.
Vậy hàm số y= cos2x–sinx2+1 tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của π và 4π, do đó T=4π.
c) Ta có: y = sin4x.cos2x=12sin4x+2x+sin4x−2x=12sin6x+sin2x
Hàm số y = sin6x tuần hoàn với chu kì 2π6=π3.
Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì 2π2=π.
Vậy hàm số y = sin4x.cos2x tuần hoàn với chu kì T là bội chung nhỏ nhất của π3 và π, do đó T=π.
d) Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2π.
Hàm số y=cos2x tuần hoàn với chu kì 2π2=2π.
Giả sử T là bội chung nhỏ nhất của 2π và 2π. Khi đó tồn tại m,n∈ℤ; m,n≠0 sao cho: T=m2π=n2π.
⇒nm=2π2π=2 (vô lí vì 2 là số vô tỉ, nm là số hữu tỉ)
Do đó không tồn tại bội chung nhỏ nhất của 2π và 2π.
Vậy hàm số y=sinx+cos2x không tuần hoàn.
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số f(x) = cot2x và g(x) = cos5x chọn mệnh đề đúng
A. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số chẵn
B. f(x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ
C. f(x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn
D. f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ
Câu 2. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = sinx
B. y = cos2x
C. y = cotx
D. y = tan3x
Câu 3. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = sin2x + cosx
B. y = sinx – sin2x
C. y = cot2x.cosx
D. y = sinx.cos2x
Câu 4. Cho hàm số y=sinxcos2x−3. Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số là hàm số lẻ
B. Hàm số là hàm số chẵn
C. Hàm số không chẵn không lẻ
D. Hàm số có tập xác định D = R3
Câu 5. Trong những hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A. sinx.cos3x
B. cotxcos3x+4
C. cosx + sin2x
D. sin3xcos2x−π2
Câu 6. Trong những hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
A. sin3x+1cosx
B. sinx+xcos2x+2
C. tan22x
D. cot4x
Câu 7. Trong những hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ?
A. y=sinx+π4
B. sin3x
C. y=3cos2x−π3
D. y=3sin2x−π2
Câu 8. Hàm số y=cos3x+sinx3 tuần hoàn với chu kì?
A. 6π
B. π
C. 3π
D. π3
Câu 9. Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì?
A. 2π
B. 4π
C. π2
D. π
Câu 10. Hàm số y = tanx + cot4x tuần hoàn với chu kì?
A. π4
B. 4π
C. π2
D. π
Câu 11. Hàm số y=sinx+12sin2x+13sin3x tuần hoàn với chu kì?
A. 4π
B. π
C. 2π
D. 6π
Câu 12. Hàm số y=2cos2πx+1 tuần hoàn với chu kì?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 13. Hàm số y = 3sinx.cos3x + 1 tuần hoàn với chu kì:
A. π3
B. 2π
C. π2
D. π
Câu 14. Trong những hàm số sau, hàm số nào nào không tuần hoàn:
A. y = tan22x + 1
B. y = sin5x – 4cos7x
C. y=sinx+sin(x2)
D. y=3sin2x−2
Câu 15. Trong những hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A. y = sin x – x
B. y = -2cos3x + 2
C. y = xsin2x
D. y = x4 + x2 + 1
Bảng đáp án
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
C
B
A
A
D
B
B
A
D
D
C
A
D
C
B
Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải rõ ràng khác:
Cách tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác rõ ràng nhất
Cách giải phương trình lượng giác cơ bản rõ ràng nhất
Phương trình số 1 đối với hàm số lượng giác và cách giải
Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác và cách giải
Phương trình số 1 đối với sinx, cosx và cách giải
Tải thêm tài liệu liên quan đến nội dung bài viết Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số y=1-sin5x