Chào mừng bạn đến blog Kế Toán.VN Trang Chủ

Table of Content

Home
BàiTập
BaoLâu

Mode7 casi tại sao start là ✅ Mới nhất

Mẹo về Mode7 casi tại sao start là 2022

Bùi Thảo Ngọc đang tìm kiếm từ khóa Mode7 casi tại sao start là được Cập Nhật vào lúc : 2022-11-22 16:50:14 . Với phương châm chia sẻ Thủ Thuật Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi Read Post vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Tác giả lý giải và hướng dẫn lại nha.

See other formats


VƯƠNG THANH BÌNH (Giáo viên luyện thi kinh nghiệm tay nghề tại website Moon) © ^ Tài liệu tham khảo dành riêng cho giáo viên Ôn luyện thi THPT Quắc giã NHÀ XUẤT BẢN THANH HÓA T401 Các em học viên và toàn thể thầy cô thân mến! Kì thi tuyển sinh đại học năm 2022 là năm đầu tiên thi theo hình thức trắc nghiệm. Vơi một đề thi 50 câu, thí sinh sẽ được làm trong 90 phút. Như vậy một thắc mắc chỉ được phép làm trong thời gian 1 phút 48 giây là khoảng chừng thời gian cực kỳ ngắn. Để hoàn thiện hết đề thi trong một khoảng chừng thời gian ngắn như vậy thì vai trò của máy tính Casio là đặc biệt quan trọng. Trong cuốn sách này tác giả xin giói thiệu 33 Thủ thuật máy tính Casio để giải nhanh những dạng toán trắc nghiệm 12. Mỗi thủ thuật ứng vói một chủ đề. Trong mỗi chủ đề được chia ra làm hai phần: những ví dụ đầu được thiết kế ở dạng đơn giản, học viên chỉ được biết được thủ thật, bấm máy tính Casio là biết được đáp án nào là đáp án đúng A, B, c hay là D mà tránh việc phải biết phương pháp làm tự luận. Phần hai là những ví dụ được thiết kế ở dạng nâng cao, dạng hạn chế sự lợi hại của máy tính Casio, để làm được những bài toán này thì đòi hỏi sự phối hợp cao giữa tư duy tự luận và thủ thuật máy tính Casio Cuốn sách phân thành 5 phần phủ kín chương trình lóp 12 (đồng thơi là toàn bộ chương trình thi Đại học năm 2022) trừ chương hình không khí được tác giả ra mắt trong cuốn "Bí kíp giải nhanh hình học không khí" cùng tác giả. 5 phần trên'gồm có: “ 8 Thủ thuật tư duy Casio tìm nhanh Giá trị lớn số 1 giá trị nhỏ nhất, tính đồng biến ngịeh biến, cực trị, tiếp tuyến, số lượng giới hạn, đạo hàm... của hàm số, tìm nhanh tiệm cận, sự tương giao của đồ thị hàm số - 9 Thủ thuật tư duy Casio tìm nhanh nghiệm, số nghiệm của phương trình bất phương trình Mũ“Logarit, so sánh 2 đại lượng Mũ-Logarit, tính giá trị biểu thức Mũ~ Logarit... » 6 Thủ thuật tư duy Casio tìm nhanh nguyên hàm, tích phân, diện tích s quy hoạnh hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, quãng đường vật hoạt động và sinh hoạt giải trí, giải những bài toán hạn chế máy tính Casio » 5 Thủ thuật tư duy Casio giải nhanh bài toán vị trí tương đối, góc, khoảng chừng cách, thể tích, hình chiếu vuông góc trong hình tọa độ không khí Oxyz - 5 Thủ thuật tư duy Casio giải nhanh bài toán tìm số phức, môđun, số phức phối hợp, số phức nghịch đảo, acgumen số phức, màn biểu diễn hình học số phức, quỹ tích điểm biểu diễn SỐ phức, tìm min max môđun số phức, giải phương trình số phức.. Hơn nữa, những ví dụ minh họa trong cuốn sách đều update nhất theo cấu trúc của Bộ Giáo dục đào tạo - Đào tạo. Các ví dụ được trích từ nguồn uy tín là đề thi thử Đại học của những trường chuyên trên toàn nước vừa thi cách đó ít hôm như: chuyên Khoa học tự nhiên, chuyên Lam Sơn, chuyên Sư phạm, chuyên Vĩnh Phúc, chuyên Bắc Ninh ... Với nhiều năm kinh nghiệm tay nghề dạy Online tại website www.moon và đi đầu trong việc mở lóp luyện thi trắc nghiệm Online và oííline vào Đại học Quốc gia Hà nội, tác giả kỳ vọng cuốn sách sẽ giúp những em học viên rút ngắn tối đa thời gian hoàn thành xong đề thi và tránh sai sót trong việc tính toán, đồng thời giúp hiệp hội giáo viên có nguồn tài liệu tham khảo quý giá. Trong thời gian hoàn thành xong tác phẩm này, tôi xin cảm ơn hội giáo viên off Tp Hà Nội Thủ Đô, anh em giáo viên Online và đặc biệt những giáo viên trong bộ môn Toán của website moon đã động viên về mặt tinh thần, góp ý về mặt kiến thức và kỹ năng để tác phẩm được ra mắt bạn đọc. Dù đã rất nỗ lực, ngăn nắp tòng câu chữ nhưng không tránh được thiếu sót. Rất mong sự ủng hộ và sự góp ý chân thành từ phía bạn đọc. A' HAM SO ¥A BAI TOAN um QUAN T. CASIO GIẢI ĐÊ MINH HỌA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂN 2 NĂM 2022 Câu 1 “ [Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = X 4-1 A. X = 1 B. y = -1 c.y = 2 D.x = “l Giải Ta có ; lim — = - cc => y = -1 là tiệm cận đứng •V~>! x+l " a2Q)+lRQ)+lrpl+0.0000000001= 0 Math ▲ 2X+1 x+i -9999999998 => Đáp SỐ đúng là B Chủ ỷ : Ta thường nhầm lẫn đường thẳng X = x 0 vơi x 0 là nghiệm của phương trình mẫu số bằng 0 luôn là tiệm cận đứng là không đúng ! (Xem câu 8 thì sẽ thấy rõ điều này) (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh tiệm cận của đô thị hàm số) Câu 2 - [Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017] Đồ thị hàm số y = X 4 -2x 2 +2 và đồ thị hàm số y = -X 2 +4 có tất cả bao nhiêu điểm chung A. 0 B. 4 GI D. 2 Giải Số điếm chưng của hai đồ thị hàm số đó đó là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:x 4 “2x 2 + 2 = ~x 2 + 4<=> x 4 -X 2 “2 = 0 (1) Máy tính Casio chỉ giải được phương trình bậc 3 , không giải được phương trình bậc 4. Vì vậy để máy tính hoàn toàn có thể làm được ta tiến hành đặt ẩn phụ t = x 2 . Khi đó (1) oí 2 -í-2 = 0 w531=pl=p2== 0 MathV 0 MathVá Xi= JÍ2= 2 -1 Vói í = 2=>x 2 = 2=> x = +V 2 , Với t = -1 => X 2 =-l (vô nghiêm) Tóm lại sở hữu 2 nghiệm X suy ra 2 giao điểm => Đáp số đúng là D (Xem chỉ tỉêl thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải nhanh sự tương giao của hai đô thị hàm sô) 3 Câu 3 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017] Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong như hình vẽ trên. Hàm số f(x) đạt cực lớn tại điểm nào dưới đây? A. x = -2 B. x = -l c.x = l D. x = 2 Giải > Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy rõ ràng: điểm có hoành độ x = -l sẽ sinh ra điểm cực lớn của đồ thị hàm số > Chủ ỷ : tránh nhầm lẫn với điểm có hoành độ X = 2 sẽ sinh ra giá trị lớn số 1 của hàm số => Đáp số đúng là B Câu 4“ [Đề minh họa Bộ GD và ĐT Tân 2 năm 2017]. Cho hàm số y = X 3 - 2x 2 + X +1. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng chừng ^~;1 B. Hàm SỐ nghịch biến trên khoảng chừng oc;i c Hàm SỐ đồng biến trênQ;l D. Hàm số nghịch biển trên khoảng chừng (l; + oc) Giải Hàm số bậc 3 đồng biến nếu y ’ > 0 nghịch biến nếu y' < 0 . Để xét điều này ta sử dụng tính năng đạo hàm của máy tính Casio Xét y ’(5) > 0 => Đáp số D sai qyQ) A 3$p2Q)d+Q.)+l$2= 0 Math A Jf(X 3 -2X 2 +X+l)|l> 5 Xét y'(~2) > 0 => Đáp SỐ B sai !!op2= B Math ầ, ^(X 3 -2X 2 +X+1)|> 21 Xét x’(0) > 0 Đáp số c đúng A sai=> Đáp số đúng là c !!oo0= 0 Math A ^(X 3 -2X 2 +X+1)|I> 1 (Xem chỉ tiết thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm khoảng chừng đông biến nghịch biến hàm số) 4 Câu 6 -ĩĐề minh họa Bộ GD và ĐT lân 2 năm 2022] X 2 +3 Cho hàm số y - ——““ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? X +1 A. Cực tiểu của hàm số bằng -3 B. Cực tiểu của hàm số bằng 1 c. Cực tiểu của hàm số bằng -6 D. Cực tiểu của hàm số bằng 2 Giải Tính đạo hàm / = ————^—-—- = --——- . Ta chỉ quan tâm đến tử số vì hoành (x+l) độ điểm cực trị là nghiệm phương trình tử số = 0, Giải phương trình X 2 + 2x - 3 = 0 <=> Tiếp theo là xác định hoành độ điểm cực tiểu là bao nhiêu ? Ta sử dụng tính năng tính đạo hàm qyaQ)d+3RQ)+l$$0.9= 0 Math ▲ dx( K+i )lx=0.9 -0.108033241 Ta thây y’(0.9) <0=> Qua điểm X = 1 đạo hàm đổi dâu từ âm (-) sang dương (+) => Hàm số có điểm cực tiểu X = 1 => Cực tiểu (giá trị cực tiểu) là: 2 => Đáp số đúng là D (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải nhanh bài toán cực trị hàm số) Câu 7 -fĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2022] Một vật hoạt động và sinh hoạt giải trí theo quy luật s = +9í 2 với t (giây) là khoảng chừng thời gian tính từ lúc vật khởi đầu hoạt động và sinh hoạt giải trí và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng chừng thời gian đó. Hỏi trong khoảng chừng thơi gian 10 giây, Tính từ lúc lúc khởi đầu hoạt động và sinh hoạt giải trí, vận tốc lớn số 1 của vật đạt được bằng bao nhiêu (đơn vị m/s )? A. 216 B. 30 c. 400 D.54 Giải Gọi hàm số của vận tốc là v = v(f). Quãng đường vật đi được tính theo công thức s=]v(t)dt h Hay ta hiểu .s ,, (/) = v(/) => v(t) = ~t 2 +18/ Bài toán thời điểm hiện nay trở thành tìm giá trị lớn số 1 của hàm số => v(/) = -~t 2 +18 1 trên miền thòi gian từ 0 đến 10 giây. Để thao tác này ta sử dụng tính năng lập bảng giá trị MODE 7 của Casio w7pa3R2$Q.)d+18Q)==0=10=l= 5 X Ptiố MêêêêẾ 52.5 5U ĩ 52.5 Ma.th Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn số 1 xuất hiện là 54 Đáp số đúng là D (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải nhanh bài toán thực tếcực trị) Câu 8 “ÍĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2022] 2x ~~ 1 “ Vx 2 +X + 3 Tìm tất cả những tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = : X 2 -5x + 6 A. X =-3 X = —2 B. x = ~3 c. x = 3 x = 2 D. X = 3 Giải Đường thẳng X = x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì điều kiện cần: x 0 là nghiệm của phương trình mẫu số bằng 0 Nên ta chỉ quan tâm đển hai tuyến đường thẳng X = 3 và X = 2 Với X = 3 xét lim — — ; X - - X — = + oc => X = 3 là một tiệm cận đứng a2Q)plpsQ)d+Q.)+3RQ)dp5Q)+6r3+0,0000000001= H Math Ả 1.127016654x1010 Vói X = 2 xét lim —— + * — = + oc Kết quả không ra vô cùngz^ X = 2 không là một tiệm cận đứng 1 - 2 + 0 . 0000000001 = K2-5X+6 -1.1667 => Đáp SỐ đúng là B (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio xác định tính đổng biên nghịch biến của hàm sô) Câu 9- fĐe minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2022] Tìm tập hợp tất cả những giá trị của tham số thực m để hàm số y = ln(x 2 +1) -mx +1 đồng biến trên R A. (~oc;-l] B. (-OC-1) c.[-l;l] D. [l;+ oc) Giải r 2x 2x Hàm số đồng biến oy'>0 <=> - 3^ -m>0=>m< = g( x ) <=>m d = 2 Hàm số đi qua điểm N(2;-2) => ~2 = 8a + 4b + c + d=> 8a 4- 4b + c = -4 (1) Hàm số có đạo hàmy' = 3ax 2 +2bx + c. Hoành độ cực trị là nghiệm của phương trình y' = 0 và thỏa mãn hệ thức Vi-et <=> -l = 0=i>c = 0 .3a ( 2 ) Kết hợp (1) và (2) ta có : j 8a + 4b 4 => a - l;b = -3 [6a + 2b = 0 w518=4=p4=6-2=0—= x= 0 MathT Y= 0 Math A 1 -3 Vậy ta có : a = \b = -3;c = 0;d = 2 :=> y - X 3 -3x 2 + 2 => y(-2) - “18 => Đáp SỐ chính xác là D Câu 12 4Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017] Với những số thực dương a,b bất kì. Mệnh đề nào dươi đây đúng? A. ln(ab) = lna + lnb B. ln(ab) = lna.lnb CJnỊ~j = “^ ^ lnỊj^j-lnb~lna Giải Bạn thuộc công thức hoàn toàn có thể thấy luôn. Bạn không thuộc công thức hoàn toàn có thể làm như sau. Chọn a —1.125,0 = 1.175 rồi lưu vào những giá trị A,B 1.125qJzW1.175qJx 0 Math ầ> _ 0 A 1.125+A 1.175+B £ 47 è 40 Nếu đáp án A đúng thì ln(aồ)-lna-lnồ = 0 7 hQzQx)phQz)phQx)= 0 Math A ln(AB)-ln(A)-lni> 0 Ta thấy kết quả ra 0=>Đáp án chínli xác là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio xác định tính đúng sai hệ thức mũ - ỉogarit) Câu 13 “[Đẻ minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017]. Tìm nghiệm của phương trình 3 x ~ l = 27 A. x = 9 B. x = 3 c.x = 4 D. x = 10 Giải Dò nghiệm phương trình 3 X 1 3 A Q.)pl$Qr27qrl= PTC' ** x = 4 L-R= 0 = 27 với hiệu suất cao SHIFT SOLVE => Rõ ràng đáp số đúng là c (Xem rõ ràng thủ thuật và hài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh nghiệm phương trình mũ- logarit) Câu 14- fĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2022] Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức ■s(í) = ỉ(0).2' trong đó 5 ( 0 ) là số lượng vi khuẩn lúc ban đầu, s (í) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết rằng sau 3 phút số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, Tính từ lúc lúc ban đầu số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? A. 48 phút B. 19 phút c. 7 phút D. 12 phút Giải Ta có s(3) = s(0).3 3 <=> 625.000 = 8 . 5 ( 0 ) =ỉ> 5 ( 0 ) = 78125 Gọi thòi gian cần tìm là t phút. Ta có s(t) = s( 0).2' <=>2' = -Tị = 1 T 000 - 00 =128 r w w 5 ( 0 ) 78125 o2'-128 = 0=í>í = 7 => Đáp án đúng là c 2 A Q.)$pl28qrl= 2^-128 L-R“ Math 7 0 (Xem chi tỉêĩ thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải nhanh bài toán thực tếỉũy mũ - logarit) Câu 15 -ÍĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2022]. Cho biểu thức p - yỊx%jx 2 ị& với X > 0 . Mệnh đề nào dưói đây đúng? ỉ 12 1 2 A ,p = x 2 B.p = x 34 c.p = x 4 Đ.p = X 3 Giải Chọn X = 2 8 Nếu đáp số A đúng thì yỊxịỊx 2 = X 2 <=> ịỊxịỊx 2 yfx* - X 2 = 0 q A 4$Q.)Oq A 3$Q.)dOq A 2$Q.) A 3$$$$pQ) A 0.5r2= _s_M«h A ữSW-x> 0.04143962047 Ra một giá trị khác 0 vậy đáp án A sai Nếu đáp số B đúng thì - x” = 0 !!oooa!3R24r2= Math A i Kết quả ra 0 vậy đáp án B đúng chuẩn (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tính nhanh giá trị biểu thức mũ- logaritt) Cậu 16 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lân 2 năm 2017]. Với những số thực dương a,b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. log 2 '2a s ' c. log 2 u J = l+31og,a-log 2 b = l+31og 2 a + log 2 b B. log 2 D. log 2 ^2a n ( 2a 3 ^ V D ; = 1 + Mog, a - log 2 b = l + Ỷlog 2 a + log 2 b Giải Chọn a = 1.125,b = 1.175 thỏa mãn điều kiện rồi lưu vào những biến A,B 1.125=qJ zW 1.175=qjx 0 Màth Ẩ 0 Màth Á Ans*A Ans*B 9 47 8 40 Nếu đáp sô' A đúng thì: log, í 2ữ b ) 1 -1 - 3 log, a + log, b = 0 i2$a2Qz A 3RQx$$plp3i2$Qz$+i2$Qx= 0 Math Á 109 2 (^)- 1 - 31 (> 0 Kết quả ra 0 Đáp số đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio xác định tính chất đúng sai của biểu thức mũ-logarit) Cau_17~[I5ìẫ minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017]. Tìm tập nghiệm s của bất phương trinh logj (x + l) Đáp số chính xác là c (Xem chi tiết thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải nhanh bất phương trình mữ- logarit) Câu 18 -rƯẻ minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017]. Tính đạo hàm của hàm số y = ln(l + VxTĨ ) . A, y’ =_-1_ B. y' =_ỉ= 2Vx + lỊ^l + /x+ĩj 1 + Vx +1 r 1 D 2 ’ y ” VxTĩ(i+Vx+T) Vx+T(iWx+ĩ) Giải Nếu đáp án A đúng thì [lníl Wx + l)T= — r—= = ^[lníl + Vx + lìT- p—/ —-7 = 0- L ' ^ 2>/x+ĩ(l + >/x + ĩỊ L ^ 2Vx+T(l + Vx+T) Chọn x = 2 rồi sử dụng tính năng tính đạo hàm ta được qyhl+sQ)+l$)$2$palR2s2+l$(l+s2+l$)= E Math ầ. ^Qn(l + jxĩT))|> 1.182xiĩ 12 Kết quả ra 10~ 12 ss 0 =í> Đáp số chính xác là A (Xem chi tiết thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tính nhanh đạo hàm của hàm sô') Câu 20- fĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017] Tìm tập hợp tất cả những giá trị của tham số thực m đê’ phương trình 6* + (3— m)2 x -m = 0 cố nghiệm thuộc khoảng chừng (0; l) A. [3;4] B.[2;4] c.(2;4) D. (3;4) Giải Muốn tìm m ta sẽ tiến hanh hao cô lập m = 6 ^ 3 ’ 2 - = /(x) 2+1 Tìm miền giá trị của f(x) ta sử dụng hiệu suất cao MODE 7 trên miền re(0;l) w7a6 A Q.)$+302 A Q.)R2 A Q.)$+l==0=l=0.1= 10 0 Mâth 0 ■Ểv FíKi E 9 hItp |7 F(iũ 3.4952 0. 1 2.1293 lũ 0-9 3.1033 5.2 2-2631 11 ĩ M ũ ũ. 8 Ta được 3 < /(*) < 4 . Mà m = / (jc) => 3 < w < 4 => Đáp số đúng là D (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải bài toán tương giao của hai đô thị) ■ Câu 21 . [Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017]. Xét những số thực a, b thỏa mãn a > b > 1. Tìm giá trị nhò nhất P inin của biểu thức p = log 2 (a 2 ) + 31og b j A. p min =19 B. p min = 13 c. Pmin = 14 D. p min = 15 Giải Chọn b = 1.125 rồi sử dụng hiệu suất cao MODE 7 tim min của biểu thức T°4 (a Wà w7iaQ)Rl. 125$$Q.)d$d+3i 1.125$aQ)Rl. 125=1,2=3=0.2= 0 MMh . a _FỘÚ_ Ị mầ¥F- 33.5ẸE ã Ị.ỹ ĩ5.039 3 1.5 lE.DÌÌ 1 ■ 2 Ta thấy giá trị nhỏ nhất hoàn toàn có thể xuất hiện là 15.039 gần với 15 nhất => Đáp số đúng là D (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh giá trị lớn số 1 giá trị nhỏ nhất của hàm sổ) Câu 22-[Đê minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017]. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos2x A. Ìsin2x + C B. -Ìsin2x + C C.2sin2x + C D. -2sin2x + c ^ L Giải Ta hiểu nếu F(x) là nguyên hàm của F(x) thì F'(x) = f(x) <^>F’(x)“f(x) = 0 Chọn X = •— rồi dùng tính năng tính đạo hàm của Casio để kiếm tra qw4qyalR2$j2Q))$aqKR12$$pk20aqKR12$)= a Math Á é(bM2Y>) x :> -1.25xiõ 13 Ta thây 10“ 13 * 0 => Đáp số đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh nguyên hàm) Câu 23 -ĨĐề minh họa Bộ GD và ĐT lân 2 năm 2022] Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [l;2] , f(l) = l và f(2)=2. Tính 1 = jf'(x)dx ỉ A. 1 = 1 B. I = -l C.I = 3 D. 1=1 11 Giải Đê’ dễ nhìn ta đặt V = f'(x) khi đó I = J v.dx . 1 Ta CÓ: f'(x) = v=> f(x) là nguyên hàm của V =>I.f(x)|j.f(2)-f(l) = l ^ Đáp số đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh tích phân xác định) Câu 24 -[Đê minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017] Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = —— và F(2) = l . Tính F(3) A. F(3) = ln2-1 B. F(3) = ln2 + 1 C.F(3)=t D. F(3)=| Giải 3 3 Ta CÓ: Jf(x)dx = F(3)-F(2)=>F(3) = Jf(x)dx + F(2) = 1.6931... = In2 + 1 2 2 yalRQ)plR2E3$+l= 0 Math A 1.693147101 => Đáp SỐ đúng là B (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tính tích phân xác định) Câu 25- [Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017] 4 2 Cho |f(x)dx = 16. Tính I = jf(2x)dx A. 1 = 32 B. 1 = 8 C.I = 16 D. 1=4 Giải Nếu của f (x) = X. Khi đó tính Ị xdx = 8. Vậy để phù hợp đề bài thì ta chọn f (x) = 2x khi 0 đó |2xdx = 16 0 2 Để tính f (2x) thì ta sửa f (x) nơi nào có X biên thành 2x => I = |2(2x)dx = 8 y2(2Q))R0E2= d Mrth ầ JỔ2(2X)dx 8 0 MMh A n|ÒI(2CX-l)e ỉ< )^ 7.505441089 => Đáp số đúng là B (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tính tích phân xác định) 12 Câu 26 “[Đẻ minh họa Bộ GD và ĐT Tân 2 năm 2017] Biết ị 2 * = In 2 + ò In 3 + c ln 5 với a,b,c là những số nguyên. Tính s = ci + b + c A. 5 = 6 B. 5 = 2 c.5 = - 2 D. 5 = 0 Giải 4 ^ Tính tích phân í— 7 ^— và lưu vào biến ' X + X yalRQ)d+Q.)R3E4= 0 Math A 1 dx 1 V? .V- 0.06453852114 qjz A A 0 M th A 0.06453852114 Khi đó A = ln 2 + b ln 3 + c ln 5 <=> A = ln ( T3".5 C ì <=> 2".3*.5 C = e" 1 = — v ’ 15 QK A Qz= s Ma.th A e A 16 15 Dễ thấy II = = 2 4 .3“ , .5‘ i = 2“.3".5‘ => a = 4;ử = -l;c = -1 => 5 = 2 Đáp SỐ đúng là B (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tính tích phân xác định) Cáu 27 -[Đẻ minh họa Bộ GD và ĐT lân 2 năm 2017] Cho hình thang cong (H) giói hạn bởi những đường y = ey = 0,x = 0 và X = ln4. Đường thẳng x = k (0s, =2=> j]e’ I |dx = 2 . Thử những đáp án ta có £ = ln3 0 yqcQK A Q.)R0Eh3)= 0 Math A r* le x Idx 2 => Đáp số đúng là D (Xem chỉ tiết thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio ứng dụng tích phân tính nhanh diện tích hình phẳng) Câu 28 - rĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2022] Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lơn bằng lỏm và độ dài trục bé bằng lOra . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của Elip làm trục đôi xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí đầu tư để trồng hoa là 100.000 đồng 1 m 2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến Hàng trăm) A. 7.862.000 B. 7.653.000 C7.128.000 D. 7.826.000 Giải Xét hệ tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình Elip viền khu vườn là Xét phần đồ thị Elip nằm phía trên trục hoành có y = 5 Diện tích s của dải đất cũng chính bằng 2 lần phần hình phẳng giói hạn bởi đồ thị y = f (x), trục hoành, đường thẳng X = -4 , đường thẳng X = 4 => s = 2 J -0 dx-76.5389182 2y qc5s 1 paQ) dR64Rp4E4= H Math Â. 2 í-*hCỄ.ịĩt, 76.5289182 => số tiền cần là 100.0005 0100000 = Ansxioooob .. ,7652891.82 => Đáp số đúng là B (Xem chì tiết thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio ứng dụng tích phân tính nhanh diện tích hình phẳng) 14 Giải Đê’ tính số phức phối hợp ta sử dụng lện CONJG w2q22bO(3b+l))= ConjgCÌxC3i+rjV -3-i => Đáp số đúng là D (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh những thuộc tính sốphức) Câu 33 -fĐê minh họa Bộ GD và ĐT lân 1 năm 2022] Tính môđun của số phức 2 thỏa mãn z(2 -i) + 13i = 1 A. |z| = 4Ũ B. |z| — 34 c.z = ỉ~ D. |z| = ^jT Giải Để tính môđun của số phức z ta sử dụng lệnh SHIFT HYP qcalpl3bR2pb= CMPLX 0 M«h A I 1-131. Ị I 2—i I _ => Đáp SỐ đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh những thuộc tính sốphức) Câu 32 -[Đê thi minh họa của Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4z 2 - 16z +17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là vấn đề màn biểu diễn của số phức w = iz 0 ? B - M fH DM <(ỳ‘) Giải Tìm nghiệm phức của phương trình 4z 2 - 16z +17 = 0 bằng hiệu suất cao MODE 5 3 w534=pl6=17== Xi- 0 MathV X2= 0 Mat Vfầ 2+4» 2-ịi Vậy z 0 =2 + ~ỉ' . Tính w = iz (] = — i + 2 ỉ 0 2 w2b(2+alR2$b)= = CMPLX i(2 + |i) 0 Math k -4+2» 15 Điểm màn biểu diễn số phức w có tọa độ ™;2J => Đáp án đúng là B (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh nghiệm của phương trình số phức) Câu 34 -[Đề minh họa của Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn (l + i)z + 2z = 3 + 2i. Tính p = a + b A.p = ị B.p = l c.p = -l D.p = ~t 2 2 Giải Phương trình <=>(l + i)z + 2z-3-2i = 0 (1). Khi nhập số phức phối hợp ta nhấn lệnh q22 CMPLX 0 Mrth A Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái của (1) (l+b)Q.)+2q22Q))p3p2b CMPLX a _ Math <ĩConjg(X)-3-2il X là số phức nên có dạng X = a + bi. Nhập X = 1000 + 100Ỉ (hoàn toàn có thể thay a;b là số khác) riooo+ioob- CMPLX E Math A (1+i )X+2ConjgCXi> 2897+898Ĩ Vậy vế trái của (1) bằng 2897 + 898i. Ta có: J 2897 = 3.1000-100~3 = 3a-"b"3 [898 = 1000-100-2 = a-b-2 Mặt khác đang muốn vế trái = 0 => Í3a-b-3 = 0 [a-b-2 = 0 1,^-3 <^>a = T;b = — 2 2 Vậy a + b = -l => Đáp số chính xác là B (Xem chi tiết thủ thuật và bài tập tương tự tại bài ( Casio tìm nhanh các thuộc tính so phức) Câu 43 -ỊĐề minh họa Bộ GD và ĐT lân 2 năm 2017] Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3;-2;3) và điểm B(~l;2;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB A.l(-2;2;l) B. l(l;0;4) c.l(2;0;8) D. l(2;-2;-l) Giải Áp dụng quy tắc trung điểm ta suy ra ngay /(1;0;4) => Đáp số đúng là B 16 Câu 44 -[Đê minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017]. Trong không khí với hệ tọa độ X — I Oxyz cho đường thẳng d B. ù (l; 3: — 1) y~2 + 3í(í^R). Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương 2 = 5-/ cùa cỉ ? A. m(0;3;-I) c. 1 /( 1 ;—3;— 1 ) D. m(1;2;5) Giai Phưong trình đường thẳng d đi qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z Q. ) và có vecto chỉ phương x~x (ị + cu u (a;b;c) là : < y - y 0 + bi (/ € R) z = z 0 + Cí Áp dụng ta thấy ngay w(0;3;-ỉ) Đáp số đúng là A Câu 45 -[Ưê minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(l;0;0), B(0;-2;0), c(0;0;3). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng (ABC) ? A X . y , z , A. - + -—- + -^ = 1 3 “2 I B. 4 + ^ = 1 “2 1 3 r X y z C.~ + -^- + - = 1 1 -2 3 D.i-4+4-i 3 I -2 Giải Cách 1 ta hoàn toàn có thể sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn — + — + — = 1 Cách 2 ta có thế sử dụng phương pháp thử điếm. Đáp án A , B, D đều sai vì ba mặt phẳng đó không chứa điểm A. Cách 3 ta hoàn toàn có thể sử dụng Casio. Ta có = (-6;3;-2) . Chỉ xuất hiện phẳng ở đáp án c nhận vecto này làm vecto pháp tuyến w811 p 1 =p2=0==w8 21 p 1=0=3“ w q530q54- VCT0 - 6 => Đáp SỐ đúng là c Cảu 46 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017] Trong không khí Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(1;2; — 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (p): X - 2y -2z-8 = 0 A. (x + 1) 2 +(y + 2) 2 +(z-l) 2 =3 B. (x-l) 2 +(y-2) 2 +(z + l) 2 =3 c.(x-l) 2 +(y-2) 2 +(z + l) 2 -9 D. (x +1) 2 +(y+ 2) 2 +(z-l) 2 =9 Giải Tìm bán kính R-3 aqcl01p202p20(pl)p8Rsld+2d+2d= I ixl-2xg-?>r 2+22+22 r ‘ 3 17 Mặt cầụ có tâm /(l;2;-l) bán kứih Ấ = 3=>/? 2 =9 r=> Đáp số đúng là c (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tạp tương tự tại bài: Casio tìm nhanh khoảng chừng cách trong không gian Ọxỵz) Câu 47 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT íân 2 năm 2017]. Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d):^^=^ = í-^ và phẳng (P):3x-3y + 2z + 6 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đứng? A. d cắt và không vuông góc với (p) B. d 1 (p) c. dsong song với(p) D d nằm trong (p) Giải Ta có u d (l;-3;-l) và n p (3; —3; 2). Nhập hai vecto này vào máy tính Casio w8111=p3=pl=w8213=p3=2= VCĨ s VCĨ s -i 2 Xét tích vô hướng Uj.n,, = 10 — Uj không vuông góc với «,, => dịp) không thể song song hoặc tríing nhau => Đáp số đúng chỉ có thê là A hoặc B Wq53q57q54= va 0 VctA-VctB 10 Lại thấy Uj, n r không song song vói nhau => d không thể vuông góc với (p) => Đáp số B sai Vậy đáp án đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio xác định nhanh vị trí tương đổi của đường thẳng - mặt phẳng) Cảu 48 -ỊĐ'ẽ minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2022] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-2;3;l) và B(5;-6;-2). Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại điểm M. Tứữi ti số MB MA 1 p MA c ma 1 p MA_ 3 A ' MB 2 MB MB 3 ■ MB """". .”.. . Gỉải I Mặt phẳng ( Oxz ) có phưong trinh y- 0 ị Đế tính ti SỐ ~ ta sử dụng công thức ti số khoảng chừng cách (đã gặp ở chuyên đề hình học MB ■ I ị không khí) I Ta có: ỀÍÍ = d ị A; ị 0xz ỹ. bất kể hai điểm A,B cùng phía hay khác phía so với (Oxz) ' MB d(B;(Oxz)) Tá hoàn toàn có thể dùng máy tính Casio tính ngay ti số này 18 wlaqc0+3+0Rqc0+p6+0= 0 Mtth A 1Q+3+ữ1 I Ch— 6+0 I 2^ 2 * Ta hiểu cả hai mẫu số của hai phép tính khoảng chừng cách đều như nhau nên ta triệt tiêu luôn mà không cần cho vào phép tính của Casio => Đáp số đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bồi tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh khoảng chừng cách trong không gian Oxyz ) Câu 49 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017]. Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (?)song song và cách đều hai tuyến đường thẳng d; lzỉ = Z = £, ci . : £ = Izi = izỉ -111 2-1 -1 A. 2x-2z+1 =0 B. 2y- 2z +1 = 0 c,2x-2y + l = 0 D. 2y-2z-l = 0 Giải Mặt phẳng (?) song song vói 2 đường thẳng d,d' sẽ nhận iỉ ti ,ũ (Ị . làm cặp vecto chỉ phương => vecto pháp tuyến n v - ịiỉ tì ;u ( r ] = (0;l;-l) w811pl=l=l=w8212==pl=pl-Wq530q54= Ũ => Đáp số đúng có thế là B hoặc D Lấy điểm A/(2;0;0) thuộc d và điểm A7(0; 1;2) thuộc d ' . Để mặt phẳng (?) cách đều hai tuyến đường thẳng d,d' thì mặt phẳng (?) đi qua trung điểm của MN là I . 2 J -=> Đáp số đúng là B I (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh khoảng chừng cách trong không gian Oxyz ) T. CASIO GIẢI ĐÊ MINH HỌA BỘ GD-ĐT LÂN 1 NĂM 2022 Khóa học: 101 THỦ THUẬT CASIO + MẸO GIẢI NHANH TOÁN Câu 3 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT Tân 1 năm 2017]. Hàm số y = 2x 4 + ỉ đồng biến trên khoảng chừng nào? B.(0;+cc) C.Ị? + ccj D. (-°c;0) Giải Hàm số bậc 4 đồng biến trên khoảng chừng ( ab ) nếu y' > 0 với mọi X thuộc khoảng chừng (a;b ). 19 Xét dấu đạo hàm ta sử dụng hiệu suất cao qy qy2Q) A 4$+l$2= 13 Matlì A £(2XM)|* =2 64 Ta thấy y'( 2) > 0 => Đáp số B và c có thê’ đúng !!op0.25= 0 Mìtli A ^(2X 4 + 1)| I= _Õ.Ê J1 .“6. ..... Tá thẩy y(-0.25) < 0 => Đáp số c sai Ị Kết luận: Đáp số đúng là B 1 Sc-ệẺậỆ chitỉêtíhủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio xét nhanh tính đông biêh nghịch biến của hàm SỔ9_^l:2. 2 ::T._.'............ .:x.:T..i Câu 5 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017] Giá trị cực lớn của hàm số y = X 3 - 3x + 2 là bao nhiêu A.4 B.l CO D. -1 Giải Để tìm y cực lớn thì ta phải tìm hoành độ điểm cực trị (là nghiệm phưoug trinh y' = 0) với hiệu suất cao MODE 5 w533=p3=0= B MithV 0 MathVÀ Xl= X2= 1 -1 Từ hai hoành độ điểm cực trị ta tìm được hai giá trị cực trị với hiệu suất cao CALC wlQ) A 3$p3Q)+2rl=rpl= 0 MMh  0 X s -3X+2 X 3 -3X+2 Mscth A ũ 4 Trong hai giá trị cực trị 0 và 2 thì giá trị cực lớn lớn hcm giá trị cực tiểu rĩ>Đáp số đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh cực trị của hàm so) Câu 6 -fĐề minh họa Bộ GD và ĐT lân 1 năm 2022] X 2 + 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ——— trên đoạn [2;4] A. min y = 6 B. miny = —2 c. miny — — 3 D. miny —— Gỉảị Để tìm giằ trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền ta sử dụng hiệu suất cao MODE 7 của T:CặstavV w7ạQ)d+3RQ)pỊ$—2=4=0.25= 20 a K F (K) B.D351 Ê tềtẫẵ 3.55 B.naiĩ Q. v3_qv + o M ún + £ Math ■ 1 * Mith A 4 Ta thây rõ ràng giá trị nhỏ nhất của hàm số là 6 đạt được khi X = 3 => Đáp số đúng là A (Xem chỉ tiết thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh giá trị lớn số 1 “ giá trị nhỏ nhất của hàm sô) Câu 7 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT Tân 1 năm 2017]. Biết rằng đường thẳng y = -2x + 2 cắt đồ thị hàm số y = x ’ + X + 2 tại điểm duy nhất kí hiệu (x u ;y 0 ) là tọa độ điếm đó. Tìm y n A. y 0 -4 B. y„ =0 c.y 0 =2 D. y () = -l Giải Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm ~2x + 2~x ĩ +x + 2. Tìm hoành độ giao điểm ta sử dụng hiệu suất cao dò nghiệm SHIFT SOLVE p2Q)+2QrQ) A 3$+Q.)+2qrl= -2X+2=X 3 +X+2 Maith Từ JC 0 = 0 => y 0 = 2 => Đáp số đúng là c (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải bài toán sự tương giao của 2 đồ thị hàm sô) Câu 8 ~[Đê minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Tìm tất cả những giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = X 4 4- 2mx 2 + 1 có ba cực trị tọa thành một tam giác vuông cân A. m = “--4=* ĨÍ9 B. m = “1 D. m = l Giải " .■■.Ị ĐỒ thị hàm bậc 4 trùng phưong y = ax 4 + bx 2 + c có ba cực trị tạo thành một tam giác vuông cân ob 3 -8a = 0o 8m 3 -8 = 0 o m = 1 Đáp số đúng là D (Xem chỉ tiết thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Mẹo giải nhanh tam giác cực trị hàm bậc 4 trùng phương) ; Câu 9 -[Đẻ minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Tìm tất cả những giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y - -J=== có haỉ tiệm cận ngang, V mx 2 + 1 A. m <0 B. m = 0 c. m > 0 D. Không có m thỏa Giải Ta hiểu: Nếu hàm số có tiệm cận ngang thì limy = c 21 Với đáp án A chọn m - “2. Để tìm tiệm cận ta sử dụng kỹ thuật tính số lượng giới hạn vói chức / ỵ t x X +1 năng CALC của máy tính Casio cho hàm sô y - —===■ & n/-2x 2 +1 aQ)+lRsp2Q)d+lrlO A 9)= Math ERRŨR CACỊ ĩCancel Goto Ta thấy lỉm không tồn tại =t> Đáp số A sai. Tương tự đáp sỡ B cũng sai Với đáp số c ta chọn /77 = 2 khi đó hàm sỡ có dạng y = y V2x 2 +1 aQ)+lRs2Q)d+lrlO A 9)=....... . _> .. 0 Ms.tli A ■4 2 +1 0.7071067819 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận thứ nhất y = 0.7071... rp!0 A 9)= •4 +1_ -0.7071067805 Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận thứ hai y = -0.7071 Đáp số đúng là c (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm so) Câu 10 -reề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2022] Cho một tấm nhôm hình vuông vắn cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông vắn bằng nhau, mỗi hình vuông vắn có cạnh bằng X cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một chiếc hộp không nắp. Tìm X đế hộp nhận được có thể tích lón nhất. ^ m a A. X- = 6 B.x = 3 c.x = 2 D. x=4 ..... r ..-. .. Giảỉ ... I Hình hộp có đáy là hình vuông vắn cạnh là 12— 2x cm và có độ cao là X cm. Vậy sẽ có thể tích: K=jx(l2-x) Để tìm thể tích lớn số 1 mà đề bài lại cho những giá trị của m thì ta tiến hành thử đáp án Với X - 6 => V = 0 alR3$Q.)(12p2Q))r6= 22 Math Á ịXC12-2X) Với X = 3=>F = 6 Ũ r3= 0 Math Á ịX(12-2X) 6 Tương tự với x = 2=>v = , X = 4 => K = -y Rõ ràng thể tích lớn nlìất là 6 :=> Đáp số đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải nhanh bài toán thực tế cực trị) Câu ll -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Tìm tất cả những giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = —— đồng biến trên khoảng chừng 1 0;“ 1 tan X ~ m i, 4J m <0 1 < m < 2 B. m < 0 c. 1 < m < 2 Giải D. m>2 Để dên nhìn ta tiến hành đặt ẩn phụ tan X = t. Với X = 0 => t = 0, vói X = “ => t = 1 . Bài _2 toán trở thành "Tìm m để hàm số y = -—— đồng biến trên (0;l) t-m Hàm số phân thức hữu tỉ đồng biến o y' > 0 co — > 0 co m < 2 (t-m) Ngoài ra hàm phân thức có điều kiện tồn tại X^IĨIO m không thuộc khoảng chừng chứa X co m <0 m > 1 Kết hợp 2 điều kiện trên ta được m < 0 hoặc 1 < m < 2 =o Đáp số đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio xác định tính đông biêh nghịch biêh của hàm sô) Câu 12 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lân 1 năm 2017]. Giải phương trình log 4 (x-1) = 3 A. X = 63 B. X = 65 C.x-82 D. x = 80 Giải Tìm nhanh nghiệm của phương trình này ta nên sử dụng hiệu suất cao SHIFT SOLVE i4$Q.)pl$p3qrl= s MÃth log 4 Oí-l)-3 x=~ 65 V/: L-R= 0 =0 Đáp SỐ đúng là B (Xem chi tiêì thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh nghiệm của phương trình mũ ~ logarit) 23 Câu 13 “[Đẽ minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Tính đạo hàm của hàm số y = 13 x A. y' = X.13*~ ! B. y' = 13Mnl3 c.y'-13 x Giải Nếu đáp án A đúng thì (l3 x )' = X.13*" 1 <=> (l3 x ) , -x.l3 x ‘ l = qyl3 A Q.)$$2$p2013 A 2pl= s Mith A ^Cl3 x )| K=2 -2xli> 407.4764414 Kết quả ra một số trong những khác 0 => Đáp án A sai Thử đáp án B vói (13* ] -13 V . In 13 = 0 . D. y ’ = 13 x lnl3 0. Chọn giạ trị X đại diện là 2 Wqyl3 A Q.)$$2$pl3d$Ohl3)= 0 Math A &(13 X )| I=2 -13 2 I> " 1B 45xin ^ Kết quả ra -1.45.10~'° « 0 (Do quy tắc làm tròn của máy tính Casio) =r> Đáp số đúng là B (Xem rõ ràng thủ thuật và hài tập tương tự tại bài: Casio tính nhanh đạo hàm của của hàm số) Câu 14 -fĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2022]. Giải bất phương trình ỉog 2 (3 jc- ]) > 3 A. x>3 B. ỉ 0 <=> f (x) > 0 i2$3Q)pl$p3r2.9= 0 Mscth A 109-2 C3X-15-3 -0.05514155419 Ta thấy f (2.9) < 0 => Đáp số B và C sai r3.1= 0 Math A log 2 C3X-D-3 0.05311133646 Ta thấy f (3. l) > 0 3> Đáp án đúng là A (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải nhanh bất phương trình mũ - logarit) Câu 15 -fĐề minh họa Bộ GD và ĐT íân 1 năm 2022] Tim tập xác định D của hàm số ỵ = log 2 (x 2 “ 2x “ 3 ) A. D = (”Oc;~l]u[3;+oc) B. [—1;3] 24 Gỉảỉ Để hàm số Iogarit tồn tại thì .Y 2 -2.V-3 >0. Đây là một trong bất phương trinh bậc 2 đế giải nhanlì ta có thê sử dụng hiệu suất cao MODE INEQ wRllll=p2=p3= 0 MÃth X Rồ ràng đáp số đúng là c (Xem chỉ tiết thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh tập xác định của hàm sổ) Câu 17 -ÍĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2022]. Cho những số thực dương a r b với a& 1. Khẳng định nào sau đây là xác định đúng? A. log a 3 (ab) = — log ;i b c. log 2 (ab) = ~log a b a V / ^ ** B. log i? (ab) = 2 + 2 ỉogy b D. log >s (ab) = -t + ^log.b Gìảỉ Chọn a = 1.125, b = 1.175 thỏa mãn điều kiện rồi lưu vào những biến A,B 1.125=qJ z w 1.175=qJ X Ans+A B M " A Ans+B Math Ả 9 o 47 40 Nếu đáp số A đúng log (i ; (aí>) - — log„ b = 0 iQzd$QzQx$palR2$iQz$Qx= a Mtth Ấ lữg A 2ÍAB)-ịlog í Ị> 1 2 Tanhậnđược og tiĩ (ab)-~og íl b = ~ Đáp số A sai Tương tự ta sẽ nhận được đáp án D là đáp án đúng chuẩn iQzd$QzQx$palR2$palR2$iQz$Qx= .0 Mith Ấ . .'...... log A2 CflB)-ị-ịlt> 0 (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio xác định tính châỉ đúng sai của biểu thức mủ-logarit) Câu 18 “[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Tính đạo hàm của hàm số y = x + (Sử dụng tương tự kỹ thuật tính nhanh đạo hàm ở câu 13) 25 Câu 19 “[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lân 1 năm 2017] Cho hai số thực a , b với 1 < a < b . Khẳng định nào dưới đây là xác định đúng? A. log a b < i < log b a B. 1 < log a b < log b a c. log b a < 1 < log a b D. log b a < 1 < log a b Gỉảỉ Chọn ữ = 1.125, b = 1.175 thỏa mãn điều kiện rồi lưu vào những biến v4, B 1.369196733 0.73Ũ3552339 Rõ ràng log/, a < 1 < log„ b => Đáp số đúng là D (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio xác định tính chất đúng sai của biểu thức mũ-ỉogarit) Câu 21 -[Đẽ minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Ông A vay thời gian ngắn ngân hàng nhà nước 100 triệu đồng với lãi suất vay 12% một năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng nhà nước theo cách: Sau đúng một tháng kế từ ngày vay, ông khởi đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 3 tháng Tính từ lúc ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m (triệu đồng) mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng nhà nước trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất vay ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ Am _, 00.(1.01)' 3 B m D. m = —-7- (1.01) -1 c 100.1,03 D 3 120.(1,12)’ (1,12)’-1 Đây là bài lãi suất vay Gi vay T đồng, lãi suất vay r°/ ải ỵ 0 một tháng, mỗi tháng trả m đồng. Khi đó m được tính theo 1 ;■ T(l + r)" :ong thức m = ——— o-ứ-1 • AAAA.; AvAT . ■ Theo đề bài ta có: ' r = 100, r = 1% = 0.01 m = 100(1+0,01)” (i + 0,01) 3 -J => Đáp số chính Xí (Xem rõ ràng thủ thi ác là B lật và bài tập lương tự tại bài: Casio tìm nhanh bài toán thực tếỉãi suất) Câu 23 -[Đẽ minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = V2x-1 A. jf(x)dx = j(2x-l)>/2x-l +c B. Jf(x)dx=^(2x-l)>/2x-l +c c. Jf(x)dx =-~~^2x~l +c D. Jf(x)dx = “V / 2x-l +c 26 Gỉảỉ Ta hiểu Jf(x)dx là F(x) thì F'(x) = f(x) Với đáp án A ta thấy F(x) = ~(2x - l) V2x -1 Nếu đáp số này đúng thì F'(2) = f(2) o F , (2)-f(2) = 0. iQz$Qx=4Qx$Qz=Wqya2R3$(2Q)pl)s2Q)pl$$2$ps202pl= a Mxth A ^(|(2X-Dj2X r > 1.732Ũ5Ũ808 Kết quả ra một số trong những khác 0 vậy đáp sổ A sai Tương tự như vậy với đáp số B qyalR3$(2Q)pl)s2Q)pl$$2$ps202pl= 0 Mtth A 10~ 12 ta hiểu là 0 Đáp SỐ đúng là B (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh nguyên hàm của hàm sô) Câu 24 -ÍĐề minh họa Bộ GD và ĐT ỉần 1 năm 2022]. Một ô tô đang chạy vói vận tốc 10/77 / .V thì người lái xe đạp phanh, từ thòi điếm đó ô tô hoạt động và sinh hoạt giải trí chậm dần đều vói vận tốc v(/) = -5/ + 10/7//.V, trong đó t là khoảng chừng thời gian tính bằng giây kế từ lúc đạp phanh. Hỏi tò lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tô tô còn di tán được bao nhiêu mét? A. 0.2 B. 2 CIO D. 20 Giải Khi xe dừng hẳng thì vận tốc bằng 0 o-5t + 10 = 0<=>t = 2 giây 2 Quãng đưòng ô tô đi được là s = J(— 5t + 10)dt = lOm 0 y(p5Q)+10)R0E2= 0 M&th Á Jo<-5X+I0)dx lũ => Đáp số đúng là c (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio ứng dụng tích phẵntìm nhanh quãng đường và nhiệt lượng) Câu 25 - [Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017] Tính tích phân / = Jcos 3 x.sin xdx 0 1 1 _ ^ A.B. -71 4 C.0 D. -4 4 1 Giải 4 ĩt Tính tích phân I =ị cos 3 .v.sin xdx bằng lệnh y " 27 qw4ykQ)) A 3$OjQ))ROEqK= 0 Math A JoC0sGO 3 xsinOi> ũ => Đáp số đúng là c (Xem rõ ràng thủ thuật và hài tập tương tự tại hài: Casio tìm nhanh tích phân xác định) Câu 26 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Tính tích phân Ỉ = ịx.nxdx ■ A 1 o e 2 - 2 " e 2 +1 _ e 2 - 1 . ;;•■./■■■Ị A.. ■ B. c. —-—■ ■ D . ——— Tinh tích phàn I j.x. In xd.x 2.0972... - ---- - qw3yQ)hQ))RlEQK= 0 Mãth A JjXln(íOclx 2.097264025 => Đáp số đúng là c (Xem rõ ràng thủ thuật và hài tập tương tự tại hài: Casio tìm nhanh tích phân xác định) Câu 27 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT Tân 1 năm 2017]. Tính diện tích s quy hoạnh hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = X 3 - X và đồ thị hàm số y = X - X 2 A.fZ B.i cg D. 13 12 '4 12 Giải Xác định cận theo nghiệm của phưomg trình hoành độ giao điểm X 3 - X = X - X 2 <=> X 3 + X 2 - 2 x - 0 w541=l=p2=0== 0 a MathTA X2= 1 -2 0 Math A 0 ] ứng dụng tích phân để tính diện tích s quy hoạnh 5=1 f{x)-gx)dx + ịf (x)-^(x) Jx : C.M D. N : : Tìm z = -—- = 1-2/ => Điểm màn biểu diễn z có tọa độ (l;-2) 1 + / w2a3pbRl+b= CMPLK H Mlth A 1+i 1—2i Đáp số đúng là B (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio giải nhanh dạng toánbiểu diễn hình học sô'phức) Câu 32 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT Tân 1 năm 2017] Cho sổ phức z = 2 + 5i. Tìm số phức w = iz + z A. w = 7“3i B. w = ”3-3i c. w = 3 = 7i D. w = —7 —7i Giải Tính w = iz + z W2b(2+5b)+q222+5b)= 1 (2+51 )+Con j ỈV2t> -3-3i Đáp số chứih xác là B (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh những thuộc tính so phức) Câu 33 -fĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2022]. Kí hiệu z,,z 2 ,z,,z 4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 -z 2 -12 = 0. Tính tổng môđun những nghiệm T = |z,| + N + N + M A. 4 B. 2 V 3 C .4 + 2 VĨ D. 2 + 2 S Máy tính chỉ tính được phương trình bậc 3 là tối đa, vậy để máy tính thao tác được thì ta đặtt = z 7 khi đó phương trình bậc 4 trớ thành t 2 -1 -12 = 0 w531 -p 1 "P 12=w 30 MathT MathTA Xi = 0 X2= a 4 -3 Với t = 4 => z 2 = 4 => z = ±2 , với t = -3 => 7? = 3i 2 o z = ±/3i Tính T = |z,ị + |z,| + |z,| + |z 4 | = 4 + 2/3 W2qc2$+qcp2$+qcs3$b$+qcps3$b= CMPLX (3 Math A 121 + 1-21 + 1731 i+í 4+2Ì3 => Đáp số đúng là c (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại hài: Casio tìm nhanh cực trị của hàm sô) Câu 34 -[Đề thi minh họa của bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Cho những số phức z thỏa mãn |z| = 4 . Biết rằng tập hợp những điểm màn biểu diễn những số phức w = (3 4- 4i)z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A.r = 4 B. r = 5 c.r = 20 D.r = 22 Giải ♦> Cách Casio Để xây dựng 1 đường tròn ta cân 3 điểm biếu diễn của w , VI z sẽ sinh ra w nên đầu tiên ta sẽ chọn 3 giá trị đại diện của z thỏa mãn |z| = 4 Chọn z = 4 + 0/ (thỏa mãn |z| = 4 ). Tính Wị = (3 4-4/) (4 + 0/) 4-/ (3+4b)04+b= CMPLX s Math A 12+171 Ta CÓ điểm màn biểu diễn của 2 j là Ằ/(12;17) Chọn z=4/ (thỏa mãn |z| = 4 ). Tính w 2 = (3 + 4/)(4/) + / (3+4b)04b+b= ^ CMPLX^ ■ 0 Math A - 16+131 Ta có điểm màn biểu diễn của z 2 là N (—16; 13) Chọn z = -4i (thỏa mãn |z| = 4 ). Tính = (3 4- 4i)("4i) 4- i (3+4b)(p4b)+b= CMPLX t 0 M»h A 16-111 Ta có điểm màn biểu diễn của z 3 là p(l6;-l l) Vậy ta có 3 điểm M,N,P thuộc đường tròn màn biểu diễn số phức w 31 Đường tròn này sẽ có dạng tổng quát X 2 4- y 2 +ax + by + c = 0. Để tìm a,b,c ta sử dụng máy tính Casio với hiệu suất cao MODE 5 3 W5212=17-l=pl2dpl7d=pl6=13=l=pl6dpl3d=16=pll-l-pl6dplld= B MỉLthV a MathVÀ x= Y= 0 Mrth A Vậy phưong trình đường tròn có dạng X 2 + y 2 -2y - 399 = 0 X 2 4- (y -1) 2 = 20 2 Bán kính đường tròn tập hợp điểm màn biểu diễn số phức w là 20 => Đáp án đúng là c Câu 43 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (p): 3x ~ z + 2 = 0 . Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (p) A. n(-l;0;-l) B. n(3;-l;2) c. n(3;-l;0) D. n(3;0;-l) I ; y'T y )■■■■■■■■■■■ yo J : • y' T • ’ -.{ỳ-ị', •• : ; -y , y , _ •• • ,• . j:. •,. . ^ /y ••• •:ậ y u: ^ .-ị ) ý ^ : Phương trình ựiặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có vecto pháp tuyến có tọa độ là (A;B;C) ứng dụng mặt phẳng (p): 3x ~z + 2 = 0 sẽ có veeto pháp tuyền Ịà n(3;0;~l) :=> Đáp số đúng là D ■■ • , Câu 44 -ĨĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2022] Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (s):(x +1) 2 + (y-2) 2 + (z~l) 2 =9 Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (s) A.l(-l;2;l),R = 3 B. l(l;-2;-l),R = 3 C.l(-l;2;l),R = 9 D. l(l;-2;-l),R = 9 Mặt cầu (s): (x -a) 2 + (y-b) 2 + (z -c) 2 = R 2 có tâm l(a;b;c) và bán kính R h 1 ứng dụng (s):(x + l) 2 + (y ”2) 2 + (z -1) 2 = 9 =>tâm l(“l;2;l) và bán kính R 2 = 9=> R = 3 j 1 => Đáp số đúng là A Câu 45 -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017] Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (p): 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(l;-2;4), Tính khoảng chừng cách d từ A đến (p) i ^ ^ J ^ r 1 "s/s A.d-1 9 B. d = ~ 29 D. đ = Áp dụng công thức tính khoảng chừng cách từ một điểm đến một đường thẳng ta có d = -—== aqc30l+40(p2)+203+4Rs3d+4d+2d= a Math A /32+42+22 'ẼTỈ29 29 32 => Đáp SỐ đúng là c (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tính nhanh khoảng chừng cách trong không gian Oxyz) £ẤyJ[6."[Đẽ minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho đường thăng A có phương trình: - ~ 10 - --- --- -y-' Xét mặt phẳng (p): lOx + 2y + mz + 11 = 0, m là tham số thực. Tìm tất cả những giá trị của m để mặt phẳng (p) vuông góc vói đường thẳng A A. m~~2 B. m = 2 c. m = -52 D. m = 52 Giải Mặt phang (p) vuông góc với đường thẳng A nếu vecto pháp tuyến của (p) là n(l0;2;m) tỉ lệ vói vecto chỉ phưcmg của A là u(5;l;l) 10 2 m °5 í 1 k3k = 2 ^ ra = 2 => Đáp số đúng là B (Xem rõ ràng thú thuật và bài tập tương tự tai bài: Casio tìm nhanh góc của đường thẳng - mặtphẳng) Cậu .46-[Đẽ minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017] Trong không khí vơi hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng A có phương trình: - ——. Xét mặt phằng (p): lOx + 2y + mz +11 = 0, m là tham số thực. Tìm tất cả những giá trị của m để mặt phẳng (p) vuông góc với đường thắng A A. m = -2 B. m = 2 Gm = -52 D. m =52 Giải Mặt phẳng (P) vưông góc với đường thẳng A nếu vecto pháp tuyến của (p) là n(10;2;m) ti lệ với vecto chỉ phương của A là u(5;l;l) _ 10 2 m , , <=> J 7 - = 7 = " 7 - = k=>k = 2=>m=2 5 l 1 => Đáp số đúng là B (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh góc của đường thẳng - mặt phẳng) C â u 1 7 -[Đẻ minh họa Bộ GD và ĐT lân 1 năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho hai điêm A(0; 1;I;) và B(l;2;3). Viết phương trình mặt phẳng phẳng (p) vuông góc vói đường thẳng A A. x + y + 2z-3 = 0 B. x+y+2z-6=0 C.x + 3y + 4z-7 = 0 D. X + 3y + 4z-26 = 0 .’ . ... • . Giải ị Mặtphẳng (p) vuông góc với đường thẳng AB thì nhận ÃB(i;l;2) là vecto pháp tuyến 1 Mặt phẳng (p) lại qua A(0;l;l) I =>(P):l(x~0) + l(y-l) + 2(z-2) = 0<=>x + y + 2z-3 = 0 Ị => Đáp số đúng là A 33 Cảu 48 -ĨĐề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2022]. Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (s) có tâm l(2;l:l) và mặt phẳng (P):2x + y + 2z + 2 = 0. Biêt mặt phẳng (p) cắt mặt cầu (s) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1. Viết phương trình của mặt câu (s) A. (S):(x + 2) 2 +(y + l) 2 + (z + l) 2 =8. B. (S):(x + 2) +(y + l) +( z+ l) =10 C.(S):(x-2) 2 +(y-l) 2 +(z-l) 2 =8 D. (s):(x~2) 2 +(y-l) 2 +(z-l) 2 =KT Giải Gọi h là khoảng chừng cách từ tâm I tới mặt phẳng (p) và r là bán kinh đường tròn giao tuyên. Khi đó ta có quan hệ R 2 = h 2 +r 2 với R là bán kính mặt câu. Áp dụng công thức tính khoảng chừng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thăng : h = 3 aqc202+l+201+2Rs2d+ld+2d= a Math A I 2x2+1+2x14-2 I ■ỈĨ2 +1 2 + 2 ^ 3 Từ đo suy ra R 2 = h 2 + r 2 =9 + 1 = 10 =>(S):(x-2) 2 +(y-l) 2 + (z-l) 2 =10 ■=> Đáp số đúng là D Ị (Xem rõ ràng thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh khoảng chừng cách trong không : gian Oxỵz Câu 49 -[Đê minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]. Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(l;0;2) và đường thẳngd có phương trình “- = y= 2 • Viết phương trình đường thẳng A đi qua A vuông góc và cắt d -I_y _z-2 R A .iLzl = y=iz2 1 1 -1 x-1 y _ z-2 I A. A: : CA: 1 x-1 1 Z”2 B> A:~ D. A 1 Gỉảỉ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d =>H(l+t;t;-l + 2t) Ta có AH -L d => AH.u d = 0 . Sử dụng lệnh SHIFT SOLVE tìm t l(l+Q.)pl)+l(Q.)pO)+2(pl+2Q)p2)qrl= H M-Áth 1C1+X-D+1CX-0) x% L-R= =>t = l=>H(2;ĩ;l) > i Ố Đường thẳng A qua A(l;0;2) x-1 y_ z~2 1 1 M và có vecto chỉ phương AH(l;l;—l) có phương trmh I => Đáp SỐ đúng là B I (Xem chi tiêì thủ thuật và bài tập tương tự tại bài: Casio tìm nhanh hình chiếu vuông góc trong không khí Oxyz ) 34 T. CASIO TÌM NHANH GTLN-GTNN CỦA HÀM số 1) PHƯƠNG PHÁP - Bước 1: Để tìm giá trị iớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên miền [a;b] ta sử dụng máy tính Casio vói lệnh MODE 7 (Lập bảng giá trị) - Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn số 1 xuất hiện là max , giá trị nhò nhất xuất hiện là min b ~ a , , - Chủ ỷ : Ta thiết lập miền giá trị của biến X Start a End b Step (hoàn toàn có thể làm tròn để Step đẹp) Khi đề bài liên có những yếu tổ lượng giác sinx,cosx,tanx... ta chuyển máy tính về chính sách Radian 2) VÍ DỤ MINH HỌA VDl TThi thử chuyên KHTN -HN lần 2 năm 2022] Tìm giá trị lớn số 1 của hàm sô y = x' -2x~ -4x + 1 trên đoạn [l;3] A _ 67 A. max = — 27 ❖ Cách 1: CASIO B. max = -2 c. max = -7 D. max = -4 Giải Sử dụng hiệu suất cao MODE 7 của máy tính Casio với thiết lập Start 1 End 3 Step 3-1 19 w7Q) A 3$p2Q)dp4Q)+l=l=3=(3pl)P19= s _ Math jị F -M LIŨ5E -M-51M 1.2105 “lilgảe > Quan sát bảng giá trị F(x) ta thấy giá trị lớn số 1 F(x) hoàn toàn có thể đạt được là f(3) = -2 B M tth M FÍK*J 19 2.B9M1 “3.00 í ÈQ 3 ~Ê 21 MẵiBmaẫ Vậy max = ”2 , dấu = đạt được khi X ^3 Đáp số đúng là B ❖ Cách tham kháo : Tự luận ~x = 2 Tính đạo hàm y' = 3x 2 - 4x-4 , y r = 0o| 2 3 Lập bảng biến thiên Ị X - oc ] 2 : + x y' Ị. 0 /(3) = -2 ' v I ; ị /( 1) = -4 35 ■ Nhìn bảng biến thiên ta kết luận max = /(3) = -2 • Bình luân : • Qua ví dụ 1 ta đã thấy ngay sức mạnh mẽ và tự tin của máy tính Casio, việc tìm Max chỉ việc quan sát bảng giá trị là xong. • Phương pháp tự luận tim giạ tri iơn nhẩt, gia trị nhổ nhất củà hẳm số được tiến hanh hao theo 3 bước:: ; : +) Biróọ Ị: Tìm miền xác định của biêh X *) Bj*ớp2: Tính đạo hàm và xác định khoảng chừng đồng biến nghịch biến +) Bước 3: Lập bảng hien thiên, nhm vào bầng biến thiễn cJề kêfỊ: Iiiận • Trong bài toán trên đề bài đâ cho sẵn miền giá trị của biến X là [l;3] nên ta bỏ qua bước 1. VD2 -[Thi thủ chuyên Hạ Long - Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Hàm SỐ y = |3cosx-4sinx + 8| với xg[0;2tĩ] .Gọi M,m lần lượt là giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khi đó tổng M + m bằng bao nhiêu ? A. 8%/2 B. 7^3 c. D. 16 Giải Cách 1 : CASIO > Để tính toán những bài toán liên quan đến lượng giác ta chuyển máy tính về chính sách Radian qw4 > Sử dụng hiệu suất cao MODE 7 của máy tính Casio với thiết lập Start 0 End 2n Step 271-0 19 w7qc3kQ))p4jQ))+8=0=2qK=2qKP19= s Math BI F ÍK ĩ 1 IìImìIIi 1 ỉ Ê D.33ŨG 3.E3ỎÈ i ul 5513 1.9105 0 > Quan sát bảng giá trị F(x) ta thấy giá trị lớn số 1 F(x) hoàn toàn có thể đạt được là f (5.2911) = 12.989« 13 = M (3 M?,th F(K) ỊẼ.ẸÌM 1.919 i|Ị_BpH _ 5.291103417 Ta thấy giá trị nhỏ nhất F(x) hoàn toàn có thể đạt được là f (2.314) = 3.0252 « 3 = m Vậy M + m = 16 => Đáp số D là đúng chuẩn ịl* Cách tham khảo : Tụ luận ■ Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacopxki ta được : (3cosx-4sinx) 2 ^Ị 3 2 +(“4) 2 j(sin 2 X + cos 2 x) = 25 cosx-4sinx ị Vậy 3 < |3 cos X - 4 sin X + 8| < 13 < 5 <^> -5 < 3 cos X - 4 sin X < 5 o 3 < 3 cos X - 4sin X = 8 < 13 lỊỊMBỊỊ i 0 5. EEI i 36 ♦> Bình luân : • Nếu bài toán liên quan đến những đại lượng lượng giác ta nên chuyển máy tính về chính sách Radian để được kết quả đúng chuẩn nhất. • Trong Bất đẳng thức Bunhiacopxki có dạng (ax + by) 2 <(a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ). Dấu = xảy ra khi và chỉ khi X y VP3 -[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Cho những số x,y thỏa mãn điều kiện y < o.x 2 + X - y - 12 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất: p = xy + X + 2y + 17 A. -12 B. -9 c. -15 D. -5 Giải • Cách 1 : CASIO 'r Từ x 2 +x-y-12 = 0 ta rút được y = X 2 + X -12 Lắp vào p ta được: p = (X + 2) (X 2 + X - 1 2 ) + X + 17 > Để tìm Min của p ta sử dụng hiệu suất cao lập bảng giá trị MODE 7, tuy nhiên việc còn thiếu của tất cả chúng ta là miền giá trị của x . Để tìm điều này ta xét y<0ox 2 +x-12<0o-4 Cách tham khảo : Tự luận ■ Dùng phưong pháp dồn biến đưa biểu thức p chứa 2 biến trở thành biểu thức p chứa 1 biến X => p = (x + 2)(x 2 4- X “ 12 ) + X + 17 = X 3 4-3x 2 -9x-7 Đặt f(x) = x 3 +3x 2 -9x-7 ■ Tìm miền giá trị của biến X ta cỏ: y<0<=>x 2 +x-12<0<=>-4 x = 1 ^ So sánh f(l) = -12;f(~3) = 20;f(-4) = 13;f(3) = 20 Vậy giá trị nhỏ nhất f (max) = -12 đạt được khi X = 1 V Bình luân : • Một bài tìm Min max sử dụng phương pháp dồn biển hay, Việc tìm cận và tìm giá trị nhỏ nhất có sự đóng góp rất lớn của Casio để tiết kiệm thòi gian. VD4 -fKhảo sát chất lượng chuyên Lam Son - Thanh Hóa năm 2022] Giá trị lớn số 1 của hàm số y : 2mx +1 trên đoạn [2; 3 ] là lúc m nhận giá trị bằng: D. “2 37 Giải :❖ Cách 1 : CASIO > Ta hiểu nếu giá trị nhỏ nhất của y = ~~ trên y+ 1 = 0 có nghiệm thuộc đoạn [2; 3 ] đoạn [2; 3 ] cỏ nghĩa là phương trìnhỊ > Thử nghiệm đáp án A vói m = -5 ta thiết lập ■ ^ x ll + 1-0 .Sử dụng hiệu suất cao dò nghiệm SHIFT SOLVE aplOQ)+lRp5pQ)$+alR3qr2.5= 0 Math JL m I I i. I A X=®”-0.064516129 L-R= 0 Ta thấy khi y = 1 thì X = "0.064... không phải là giá trị thuộc đoạn [ 2 * 3 ] vậy đáp án A sai > Tưong tự như vậy ta thấy đáp án c đúng với m-0 khi đó y có dạng -X alRpQ)$+alR3qr2.5= 0 -4-r+HÉr -X 3 Mxth 3 0 Ta thấy khi y khi X = 3 là giá trị thuộc đoạn [2;3] => đáp án c đúng chuẩn ❖ Cách tham khảo : Tự luận ■ Tính đạo hàm y' =- v 1 - k" - f --——- = —-4- > 0 với mọi X e D (m-x) 2 (m-x) 2 => Hàm y luôn đồng biến => Hàm y đạt giá trị lớn số 1 tại cận trên X = 3 1 6m+1 -1 .. _ „ ■ Vậy y(3) = -4-<=> —-<=>m = 0 y K ’ 3 m-3 3 V Bình luân : o Ta hoàn toàn có thể sử dụng máy tính Casio theo VD1 và VD2 với hiệu suất cao MODE 7 Ta thấy với đán án c hàm số y = - - đạt giá trị lớn số 1 —t khi X = 3 w7 a 1 RpQ)=2=3=1P19= 0 Math M F(KĨ 1 B 2nB3M1 -D.3U5 13 ÉOI -0-333 -01333 VD5 -fThi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2022] Cho hàm số y = asinx + bcosx + x (o < X < 2ĩi) đạt cực lớn tại những điểm x = -| và x = 7t. Tính giá trị của biểu thức T = a + bV3 A. T = 2%/3 B. T = 3+3 + 1 c. T = 2 D. T = 4 38 Giãi ❖ Cách Ị : CASIO > Ta hiểu hàm số đạt cực trị tại X = x () thì x n là nghiệm của phương trình y ’ = 0 > Tính y' = acosx-bsinx + 1 . Ta có y' = 0 <=> ~a — —-b + “ = 0 (1) 2 2 3 Lại cóy'(7t) = 0<=>”~a*f 7t = 0 =>a = 7t . Thế vào (1) ta được > SHIFT SOLVE ap 10Q)+1 Rp5pQ)$+a 1 R3qr2.5= .^ B Math x=f -0.064516129 L-R= 0 Ta thấy khi y = ™ thì X = -0.064... không phải là giá trị thuộc đoạn [2;3] vậy đáp án A sai > Tương tự như vậy ta thấy đáp án c đúng vói m = 0 khi đó y có dạng -X alRpQ)$+alR3qr2.5= □ _4-+-±- Math x= " L-R= o 0 Ta thấy khi y = — khi X = 3 là giá trị thuộc đoạn [2;3] => đáp án c đúng chuẩn ❖ Cách tham khảo : Tự luận ■ Tính đạo hàm y' = - ; - -——- = > 0 với mọi x € D (m-x) (m-x) => Hàm y luôn đồng biến => Hàm y đạt giá trị lớn số 1 tại cận trên X = 3 ■ Vậy y(3) = —«“■o—12— = -~-om = 0 7 w 3 m-3 3 ❖ Bình luân : ❖ Ta có thê sử dụng máy tính Casio theo VD1 và VD2 với hiệu suất cao MODE 7 Ta thấy vói đán án C hàm số y = “ đạt giá trị lớn số 1 khi X = 3 X 3 w7a 1 RpQ)=2=3=1 p 19= 0 _ Màth Fíio ; “ 0.3451 ỊB il ẻo 2.0941 - 0.339 -0.333 39 BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài l -[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]. Gọi M,m là giá trị lớn số 1 và giá X 2 trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn Ị-l;il . Khi đó: e x * A. M = B. M~e;m = 0 c M-e,m = ” D. M~e;m = l e e Bải 2 -iThi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2022] Tìm giá trị lớn số 1 M của hàm số y = Vx + 3 + Vổ- X ..j..1. .. Đ.,_u = 2.±s.. _-.! Bài 3 -fThi thử chuyên Vị Thanh - Hậu Giang lần 1 năm 2022] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm sổ y = (x 2 - 2x + 3) 2 - 7 A. miny~-~5 B. miny = ™7 c. min y = -3 D. Không tồn tại min Bải 4 4Thi thử THPT Lục Ngạn - Bắc Giang íân 1 năm 2022] Tìm m để hàm số y - mX — 4 đạt giá trị lớn số 1 bằng 5 trên f-2;6Ì x + m ' ơ L J A. m-~ B. m = c. m = “ D. m 6 5 4 7 Bải 5 -[Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu -Nam Định lần 1 năm 2017] Gọi M,n lần lượt là giá trị lón nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = Ịx 3 -3x 2 +1| trên đoạn [~2;l] thì: A. B. M = 0;m = -19 c. M = 0;m = -Ỉ9 D. Kết quả khác Bài 6 TThi thử THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc lần 1 năm 2022] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = Vl + sinx + Vl + cosx là: A. miny = 0 B. miny^l c. miny = ^4-2^Ỉ2 D. Không tồn tại GTNN Bải 7 -ỊThi thử chuyên Trần Phú - Hải Phòng Đất Cảng lần 1 năm 2022] Cho hàm số y = 3sin X - 4sin 3 X . Giá trị lón nhất của hàm số trên khoảng chừng A. 1 .B. 7 . c. -1 D.^. Bải 8 -ỊThi HK1 THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHSP năm 20171. Gọi M,n lần lượt là giá trị lớn số 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x 2 -3)e x trên đoạn' [ti;2]. Giấ trị củá ; biểu thức p = (m 2 - 4M) 2í)I6 là: I A. 0 B. e 2022 c.l 40 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1. Lập báng giá trị cho y = r (X) = 7- vói lệnh MODE 7 Start -1 End 1 Step = w7aQ)dRQK A Q.)==p1 =1 =2P19= M&th F CH) !'! F 1 HHhbì 2.1103 10 -0.053 3.3*103 3 -0.534 1.3551 11 ỉipTmh 3« G-IÕ3 3 -0.153 1.3135 13 0.15na 0.3 7 3 - 1 0.05263157895 ■ Quan sát bảng giá trị thấy ngay M = 2.7I82 = e đạt được khi x = -[ và m =2.6x10“'«0 Sử dụng Casio ==> Đáp số chính xác là B Bải 2. Theo điều kiện xác định thì I x + 3 ^ <=> -3 < k < 6 16 - X > 0 • Lập bảng giá trị cho y = 7x + 3 + 76 - X với lệnh MODE 7 Start -3 End 6 Step 0.5 w7sQ)+3$+s6pQ)=p3=6=0.5= Ms.tN 3 Ị 6 11 0 FCỊỊ)_ „ 4.235 4.3436 4,335 Mwh À 0*4 £ 1.5 4. k4kb4Ubo«' Quan sát bảng giá trị thấy ngay M = 4.2421 = 372 đạt được khi X = -l và m = 2.6x10”' as 0 Sử dụng Casio => Đáp SỐ chínla xác là B Bải 3 ■ Đề bài không nói gì đến miền giá trị của X . Khi đó ta chọn Start -9 End 10 Step 1 a Lập bảng giá trị cho y =(x 2 -2x+ 3) 2 -7 với lệnh MODE 7 w7(Q)dp2Q)+3)dp7—p9*10=l= 0 M&th 10 JLi fím:» 2 iĩ -3 iẻ 3 2 ■ Quan sát bảng giá trị thấv ngay miny = -3 đạt đrrợc khi X = 1 => Đáp số chính xác là c _ 2 . Bải 4 Thử với m = — thì giá trị lớn nhất là 25 => A sai w7a2Q)P6p4RQ)+2P6=p2=6=0.5= 0 1 H I F 3 ỹ 5 -0.5 B Tương tự như vậy với m = 34 thì giá trị lơn nhất là 5 Đáp số c chính xác w7a34Q)p4RQ)+34=p2=6=0.5= «1 11 F CH) TPĨ. 1 5.5 25 0 “12 41 H Ftỉb ỉ 5 5 ụ.E5EM 15 n ẼÊÊằẾồ M.BÌE9 5 Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối ta thêm lệnh SHIFT HYP. Sử dụng MODE 7 với Start -2 End 1 Step Ặ F 19 w7qcQ) A 3$p3Q)d+l=p2=l=3P19= 0 _ M&th . 0 Math M FÍK) K F tio SÉÉĐĨ 19 19 |iFTÍ:L r h- D.OBMI ! -I.BHẼ I5.Ụ9 19 D.BMEI Ũ.BÌriâ i -i.EBM ỈE-Ẽan EO 11 -2 0.6842105263 ■ Quan sát bảng giá trị thấy M = 19;m-0 => Đáp số c chính xác Bài 6 ■ Vì chu ki của hàm sin, cos là 2n nên ta chọn Start -271 End 27Ĩ Step ■ Lập bảng giá trị cho y - Vl + sin X + V1 + cos X với lệnh MODE 7 qy4w7sl+jQ))$+sl+kQ))=p2qK=2qK=4qKP19= _ _ 0 _ Math -1.653469818 Quan sát bảng giá trị thấy ngay M = 1.0162 «1 => Đáp số chính xác là B Bài 7 ■ Lập bảng giá trị cho y = 3sin X - 4sin 3 X với lệnh MODE 7 Start ~~ Enđ — Step — qw4w73jQ))p4jQ)) A 3=pqKP2=qKP2=qKP19= 13 . Math I_iĩ_I F(K> I 11 II I Bin a-l.MDSD.in9U il -I.ẼụlDÌ|Ù|9l_ -1.570796327 Quan sát bảng giá trị lớn nhất là 1 Đáp số chính xác là A Bải 8 2 ■ Lập bảng giá trị cho y = Vl + sinx + Vl + cosx với lệnh MODE 7 Start 0 End 2 Step w7(Q)dp3)QK A Q)=0=2=2P19= !líỂS : yỉỉ 11 i.Dsãs_ rằ-ii2_ 0.9473684211 a Matb F m Ị K F(Ịị> Ị.BBMn gỊÉạụỊ mỂÊtr- n.iiả 0 _ Math ■ Quan sát bảng giá trị ta thấy m = -5.422 và M = 7.389 => p = (m 2 - 4M)”" = (-0.157916) 20lf ' « 0 => Đáp số chính xác là A 42 T. CASIO TÌM NHANH KHOẢNG ĐỒNG BIẾN - NGHỊCH BIÊN CỦA HÀM SỐ 1) KIẾN THỨC NẾN TẢNG 1. Tính đông biến nghịch biên: Cho hàm sô y = f(x) có đạo hàm trên khoảng I. Neu f'(x)>0 với mọi xel (hoặc f’(x)<0 với mọi xel)và f'(x) = 0 tại hữu hạn điêm cua I thì hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biển) trên I. 2. Cách 1 Casio: Sử dựng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tinh Casio . Quan sát bảng kết quả nhận được, khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biêh, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng ngHịch biến. 3. Cách 2 Casio: Tính đạo hàm, thiết lập bât phương trình đạo hàm, cô lập m và đưa về dạng m>f(x) hoặc m Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng hiệu suất cao lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start -10 End —t Step 0.5 w72Q) A 4$+l=plO=p0.5=0.5= 0 Mkth 1.1 FÍMĨ sorioi -g.5 13531 -3 13153 -iữ Ta thấy ngay lúc X càng tăng thì f (x) càng giảm => Đáp án A sai Ị> Tương tự như vậy, đê kiểm tra đáp án B ta cũng sử dụng hiệu suất cao MODE 7 với thiết Ịập Start 0 End 9 Step 0.5 ; w72Q) A 4$+l==0~9=0.5= . ... . . • 0 Math K F(K5 1 □ . 5 1. 155 ĩ 3 Ta thấy khi X càng tăng thì tương ứng f (x) càng tăng => Đáp án B đúng ❖ Cách 2 : CASIO ĐẠO HÀM > Kiểm tra khoảng chừng Ị^-oc;—ta tính qy2Q) A 4$+l$palR2$p0.1= 43 £16 125 Đạo hàm ra âm (hàm số nghịch biến) Giá trị -i-0.1 vi phạm => Đáp án A sai > Kiểm tra khoảng chừng (-oc;0) ta tính f'(0-0.l) H!!!!oooooo~ E Math Á. é(2xM)| I= ; o .f 125 Điểm 0-0.1 vi phạm => Đáp án D sai và c cũng sai Đáp án đúng là B > Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng không. Ta tính f (1 + 0. l) = 1331 125 Chính xác !!!!!ol+= 0 M&th Ả £(2XM)| 1331 1 ■?<=. 125 ❖ Cách 3 : CASIO MODE 5 INEQ Hàm sô bậc 4 khi đạo hàm sẽ ra bậc 3. Ta nhẩm những thông số này trong đầu. Sử dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc 3 wRl238=0=0=0= a Math A 0 !♦> Cách tham kháo : Tự luận ........ i~ 7 T~ 7 " ,7777 ;■ Tính đạo hàm y' = 8x 3 ■ Để hàm số. đồng biến thì y' >: 0 <=> X 3 > 0 ọ X > 0. I Vậỵ hàm số đọrig biện trên khoảng chừng (0; + oc) ❖ Bình luân : • Khi sử dụng Casio ta phải để ý: Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (a;b) thì sẽ luôn tăng khi X tăng. Nếu lúc tăng lúc giảm thì không đúng. Bải 2 ~[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Hàm số y = X 3 + 3x 2 + mx + m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là: A. m < 1 B .J c. -1 ậ m < 3 D. m<3 1 '■ỆGỉải " : M 1 ❖ ciach 1 : CÁSIQ > Để giải những bài toán liên quan đến tham số m thì ta phải cô lập m Hàm số đồng biến o y ' > 0 o 3jr + 6x + m > 0 <=> m>~ 3jc 3 - 6x = f(x) 44 Vậy đẽ hàm số y đông biến trên tập xác định thì hay m> max) vói mọi X thuộc R Đê tìm Giá trị lớn nhât của /(.v) ta vẫn dùng hiệu suất cao MODE 7 nhưng theo cách dùng của kỹ thuật Casio tìm min max w7p3Q)dp6Q)=p9=10-l= 1,1 □ F miầỀc: J IB3 -B “IMM -1 -105 r Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn số 1 của f(x) là 3 khi X = -1 a l f » II ■ể F3 *** Cách tham khảo : Tự luận ■ Tính đạo hàm y ’ -* 3x 2 -r 6x + m - Để hàm số đồng biến thì y' > 0 <=> 3x 2 + 6x + m > 0 với mọi X e R (*) oA , <0o9“ 3m <0om>3 ❖ Bình luân : • Kiên thức (*) áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2: "Nếu tam thức bậc hai ax 2 + bx + c có A < 0 thì dấu cúa tam thức bậc 2 luôn cùng dấu vói a VD3 ~[Đẻ minh họa thi THPT Quốc Gian lân 1 năm 2017] Tìm tất cả những giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = — x ~ 2 - đồng biến trên tan X - m khoảng chừng 1^0;— m < 0 1 < m < 2 B. m < 2 C. 1 < m <2 D. m > 2 ❖ Cách 1 : CASIO > Để bài toán dễ nhìn hơn ta tiến hành đặt ẩn phụ: Đặt tanx = t. Đổi biến thì phải tỉm miên giá trị của biến mớỉ. Để làm điều này ta sử dụng hiệu suất cao MODE 7 cho hàm f(x) = tanx. qw4w71Q))=0=qKP4=(qKP4)P19= »» a F (KĨ HUÌBKIÍii D □.OM 13 Ũ.DMI3 Ũ.ŨB2B O.OBẻQ Ta thấy 0 < tanx < 1 vậy t € (0; l) Bài toán trở thành tìm m đế hàm số y = “—— đồng biến trên khoảng chừng (0; l) t - m v ; 45 . 1 _, (t-m)~(t-2) 2 - m > Tính đạo hàm: y =-——-= 7“— -77 (t-m) (t-m) y 1 > 0 2" m >0<=>m<2 (1) (t-m) > Kết hợp điều kiện xác định t~m^0am^t^mỂ(0:l) (2) . _., fm <0 , * ,v . ' Từ (1) và (2) ta được 1 < m < 2 Đáp án A là đúng chuẩn ❖ BinHTuâh : • Bài toán chứa tham số m ờ dưói mẫu thường đánh lừa tất cả chúng ta. Nếu không tỉnh tácỊ I tất cả chúng ta sẽ chọn luôn đáp án B Tuy nhiên điểm nhân của bài toán này là phải phối hợp điều kiện ở mẫu số. m * t mạ t •€= (O; l) v ậy m £ (0; l). VD4 -[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y = sinx -COSX 4 - 2017v/2mx đồng biến trên R A. m>2022 B. m <0 c. m> D. m> ❖ Cách 1 ; CASIO !> Tính đạo hàm y • = cos X + sin X + 2022 Ỉ2m ■ • -sinx-cosx y > 0 <=> m > 20nj2 - x I Để hàm SỐ luôn đồng biến trên R thì m > f (x) đúng với mọi X e R haỵ m > f (max) > Để tìm giá trị lớn số 1 của hàm sổ ta lại sử dụng hiệu suất cao MODE 7. Vì hàm f (x) là hàm lượng giác mà hàm lượng giác sinx,cosx thì tuần hoàn với chu kì 2tí vậy ta sẽ thiết lập Start 0 End 2ĩt Step q w4w7apjQ))pkQ))R2017s2=0=2qK=2qKP19= 1.1 s FÍHĨ ■■HH 1 -3-mM D.33DE B.EEĨ3 -M-.dM Quan sát bảng giá trị của F(x) ta thấy f(max) —f(3.9683)»5.10 Q. Mlth FÍK) Ị _ _ H_ F ÍX) I? 3.G3HE U.Ì-idM 1M «.599 «: G-idỊÌ 3.968327562 Đây là một trong giá trị * —vậy m > —t- => Đáp án đúng là c ♦> Cách tham khảo : Tự luận __ /r ^ ^ ~sinx~cos ■ Tính đạo hàm y’-COSX+ sinx4-2017v2m. y>0om>—2022-72 ■ Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì -sinx -COSX 46 (-sinx - cosx) 2 < Ị(-l) 2 + (~l) 2 )(sin 2 X + cos* x) = 2 =>~JĨ < (-SÌĨ 1 X - cosx) < yfĩ ã S f WS; ^ 2022 Vĩ ' 2017n/2 /2 J f(x) đạt giá trị lớn số 1 là - - - ---- r=>m > f(max) = 2017n/ 2 2022 v ' 2022 ♦í* Binh luân : • Vì chu kì của hàm sinx,cosx là 2n nên ngoài thiết lập Start 0 End 2 71 thì ta hoàn toàn có thể thiết lập Start -71 End -K • Nếu chỉ xuất hiện hàm tanx, cotx mà hai hàm này tuần hoàn theo chư kì K thì ta có thể thiết lập Start 0 Enđ n Step ỷ~ VP5 "ÍThi thủ chuyên Trần Phú - Hải Phòng Đất Cảng lân 1 năm 2022] Tìm m đế hàm số y = X' + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2. A. m = 0 B. m < 3 c. m = 2 D. m > 3 Giải ❖ Cách 1 : CASIO > Tính y’ = 3x 3 +6x 2 +m Ta nhó công thức tính nhanh "'Nếu hàm bậc 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng a thì phưoaig trình đạo hàm có hai nghiệm và hiệu hai nghiệm bằng a " Vói a là một số trong những xác định thì m cũng là một trong số xác định chứ không thể là khoảng chừng => Đáp số phải là A hoặc c. Vói m = 0 phưomg trình đạo hàm 3x 2 +6x = 0 có hai nghiệm phân biệt khoảng chừng cách giữa chúng bằng 2 => Đáp án A là đúng chuẩn ♦> Cách tham khảo : Tự luận ■ Tính y ‘ - 3X’ 1 + 6x 2 4- m. Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì phương trình đạo hàm có 2 nghiệm x,,x 2 và |xj -x 2 1 = 0 ..[x,+x 2 =-2 ■ Theo Vi-et ta có ị m [ X ' X2= T ■ Giải |Xị -x 2 | = 2o(xj -x 2 ) 2 =4o(Xị +x 2 ) 2 “4x,x 2 =4 „ 4m ^ <=> 4-~-~- - 4 <=> m = 0 3 47 BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải l -ÍThi thử chuyên KHTN -HN lần 2 năm 2017] Cho hàm số y = -X 4 + 2x 2 +1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (- oc;—l) B. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (- oc;0) c. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (0; + oc) D. Hàm số đồng biến trên khoảng chừng (l;+ oc) :Bải 2 “[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong cảc hàm số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biên) trên R A. y = í — . * u B. y = c. y - (ti ) 3 D. y = 2y2 Bải 3 “[Thỉ Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Tìm những giá trị thực của tham số m để hàm số y = ——— * đồng biến trên từng khoảng chừng xác định. 2x + m A. m<2 B. m < -1 m > 2 c. m & 2 D. -1 < m < 2 Bải 4 -fThi thử chuyên Hạ Long “ Quảng Ninh lần 1 năm 2022] Tìm những giá trị thực của tham số m để hàm số y = m-sinx nghịch biến trên khoảng chừng 0; l 6 A. m>“ B. m < “ c. m <“ D. m>~ 2 2 4 4 Bải 5 -[Thi thử chuyên Vị Thanh - Hậu Giang ĩân 1 năm 2017] Tìm tất cả những giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 2siir X -3sin 2 X + msinx đồng biến trên khoảng chừng tC 0 ;~: 2 / A. m>0 _ 3 _ 3 B. m <— c. m >- D. m >- 2 2 Bải 6 >[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 năm 2017] Tìm m để hàm số y = mx' - X 2 + 3x + m - 2 đồng biến trên khoảng chừng (”3;0) ? A. m = 0 B. m = ±1 c. 3m ^ ±1 D. m = 1 Bằi7^ rrhithư ÌhPT Bảo Lầm - Lâm Đồng lần 1 năm 2022] Tìm tất cả gỉá trị thực của tham số m sao cho hàm số y == e x ~m -2 - m đồng biến trong;! khoảng chừng I In-~;ồ A. mé[-l;2] c. me (l; 2 ) B. m-€ D. m e 11 2 ; 2 „ ì_l 2 * 2 u 48 B ài 8 -[Thi thử chuyên Trần Phú - Hải Phòng lần 1 năm 2017] Tìm tất cả những giá trị thực m đế hàm số y = 2x’ + 3(m- l)x 2 + 6(m -2)X + 3 nghịch biến trên khoảng chừng có độ dài lớn hon 3. fm > 6 A -_ n B. m>6 c. m<0 D. m =9 m <0 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN ìil Giải bất phưong trình đạo hàm với lệnh MODE 5INEQ wRl 23p4=0=4=0= _ _ _ 0 Ma.th X A, B, c đều sai => Đáp số đúng là D 49 Chủ ỷ : Việc chọn m khôn khéo sẽ rút ngắn quá trình thử đáp án Bải 4 ■ Chọn m = 3. Khảo sát hàm y = vói hiệu suất cao MODE 7 cos X qw4w7a3p j Q.) )RkQ)) d=0=qKP6=qKP6Pl 9= s Màth => m = 3 sai => A; Đ đeu sai 3 sin X V( - hiệu suất cao MODE 7 E FÍHĨ 1.3 D.0515 1-3134 □«□551 112M0H 0 m = 1.3 đúng B là đáp số đúng chuẩn (Đáp án c không chứa Ta thấy hàm số luôn 1.3 nên sai) Bải 5 ■ Chọn m = 5 . Khảo sát hàm y = 2sin 3 X - 3sin 2 X + 5sinX vói hiệu suất cao MODE 7 w72jQ)) A 3$p3jQ))dp5jQ))=0=qKP2=qKP20= □ _ Math i K I FÍKĨ ỉ 1 5 3 □ Ta thấy hàm số luôn giảm =5> m = -5 sai => B sai ■ Chọn m = 1. Khảo sát hàm y = 2sin 3 X - 3sin 2 X + sin X vói hiệu suất cao MODE 7 FOÕ HnBi ũ ũ- 151 -Ũb bmi □rãiMi -1.113 ■ C!!!!oo+—= s Math M F(HJ 1 HÉHOT D 2 ũ. ỉ 51 Q..03ŨG 3 □»51 MI 51Ũ0Ĩ5 Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm => m = 1 sai => A sai Chọn m=4 .Khảosáthàm y = 2sin : 'x-3sin 2 x + ^sinx vói hiệu suất cao MODE 7 2 2 C!!!!(3P2)== 0 . Math Ji F(KJ 1 HHHÉI D É a. 151 0.ỈGBB 3 0b 3 i M ỉ 0.235 3 _ Ta thấy hàm số luôn tăng => m = - đứng => c sai Bài 6 ■ Tính đạo hàm y ’ = 3mx 2 -2x + 3. Hàm số đồng biến « 3mx 2 -2x + 3>0<=>m> = f (x) 50 ■ Vậy m>f(max) trên miền (~~3;0).Tìm f(max) bằng lệnlì MODE 7 w7a2Q)p3R3Q)d=p3=0=3P19= □ . Ma.th 11 F(HĨ 1 MÊÍầÊEẼ -Um 333 E -E.BME -6.350 3 -5.GBM -n.iãn Ta thấy f(max) = 0.3333... = i => m>~ sai => D là đáp số đúng chuẩn Bải 7 ■ Chọn /77 — 1 . Khảo sát hàm y = — 2 với hiệu suất cao MODE 7 w7aQK A Q.)$plp2RQK A Q.)$pl d=hl P4)=0=phl P4)P19= □ M&th Ị aầl;|r sTeEGE Ệ -1.313 ãl tIẹE 3 - 1 - ẽp _ - 1.336294361 Ta thấy hàm số luôn tăng trên => m -1 nhận => A, D hoàn toàn có thể đúng ■ Chọn m = — . Khảo sát hàm y = —.ClL c với hiệu suất cao MODE 7 • C$$$$$$(p$)R$$$$$(p$)==== £3 Math ỊũBầK F ị I -Ọ.lSB 1Ẽ -5.503_1 - 0.7296286111 Ta thấy hàm số luôn không đổi (hàm hằng) => /77 “ — 1 loại => A sai và D là đáp số đúng chuẩn Bải 8 ■ Tính y' = 6x 2 +6(m~l)x + 6(m-2) . Theo Vi-et ta có : I X| x 2 “ 1 ” m 1 x,x 2 — m *“ 2 ■ Khoảng nghịch biến lớn hcm 3 =>|Xị — x 2 Ị > 3 <=> (x, ”X 2 ) 2 > 9 I o(Xj +X 2 ) 2 ~4XịX 2 -9>0 o- (l - m) 2 - 4(m - 2) - 9 > 0 Sử dụng MODE 7 với Start -3 End 10 Step 1 để giải bất phưomg trình trên w7(lpQ))dp4(Q.)p2)p9=p3=10=l= Q. Math 0 K FÍK>_ _ FÍKJ_ 3 -I 3 3 5 -5 y w ộ Ị ộ —r □ 51-5 1111 0 Ta nhận được 7 => A là đáp số đúng chuẩn m < 0 r Míth 6 51 T. CASIO GIẢI NHANH BÀI TOÁN cực TRỊ HÀM SÔ Ịl) KỊỂN THỨC NỀN TẢNG Ịt. Điểm cực lớn, cực tiểu : Hàm số f liên tục trên (a;b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên cackhoặng (a;x 0 ) và (x () ;b), Khi đó: c;.;Nểú f '(x 0 )đổi dấu từ âm sang dương khi X qua điểm Xp thì hàm số đạt cực tiêu-tạiị I điẹm x 0 Nên f , (x 0 )đồì dấu từ dương sang âm khi X qua diêm x () thì hàm số đạt cực lớn tại điểm _ .; ..;.. ; ; . . ,. Ị . . ; . . ; 2.Lệnh Casio tính đạo hàm qy 2) VÍ DỤ MINH HỌA VDl -IThi thử chuyên KHTN -HN lần 2 năm 2022] Cho hằm số y = (x -5)yfx* . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm SỐ đạt cực tiểu tại X = 1 B. Hàm số đạt cực tiểu tại X = 2 c. Hàm số đạt cực tiêu tại X = 0 D. Hàm số không còn cực tiểu Giải * Cách 1 : CASIO > Để kiểm tra đáp án A ta tính đạo hàm của y tại X -1 (tiếp tục màn hình hiển thị Casio đang dùng) !ol= [3 MĩtN A ^C(X-5) - 1.666666667 Ta thấy đạo hàm y'(l) ^ 0 vậy đáp số A sai > Tương tự với đáp án B (tiếp tục màn hình Casio đang dùng) !!o2= s Math A &(cx-5) 3 i5?c> Ũ Ta ửiấy y’(2) = 0 . Đây là điều kiện cần để X = 2 là điểm cực tiểu của hàm số y Kiểm tra y'(2-0.l) = -0.1345...<0 !!p0.1= Q Mãth Á ^((X-5) 3 ÌX^)| x > ■ - 0.1345646179 Kiểm tra y’(2 + 0.l) = 0.1301...>0 •' !!oooo+0.1= Q Math A ACcx-5) 3 ĨỈF)| x fr 0.1301494443 Tóm lại f’(2) = 0 và dấu của y' đổi từ - sang + vậy hàm số y đạt cực tiểu tại X = 2 52 => Đáp án B là chính xác •> Cách tham kháo : Tự luận ■ Tứứi dạo hàm : y-: (x - 5)Ậ-U blỉ&ẵ , Ĩíỉz21 * Ta có y'= 0 <=> 5(x-2) = 0 <=> X = 0 , _ 5(x “2) y >0<=> . >0<=> 3ựĩ X - 2 > 0 X “2 <0 y'<0<=>0 Cách 1 : CASIO > Tính đạo hàm y' - 4kx' + 2(4k -5)x Ta hiểu: Để hàm số y có 3 cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt (khi đó đương nhiên sẽ không còn nghiệm kép nào) Ta chỉ việc giải phương trình bậc 3: 4kx 3 + 2(4k - 5)x = 0 với a = 4k,b = 0,c = 8k - 10,đ = 0. Để thao tác này ta sử dụng máy tính Casio vói hiệu suất cao giải phương trình bậc 3: MODE5 > Thừ đáp án A với k - 1 w544=0=8pl 0=0= Xi= 0 MathT Xz= [3 MathVA 7T 72 2 2 V a Math A A3= 0 Ta thu được 3 nghiệm X, = = -2L£. ;x = 0 ỡ 1 2 2 2 Đáp án A là chính xác ❖ Cách tham khảo : Tự luận ■ Tính đạo hàm y' = 4kx 3 + 2(4k-5)x ■ Ta hiểu: Đế hàm y có 3 cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt (khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào) ■ y' = 0<=>4kx +2(4k-5)x = 0o ' , , ^ , , . v ' 4kx “(l0“8k) = 0 ( 2 ) Để y 1 = 0 CÓ 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 j 53 _ „2 _ 18 - 8/r o X = —7— >0o0<í<2 4Ấr Vậy k -1 thỏa mãn ❖ Bìnhluằn : • Đạo hàm là phương trình bậc 3 có dạng 3x1 + bx 2 + cx + d = 0 (a # o) nêu có 3 nghiệm thì sẽ tách được thành a(x-x,)(x-x 7 )(x-x,) = 0 nên vế trái luôn đổi dấu qua các nghiệm. Ịv ịỉtỀỆi. ' : : a- ■ ;:: ■ Tuy nhiên nếu đạo hàm là phương trình bậc 3 chi có 2 nghiệm thì sẽ tách thành a(x-x,)(x-x 2 ) 2 =ồ và sẽ có 1 nghiệm kép. có 1 cực trị ; Mở rộng thêm : nếu đạo hàm là 1 phương trình bậc 3 CÓ 1 nghiệm thì chỉ đổi dấu i lần ^ỉiMẺÉẾÃiẳẳÈ^^iăMỂẾ^ẫỂẼẫảỂấằễiễỀỂiIẾăỉSịỂếỂẼÊắẵ^&ẵMÊẵỀì ỀỂẳẺMMĩẵi ' ÊÊẳÊầỂ: ^3 -ưtí^^l^T''ÌamLỉển - Hà Nọi lan 1 nam 2017] Số điểm cực trị của hàm số y = |x|' - 4x 2 + 3 bằng: A. 2 B. 0 c. 3 D. 4 ❖ Cách 1 : T. CASIO > Tính đạo hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Ị|x| 3 j’==Ị^Vx^j j’ = (x 2 )* '-“(x 2 ) 2 .2x = 3x|xỊ Vậy y' = Ịjx| 3 “ 4x 2 + 3j’ = 3xỊx| - 8x > SỐ điểm cực trị tương ứng với số nghiệm của phương trình y' = 0 . Ta sử dụng chức năng MODE 7 đế dò nghiệm và sự đôi dấu của y ' qua nghiệm. w73Q)qcQ)$p8Q)=p9=10==l= 2 MÃth K .. F CH ĩ G -M - ị E 1 —8 0 = 0 -s u E , Math F F íí-ỉĩ 3 .1 M li a X MnsBMnml 2 F (KĨ 5 lũ □ iĩ i -5 2 Ta thây y ' đổi dấu 3 lần => Có 3 cực trị => Đáp án c là đúng chuẩn .. yD4 -[Khảo sát chẳt lượng chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa năm 2017] Tìm tất những những giá trị thực của m để hàm số y =-x 3 ~3rnx 2 +3(rn 2 -l)x-3m 2 + 5 đạt cực đại tại x = 1 •, A. | m= ? B. m = 2 c. m = 1 D m=0 - m-2 . * ■ - . ; J " jJ Giải *> Cách 1 : CASIO > Kiểm tra khi m = 0 thì hàm số có đạt cực lớn tại X = 1 không, qy 0) A 3$p3Q)+5$l= 0 Math À -3^5)1^! 54 0 Mkth A é(X 3 -3X+5 )|*ZĨỊ 57 100 !!oooo+0.1= 0 M»th A ềp z - 3X+5)Ị “ã 63 100 Vậy y' đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị X = 1 =s> m = 0 loại => Đáp án A hoặc D sai > Tương tự kiểm tra khi m = 2 Ũ !!p0.1= a Mtth A ^(X 3 -6X 2 +9X-Ì>; 100 !!!!!o+= „ B Math A ^(X 3 -6X 2 +9X-ír 57 “ 100 Ta thấy y' đổi dấu từ dương sang âm => hàm y đạt cực lớn tại X = 1 => Đáp án B đúng chuẩn ❖ Cách tham khảo : Tự luận “ Tính đạo hàm: y'= 3x 2 -6mx+ 3(m 2 - l) ^ ^ |~x = m -1 ■ Ta cỏ y = 0<=> X = m +1 Điều kiện cần: X — 1 là nghiệm của phương trình y ■ = 0 c^> m-l = l m = 2 o m + 1 =1 m -Ó Thử lại với m = 2 khi đó y' = 3x 2 “ 12x + 9 X = 1 X = 3 y' = 0o y’ >0o x>3 _ ^ o và y <0ol Hàm y đạt cực lớn tại X -1 ♦> Bình luân : • Việc chọn giá trị m một cách klìéo léo sẽ giúp tất cả chúng ta rút ngắn quá trình chọn để tìm đâp án đúng. VD5-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Cho hàm số y = asinx + bcos X + X (o < X < 2n) đạt cực lớn tại những điểm X = “ và X = 7t. Tính giá trị của biểu thức T = a + bV3 A. T = 2n/3 B. T = 3V3 + 1 c T = 2 D. T = 4 55 ụ|M- Giải ❖ Cách 1 : T. CASIO > Tính đạo hàm y , = (asinx + bcosx + x)' = acosx-bsinx + l Hàm sổ đạt cực trị tại X - — ^ a cos^r ~ b sin -^ +1 = 0 <=> “ a -~-Ệ- b f 1 = 0 (1) 3 3 3 2 2 Hàm số đạt cực trị tại X -^-=> acos7ĩ-bsin7ĩ +1 = 0 o -a -Ob + 1 = 0 (2) Từ (2) ta có a = 1. Thế vào (1) => b = V3 Vậy T = a + b>/3 = 4 =t> Đáp án D là đúng chuẩn VD6 “fThi thử chuyên Hạ Long - Quảng Ninh lần 1 năm 2022] Viết phưcmg trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = - 2x 2 + 3x A. 2x + 3y + 9 = 0 B. 2x + 3y “6 = 0 c. 2x-3y + 9 = 0 D. “2x + 3y + 6 = 0 Giúi ❖ Cách 1 : CASIO > Gọi 2 điểm cực trị của đồ thị là A(x t ;yj ),B(x 2 ;y 2 ). Ta không quan tâm đâu là vấn đề cực đại đâu là vấn đề cực tiẻu. Chúng ta chỉ việc biết đường thẳng cần tìm sẽ đi qua 2 điểm cực trị trên. x,;x 2 là nghiệm của phương trình y' = 0. Để tìm 2 nghiệm này ta sử dụng hiệu suất cao giải phương trình bậc 2 MODE w531=p4=3— a MattiY Xi= Xz= .. 3 0 MathYA 1 Ta tìm được Xj = 3;x 2 = ỉ > Để tìm y,; y 2 ta sử dụng hiệu suất cao gán giá trị CALC a 1 R3$Q.) A 3$p2Q) d+3Q) r3= X 3 -2X 2 +3X Math A 0 Khi x = 3 thì y = 0 vậy A(3;0) rl= 0 Math Ả ịX 3 -2X 2 +3X Khi X = 1 thì y = ~ vậy B^l;~j Ta thấy đường thẳng 2x + 3ý “ 6 - 0 đi qua A và B => Đáp án đúng là B ♦> Cách tham khảo : Tự luận ■ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: là phần dư của phép chia y cho y 1 ị ■ Tính y' = X 2 -4x4-3 ; Thực hiện phép chia được: ^-X' -2x 2 + 3x = Ị^~x -~ j(x 2 -4x 4- 3 )-~x -2 2 Vậy phương trình cần tìm có dạng y = -^x + 2<=>2x + 3y-6 = 0 •> Bình luân : • Cách Casio có ve hơi dài hơn thế nữa nhưng lại sở hữu ưu điểm tránh phải thực hiện phép chia y cho y'. BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải l -[Thi thử báo Toán học tuổi tré lân 4 năm 2017] Hàm số y = X 4 + X 2 +1 đạt cực tiểu tại: A. X = —1 B. X = 1 c. x = 0 D. x = “2 Bải 2 -[Thi thử THPT Yên Thế - Bắc Giang Tân 1 năm 2017] Giá trị của m đế hàm số y = -X’ 1 - 2x 2 +mx + 2m đạt cực tiểu tại X = “1 là: A„ m<~l B. m*-l c. m = —1 D. m>-l Bài 3 -[Đê minh họa thi THPT Quốc gia ĩân 1 năm 2017] Tìm giá trị cực lớn của hàm số y = X’’ -3x + 2 A. 4 B. 1 C.0 D. -1 Bài 4 -[Thi HKl THPT Chu Văn An - Hà Nội năm 2017] Đô thị hàm sô y = e x (x 2 “3x -5) có bao nhiêu diêm cực trị? A. I B. 0 c. 2 D. 3 Bải 5 -[Thi HK1 THPT Việt Đức “ Hà Nội năm 2017] Hàm sô y = Ịx| - X 2 + 4 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị A. 2 B. 1 c. 3 D. 0 Bải 6 -[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa năm 2017] Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x -1) 2 (2x + 3) . Số điếm cực trị của hàm số y = f (x) là: A. 2 B. 3 c. 1 D. 0 Bải 7 “[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Cho hàm số y-(x-l)(x + 2) 2 . Trung điểm của đoạn thẳng nốỉ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây. Bải 8 -[Thi thử chuyên VỊ Thanh - Hậu Giang lần 1 năm 2017] Tìm tất cả những giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = X' " 3x 2 + mx có 2 điểm cực trị trái dấu. A. m<0 B. 0 1 L:: .;.■ ■ 1 m > 1.. ; .... _.: _ __ ’ • • .. Bải 10 -[Thi thử chuyên KHTN ~HN lần 2 năm 2017] Tìm tập hợp tất cả những tham số m để đồ thị hàm số y = X 3 + x 2 + mx - m “ 2 có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành A. (-°c;0) B. (- oc;-l)-5 C.(-cc;0] D. (- oc;l)-5 57 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 ■ . . Ị ■ Ngoài cách thử lần lượt từng đáp án để lấy kết quả. Nếu ta áp dụng một chút ít tư duy thì phép thử sẽ ra mắt nhanh hon. Đồ thị hàm bậc 4 đối xứng nhau qua trục tung.ị Nếu hàm số đạt cực tiểu tại X = “1 thì sẽ đạt cực tiểu tại X = 1. => Đáp án A và B loại vìị ta chỉ được chọn một đáp án. ! _.:l' 1. 1 : ; ..._ ....; li..............., .... ..:.j.'. ..1.....: : ; ..] ■ Thử với X = 0 qyQ) A 4$+Q.)d+1 $0-1 !p0.1=!!!!! o+- 0 Mĩth Ả s Math A & (X 4 +x 2 +l )| Bũ ^ c X 4 +x 2 +1) I r <Ị> " " 51 0 ■ 250 a Mãtlì Ẩ £(X 4 + X 2 + l)| x " 9 > 51 250 Ta thấy f , (0) = 0 / f’(x) đổi dấu từ âm sang dưong ==> x = ”l là cực tiểu =>Đáp án c đúng chuẩn Bài 2 ■ Thử đáp án, ưu tiên thử giá trị xác định trước. Vơi đáp án c khi m-~ => y = -X 3 - 2x 2 “ X - 2 qypQ) A 3$p2Q)dpQ)p2$pl=!!p0.1=!!!!!o+= 0 Math A 0 Ma.th Ạ é ( -X 3 -2X 2 -X-2! > ^ c -X 3 -2X 2 -X -2 > ■ 23 0 ■ 100 s Math A Ẵ(-X 3 -2X 2 -X-ZI> 17 100 Ta thấy f'(“l) = 0, f (x) đổi dấu từ âm sang dưong => x = “l là cực tiểu => Đáp án c đúng chuẩn Bải 3 ■ Tính y’ = 3x 2 -3. X = —T Tìm điêìn cực lớn của hàm số là nghiệm phương trình y ’ = 0 <=> ■ Khảo sát sự đổi dấu qua điểm cực trị x = -l bằng phương pháp tính f'(-l-0.l) và f'(-l + 0.l) qypQ) A 3$p2Q)dpQ)p2$pl=! !pO. 1=!!!! !o+= 58 MÃth Ằ x=-ì B JẲ. ( 'v'3 _ov+o" t -Jy Qỉ•, + £.) Mtth A C-ỉ* 63 57 100 100 Ta thấy f (x) đổi dấu tù’ dương sang âm => X = “1 là vấn đề cực lớn của hàm số ■ Giá trị cực lớn f(-l) = (-l) 1 “3(”l) + 2 = 4 =>Đáp án đúng là A đúng chuẩn Bải 4 ■ Tính y' =e x (x 2 -3x -5) + e x (2x -3) ■ Dùng MODE 7 đê tìm điếm cực trị và khảo sát sự đổi dấu qua điểm cực trị w7QK A Q.)$(Q.)dp3Q)p5)+QK A Q.)$(2Q)p3)-=p9-10=l= , .. _ . 0 . Mith 0 Màth I K I F (HI ỉ í H I Pí! 5 Ị Q. K F (MĨ -Lj 0.3191 HHNCp 0.1991 -a -o.ai M F «:k:« 15 _g -MM.33 13 -MO.11 IM M 510.39 Ta thấy /'(.v) đổi dấu 2 lần => Hàm số có hai điểm cực trị =>Đáp án đúng là A đúng chuẩn Bải 5 Tính y = 3x|je|-2jc . / = 0o Jt = 0 2 . Dùng MODE 7 vói thiết lập sao cho X chạy qua A “3 3 giá trị này ta sẽ khảo sát được sự đổi dấu của y' w73Q)qcQ)$p2Q)=po-p2-2-lP3= K F (KĨ -1 HiNHH. 0 -o.ạaa 0.3333 Math M li] F CHĨ B -ũ.333 0.3333 1 HÈHi 0 0 0.3333 -0.333 “0 - 6666666667 Ma,ứf í B FCHĨ -0.333 0 ĩ Ũ.6666666667 Ta thấy f'(x) đổi dâu 3 lần ==>Đáp án đúng là c đúng chuẩn Bài 6 . Tính y ’ = 0 o X = 0 X = 1 . Dùng MODE 7 vói thiết lập sao cho X chạy qua 3 giá trị này 3 _ ._ ___' L _ . ^ 4. ta sẽ khảo sát được sự đổi dấu của y' w7Q)(Q.)pl)d(2Q)+3)=p2-1.5=0.25= ạ __ -!■ 15 Hạn? -USB s _FÍỊO E. E111 _ _ỊỊ -3.IBM Math -1, ỊỊỊ 9 lũ F(K> - 0.916 D.M9EĨ Math 59 ; Ta thấy f’(x) đổi dấu 2 lan =^Đẳp ần cSựửi xaciẩ A đúng chuẩn Chủ ỷ : Nếu quan sắt tinh tế thì ta thấy ngay (x-l) 2 là lũy thừa bậc chẵn nên y' không đổi dấu qụặ X-1 mà chị đổi dấu qua hại lũy thùạ bậc lẻ X. (hiểu lạ X 1 Ị) yà 2x + 3 (hiểu I là (2X + 3) 1 ) __ _ ■■.^..: . Bài 7 ■ Hàm số có dạng y = (x- l)(x + 2) 2 <=> y = X 3 + 3x 2 “4 Có đạo hàm y f = 3x 2 -f6x. y'-0<=> X = ~2 X = 0 = 0 = 4 ■ Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị M(-2;0),N(0;4). Trung điểm của hai điểm cực trị này là I(—1;2) . Điểm này thuộc đường thẳng 2x + y + 4 = 0 => Đáp số đúng là B Bai 8 C':'y T y;::•^■. .. 77 ■ Tính y ’ ■= 3x 2 -6x + m. Để hàm số cỏ 2 điềm cực t] rị trải dấu thì phương trình y' = ổ có 1 hai nghiệm phận biệt trái dấu => Tíc h hai nghiệm là số âm Oy <0om<0 => Đáp án| Ị đúng là A đúng chuẩn Chủ ỷ : Nếu quên định lý Vi-et ta có thế dùng phép thử. Vói đáp án A chọn m = -5 chẳng hạn sẽ thấy luôn y ’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm này đổi dấu. Bải 9 ■ Tính y' = 4mx 3 + 2(m- l)x. Để hàm số có đúng 1 cực lớn và không còn cực tiểu thì y' = 0 có đúng 1 nghiệm và y'(x) đổi dấu từ dưong sang âm qua điểm đó. ■ Chọn m = -5 . Dùng MODE 7 tính nghiệm y' = 0 và khảo sát sự đổi dâu của y'(x) w74O(p5)Q.) A 3$+2(p5pl)Q.)==p9=10=l= B Màth K F (KĨ 9 -1 32 ỉ 0 mii 0 11 ỉ -32 Ta thấy f’(x) đổi dấu 1 lần từ dương sang âm => m = -5 thỏa mãn Đáp án đúng có thế là A, B, c ■ Chọn m = 5 . Dùng MODE 7 tính nghiệm y' = 0 và khảo sát sự đổi dâu của y'(x) C$$$$o$$$$$$$$$$o== 0 . M*th K F ÍKĨ 9 -1 -20 10 maẳ 0 lĩ 28 Ta thấy f'(x) đổi dấu 1 lần từ âm sang dương =>m = 5 loại => Đáp án B sai 60 ■ Chọn m - 0.5 . Dùng MODE 7 tính nghiệm y' = 0 và khảo sát sự đổi dấu của y'(x) C$$$pO.$$$$$$$$$pO.— 9 iĩ 1.1 II B FCK) 5 0 ỉ -5 0 Ta thây / '(x) đổi dấu 1 rân từ dương sang âm => m = 0.5 thỏa mãn => Đáp án A đúng chuẩn Bải 10 ■ Tính y• = 3x 2 + 2x + m. Để hàm số có đúng 2 cực lớn thì y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt cx> A' — ỉ — 3m > 0 <7> m < ~ => Cả 4 đáp án đều thỏa ■ Chọn m = -5 . Hàm số có dạng y = X 3 + X 2 - 5x + 3. Tính hai điểm cực trị của hàm số bằng lệnh giải phương trình MODE 5 w533=2=p5= s MtthT Xi= A2= 1 0 MàthTA 5 3 Từ đó suy ra /(.V, ) = /(l) = 0;/(.r,) = /|-| j = ~ X s +X 2 -5X+3 X 3 +X 2 -5.X+3 Q. Mâth Á Ũ 256 27 Để hai cực trị nằm về hai phía trục hoành thì f (x, )f ịx 2 ) < 0. => m = -5 loại => B hoặc D có thế đúng. " Chọn m = 0. Hàm sô có dạng y = x 3 +x 2 - 2. Tính hai điếm cực trị của hàm số bằng lệnh giải phưcmg trình MODE 5 w533=2=0= , . 0 MỉđhT 0 MàthVA Xi= X2= 2 3 0 Từ đó suy ra /(*,) =/ị- 1j = -Ệ;f ịx 2 ) = /(o) = -2 B Math A x 3 +x 2 ~2 a Mitíi A 50 "27 X 3 +X 2 -2 -2 ■ Để hai cực trị nằm về hai phía trục hoành thì /(Xị ) f(x 2 ) < 0. m = 0 loại => B là đáp số đúng chuẩn 61 T. CASIO TÌM NHANH TIẾP TUYẾN CỦA ĐÔ THỊ HÀM SÔ 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Tiếp tuyến của đô thị hàm số tại một điểm : Cho hàm số y = f (x) có đô thị (c) và mọt điểm M(x 0 ;y„) thuộc đồ thị (c) . Tiếp tuyến của đồ thị (c) tại tiếp điểm M là đường thẳng d có phưcmg trinh : y = f'(x 0 )(x-x„) + y 0 2. L ệ n h Cas i o : qy ..._____. ..._.._______.... _ ^ . 2) VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1 -ÍThi thử THPT Lục Ngạn - Bắc Giang lần ỉ năm 2022] Tìm thông số góc của tiếp tuyên của đồ thị hàm số y — —- — ln X tại điểm có hoành độ băng 2 Giai V Cách 1 : CASIO > Gọi tiếp điểm là M(x n ;y„) Phương trình tiếp tuyến y = f’(x 0 )(x — x„) + y 0 > Sử dụng máy tính Casio để tính thông số góc tiếp tuyên tại điểm có hoành độ bằng 2 =>k = f(2) qy pal RQ)$phQ) )$2= a Math A &(-A-lnCX))| j; J> -0.25 > TathâyẢr = /’(2) = -0.25 = -^ . => B là đáp án đúng chuẩn Bải 2 “[Thi thử chuyên Hạ Long - Quảng Ninh lân 1 năm 2017] Cho hàm sô y = -X 3 + 3x -2 có đồ thị (c). Viết phương trình tiếp tuyến của (c) tại giao điểm của (c) với trục tung. A. y = -2x + l B. y = 3x-2 c. y = 2x + l D. y = -3x-2 r. : .■."... Giai . : .; : Ị [❖ Cách 1 : CASIO > Gọi tiếp điểm là M(x 0 ;y„) => Phương trình tiếp tuyến y = f’(x„)(x — x 0 ) ;> M là giao điểm của đồ thị (c) và trục tung => M có tọa độ (0;~2) I Tmhf'(0) = 0 .. .■ ....;. ......;._____.J qypQ) A 3$+3Q)p2$0= 0 Math À ^(-X 3 +3X-2)| x= Ễ 3 > Thế vào phương trình tiếp tuyến có y = 3(x-0)-2oy = 3x-2 62 => B là đáp án chính xác Bải 3 -ĨThi thử chuyên Nguyễn Thị Minh Khai lần 1 năm 2017]. Số tiếp tuyến với đồ thị (c) : y = x 3 -3x 2 +2 đi qua điểm M(l;0) là: A. 4 B. 2 c. 3 D. 1 Giải *> Cách 1 : CASIO r Gọi tiếp điểm là M(x f> ;y 0 ) => Phương trình tiếp tuyến y = f*(x 0 )(x-x () ) + y 0 Trong số đó thông số góc k = f’(x 0 ) = 3x 2 “6x (l > Thế f'(x 0 ) vào phương trình tiếp tuyến được y -(3x 2 -6x n )(x -x 0 ) + X 3 -3xfj + 2 Tiếp tuyến đi qua điểmM(l;0) =+> 0 = (3x 2 -6x„)(l ~x 0 )+ X 3 -3x 2 + 2 -2xl + 6x 2 -6x„ +2 = 0 Sứ dụng máy tính vói lệnh MODE 5 đế giải phương trinh bậc 3 trên w5p4p2=6=p6=2= (3 Mâth x= 1 > Ta thấy có một nghiệm x 0 => Chỉ có một tiếp tuyến duy nhất. => D là đáp án đúng chuẩn Bải 4 -fThi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2022] Cho hàm số y = X 3 -3x 2 +2 có đồ thị (c) . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của (c) với thông số góc nhỏ nhất A. y = “3x + 3 B. y = -3x-3 c. y = -3x D. y = 0 Giải ❖ Cách 1 : CASIO Gọi tiếp điểm là M(x 0 ;y 0 ) => Phương trinh tiếp tuyến y = f'(x H )(x-x 0 ) + y 0 . Trong số đó thông số góc k = f(x 0 ) = 3x 2 -6x 0 > Tìm giá trị nhỏ nhất của k bằng hiệu suất cao MODE 7 w73Q)dp6Q)=p9=10^1= B Math K lũ ũ D 11 hhhbi -3 ÌÊ ã 0 Ta thấy r(min) = f’(l) = -3=>x 0 =-3 =>y 0 = l 3 -3.1 2 + 2 = 0 > Thế vào phương trình tiếp tuyến có y=-3(x-l) + 0oy = -3x + 3 => D là đáp án đúng chuẩn Bải 5 -ĨThi thử báo Toán học tuổi trẻ lân 4 năm 2022] Cho hàm số y = x + 2 (c) Gọi d là x + i v J khoảng chừng cách từ giao điểm hai tiệm cận của (c) đến một tiếp tuyến bất kì của (c) . Giá trị lớn số 1 d hoàn toàn có thể đạt được là: A. 3 V 3 B. V3 c.72 D. l4ĩ 63 Giải ❖ Cách V . T. CASIO > Gọi tiếp điểm là M(x n ;y„) => Phương trình tiếp tuyên y = f' (X H ) (X - x„) + y 0 Trong số đó thông số góc k = f'(x,|) = - — 1 —J . .TS; Thế k,y„ vào phương trình tiếp tuyến có dạng : y = —-——-j(x - x„) + f - ■ ■ ■ (x„ + l) x» + l <=> - -X + y - .^± 2=0 (Xo+iỵ ' (x„+i) X 0 +1 > Hàm số có tiệm cận đứng X = -1 và tiệm cận ngang y = 1 nên giao điểm hai tiệm cận là Áp dụng công thức tính khoảng chừng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có: h = d(l;(d)) = K + 1 )' X M + 2 (x» + 1) X„ + l (x„ + l) + 1 2 Dùng máy tính Casio với lệnh MODE 7 đê’ tính những giá trị lớn số 1 này. w7aqcaplR(Q.)+l)d$+lpaQ)R(Q.)+l)d$paQ)+2RQ)+lRs(alR(Q.)+l)d$)d+l==p9=10=l= H FCKj 0«9101 WSÊSSSStíl ĩ-ĩ1B UẾ -1 EFĩRùR 0 Ma.tlì > Ta thấy h(max) = V 2 :=> c là đáp án đúng chuẩn Bải 6 -rThi HK1 THPT Việt Đức - Tp Hà Nội Thủ Đô năm 2022] Hàm số y: 2x-l : X — 1 (H), M là vấn đề bất kì và M e(H) . Tiếp tuyến với (H) tại M tạo với hai tuyến đường tiệm cận một tam giác có diện tích s quy hoạnh bằng : A. 4 B. 5 c. 3 D. 2 ị Giải 1* Cách 1 : CASIO I > Gọi tiếp điểm là M(x 0 ;y 0 ) => Phưong trình tiếp tuyến y = f'(x H )(x-x n ) + y 0 I rong đó Ị hệsổgóc k = f’(x„) = - 1 , . 1.. ,. :.■ : .. ;. : ..... I Thế k,y (1 vào phương trình tiếp tuyến có dạng: y = —-—í—j-(x - x 0 )+ ” ■ - (d) (x 0 -l) x 0 -l > Hàm SỐ có tiệm cận đứng X = 1 và tiệm cận ngang y = 2 và giao điểm 2 tiệm cận là I(l;2) Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến d và tiệm cận đứng => E 1; V 2x„ *0-l. 64 Gọi F là giao điếm của tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ro F(2x„ “ 1;2) > Độ dài IE = ỊlẼ| = (ì - i) : + j -Ỉ—--2 ' = 7 — Gĩ 1 1 V Un-1 ) |x„-l| Độ dài IF = ^(2x„ - 1 -1) 3 + (2 - 2) 2 = 2|x„ - l| Áp dụng công thức tính khoảng chừng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta có : > Diện tích AĨEF =^-IE.IF = “.T—.2|x 0 -l| = 2 => D là đáp án đúng chuẩn 2 2 |x 0 -1| BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài l "fThi thử chuyên Khoa học tụ nhiên lần 3 năm 2022] Cho hàm số y = X + 1 2x -1 . Tiếp tuyến tại điếm có hoành độ bằng -1 có thông số góc bằng: D. - _Ị_ 6 Bài 2 -[Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1 năm 2017] Tìm tọa độ của tất cả những điểm M trên đồ thị (c) của hàm số y = -—“ sao cho tiếp tuyến cúa (c) tại M song song với đương thẳng d: y = ~x + ~ A. (0;1),(2;3) B. (l;0),(-3;2) c. (-3:2) D. (l;0) Bải 3 -fThi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2022] Cho hàm số y = x ~~ 2 rá (c) * Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (c) và trục hoành có phương trình là : A. y = 3x B. y = 3x-3 C.y = x-3 D. y = -Ị-x-“ y 3 3 Bải 4 -[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x^ -3x biết tiếp tuyến song song với đường thắng y = 9x -16 A. y = 9x + 16 B. y = 9x + 12 C.y = 9x~ỈO D, y = 9x-12 Bải 5 ~fThi thử Group nhóm toán Meta lần 5 năm 2022] Tìm tọa độ điểm M có l ' - 2 ^ hoành độ âm trên đồ thị (c) :y =“X 2 “X + “ sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng y = -ỉX + — A. M(-2;0) B. D M , dx I"i+1JI X——0 Mí.th Á 0.5 => B là đáp án đúng chuẩn Bải 3 - • Gọi tiếp điểm là M(x„;y„) => Tiếp tuyến y = f'(x„)(x-x 0 ) + y 0 ■ M là giao điểm của đồ'thị' (c) và trục hoành => M(l;0) => x„ = l;y„ =0 Tính hệ so gổc k = f'(l) qyaQ)plRQ)+2$$l= ■'.; 0 Ma.th Á. .^r^ìi “ ứx L K+zJI X=1 3 Thay vào ta có tiếp tuyến y = i(x -1) + 0o y = h -i => Đáp SỐ đúng là D 66 Bải 4 ■ Gọi tiếp điểm là M(x n ;y„) => Tiếp tuyến y = F(x 0 )(x -x n )+ y fỉ với thông số góc k = f’(x 0 ) = 3xị; -3 ■ Tiếp tuyến song song vói y = 9x - í 6 nên có thông số góc k = 9 c=> 3xfj “ 3 = 9 <=> x 0 = ±2 Với x n = 2 ==> y n = 2 Tiếp tuyến : y = 9(x - 2) + 2 y = 9x - 16 . Tính thông số góc k = f'(i) => Đáp số đúng là A Bải 5 ■ Gọi tiếp điểm ỉà M(x n ;y 0 ) => Tiếp tuyển y = f'(x n )(x - x 0 ) + y 0 với thông số góc k = f’(x n ) = xị ~ 1 ^ 12 * Tiếp tuyến vuông góc với y = “X + — nên có thông số góc k.^-—j = -l ■=> k = 3 <=> xị - 1 = 3 <=> x„ = ±2 => Đáp SỔ đúng là A Bải 6 • Gọi tiếp điểm là M(x„;y„) => Tiếp tuyến y = f'(x„)(x - x„)+y„ vớihệsốgóc k = f'(x,,) = X, 4 ,-4x„ r 7 x„ = i;y„ = ~7 ■ Ta có f"(x) = 3x„-4 =>3x„-4 = -l ox ( 2 , =1=> 4 x« =*i;y»=” Với x„ = 1 Tính thông số góc k = f'(l) qyalR4$Q.) A 4$p2Q)đ$l= a Math Ả ^(ẶX 4 -2X 2 ) 2 '2 sổ rplO A 9)= (2 Math À K+l ŨK^+2K+Ĩ -0.4999999996 Tóm lại đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang và c là đáp án đúng chuẩn ❖ Cách tham khảo : Tự luận ■ Tính lim X +1 V 4x 2 +2x + l - lim 1 + - _ X 4 + - + -- X X đường thẳng y = ~ là tiệm cận ngang 72 Y *f I ” 1 Ị .. Ị ■ Tính lim - . ị .*■ = - lim - = r = --*-=> đường thẳng y = “™ là tiệm cận ngang '-'^ĨTTĨĨTĨ -• 071 2 2 V -V .Y ❖ Bình luân : ■ Việc úng dụng Casio để tìm tiệm cận sử dụng nhiều kỹ thuật tính số lượng giới hạn của hàm số bằng Casio. Các bạn cần học kỹ bài giói hạn trước khi tham gia học bài này. ■ Giới hạn của hàm số khi * tiến tới + cc và khi X tiến tói - cc là rất khác nhau. Ta cần hết sức để ý quan tâm tránh để sót tiệm cận ngang y = ~ VD2 -[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Đồ thị hàm số y~ - ^ (c) có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 4 B. 2 C.1 D. 3 Giải ♦> Cách 1 : CASIO > Tính lim -———-— = -l ,v-> + x Ị _ ỵ- aQ)dp3Q)+2RlpQ)drlO A 9)= 3 Mĩth A ” 1-xỊ~_ -0.999999997 Tính lim = = -1 -x- rplO A 9)= Q. A ỊXg -3 a+2 1 — -1.000000003 Vậy đường thẳngy = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số > Giải phương trình: Mầu số = 0 <=> 1 ~ = 0 <=> Đến đây nhiều học viên đã ngộ nhận x = l và X = -1 là 2 tiệm cận đứng của (c) Tuy nhiên a: = ±1 là nghiệm của phương trình mẫu số = 0 chỉ là vấn đề kiện cần. Điều kiện đủ phải là lim —.-. = 00 r -x 2 => Ta đi kiểm tra điều kiện đủ u .. X 2 - 3x + 2 Tính lim——— r —“-00 1 — x~ aQ)dp3Q)+2RlpQ)drplpO.0000000001= a Math A x2_3X+2 í-ỉ-a -3xm 10 73 Ị Vậy đường thẳng x = -ì là tiệm cận đứng cửa đồ thị (c) . ^ 2 -^ 3^+:2 1 Tính lim ——r —- = -f ~x 2 2 rl+ 0 . 0 () 00 () 00001 = Vậy đường thẳng X - 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị (c) => Tóm lại đồ’thị hàm số có một tiệm cận ngang y-- và 1 tiệm cận đứng x = ~ => Đáp số đúng là B ♦> Cách tham khảo : Tự luận Rút gọn hàm số y = X 2 - 3x + 2 _ (x-l)(x-2) _2~x 1 “X 2 ” “(x-ỉ)(x + l) x + ì Tính lim x + 1 - = lim • -i + - 1 + - => đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang ■ Tính lim-—- - lim [ -1 4 - - ---- x ->-'x + l x + 1 : ỷ Bình ĩúân : {■ Việc tử số và mẫu số đều có nhân tử chung dẫn tói hàm số bị suy biên như ví dụ 2 lạ thường xuyên xảy ra trong các đề thi. Chúng ta cần cảnh giác và kiểm tra lại bằng kỹ: VD3 -[Thi thử chuyên KHTN “HN ĩân 2 năm 2017] Đồ thị hàm số nào sau đây không còn tiệm cận ngang? j = 4- oc => đường thẳng y = -1 là tiệm cận đứng A. y = X — 1 x+2 B. y = x-1 X 2 +1 c. y = X 2 +1 X — 1 D. y = 1 x + 1 Giải * Cách 1 : CASIO > Tính lim -- - ---- = 4- oc x _ 1 aQ)d+lRQ)plrlO A 9)= ta Mrth A vv 1000000001 > Tính lim ------ = - oc x4T x x _! rplO A 9)= ta Mith ▲ K— 1 “999999999 Vậy đồ thị hàm số y: X 2 +1 X — 1 Tóm lại c là đáp án đúng chuẩn không còn tiệm cận ngang 74 *> Cách tham khảo : Tự luận , I x 2 -fl X + -T ■ Tính lim ——— = lim-“ = + cc X — 1 *->+'- 1 1 X .. , I x 2 +1 X + ~- . ■ Tính lim —-— = lirn-“ = “ oc => Đồ thị hàm số không còn tiệm cận ngang X ❖ Bình luắn : ■ Đồ thị hàm số y = f(x) không còn tiệm cận ngang nếu limy bằng co VD4 ~[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa năm 2017] Tìm tất những những giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số A, m = 1 B. m = “1 y = 5x - 3 X 2 -2mx +1 c. m < “1 m > 1 không còn tiệm cận đứng D. -1 < m < 1 Giải ❖ Cách 1 : CASIO > Để đồ thị hàm số không còn tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số bằng 0 không còn nghiệm hoặc có nghiệm nhưng giói hạn hàm số khi X tiến tói nghiệm không ra vô cùng: y Với m = 1 . Hàm số o 5x -3 y ~x 2 - 2 x + l . Phương trình X 2 - 2x +1 = 0 có nghiệm X = 1 Tính lim——— = + «.=> Đáp SỐ A sai X 2 - X +1 a5Q)p3RQ)dp2Q)+l rl +OO 001 0 A p6)= 0 htath Jk X2-2X+1 2.ŨŨOŨŨSxm 12 5x — 3 y Với m = 0 hàm số = ~~—Y . Phương trình X 2 + 1 = 0 vô nghiệm => Đồ thị hàm số không còn tiệm cận đứng => m = 0 D là đáp án đúng chuẩn ❖ Cách tham khảo : Tự luận H Để đồ thị hàm số không còn tiệm cận đứng thì phương trình mẫu số bằng 0 vô nghiệm o A < 0 o nr ~1<0o-1_ Không xảỵ ra y 1 bậc mẫu > bậc tử. ❖ Bình luân : ■ Việc Giảỉ thích được trường hợp 2 của tự luận là tương đối trở ngại vất vả. Do đó bài toán này lựa chọn cách Casio là rất dễ làm. VD5 -[Đẽ minh họa thi THPT Quốc gia lần 1 năm 2017] Tìm tất cả những giá trị thực của tham sổ m sao cho đồ thị của hàm số y = - —==== có hai tiệm cận ngang V mx 2 +1 A. m < 0 B. Không có m thỏa c. m = 0 D. m > 0 75 Giải ❖ Cách 1: CASIO > Thử đáp án A ta chọn một giá trị m < 0 ; ta chọn m = -2,15. Tính lim . . X + 1 — -■T, V-2.15X 2 +1 aQ)+lRsp2.15Q)d+lrlO A 9)= Mat-h ERROR CACỊ sCancel c ■€ 3 c ► □ 5 Goto Vậy lim ~X+ỈT V-2.15X 2 == không tồn tại hàm sốý = +1 ■ x + 1 ngang 11 av y — /---=- JCVJLlv^i.Lì: v-2.15x 2 +1 '■> Thử đáp án B tá chọn giá trị m = ọ. Tính lim r X -~ l = lim (x + l) x Vox 2 +1 Q.)+lrỊỌ A ?)=.' ; .■..;• A 0 Ma-th A x+1 1000000001 Vậy lim (x +1) - + cc z=> hàm số y - (x +1) không thể có 2 tiệm cận ngang khống thể cở 2 tiệm cậrị > Thử đáp án D ta chọn giá trị m “2.15. Tính lim —JLLL v2.15x 2 r - 0.6819... + 1 aQ)+lRs2.15Q)d+lrlO A 9)= □ Mãth À Jí2 ■ 1 5X j! - +1 0.6819943402 x+l Tính lim VĩlSx 2 - = -0.6819... + 1 rplO A 9)= x+i Ms.th A ■4*2. 15X2 + 1 - 0.6819943388 Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang y = ± - 0.6819... => Đáp số D là đáp SỐ đúng chuẩn ❖ Bình luân : * Qua ví dụ 4 ta thấy sức mạnh mẽ và tự tin của Casio so với cách làm tự luận. VD6- 0Dề minh họa Bộ GĐ-ĐT lần 2 năm 2022] Tìm tất cả những tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = - 2x-l-Vx 2 +:X + 3 X - 5x 4- 6 A. X - -3 x = ~2 B. X = -3 c x = 3 x = 2 D. x = 3 76 Giải Đường tháng X = x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì điều kiện cần: x 0 là nghiệm của phương trình mẫu số bằng 0 Nên ta chỉ quan tâm đến hai tuyến đường thẳng X = 3 và X “ 2 Vói X = 3 xét lim - 7—7— X — == + oc => X = 3 là một tiệm cận đúng a2Q)plpsQ)d+Q.)+3RQ)dp5Q)+6r3+0.0000000001= 2^MỂĩĩ x 2 _ -5X+6_. 1.127016654xm I'- Với X - 2 xét hm — ^2 — = + K Kết quả không ra vô cùng=> X = 2 không là một tiệm cận đứng r2+0.0000000001= _0_Matí, A 2^-1—/^+X+3 X2-5X+6. -1.1667 => Đáp số đúng là B. BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài l-[Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 năm 2017 ] Số tiệm cận của đồ thị hàm số X y= V-l là : A. 1 B. 2 c. 3 D. 4 Bàị 2 -[Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu -Nam Định lân 1 năm 2017 ] Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = -iỊlà: A. 4 B. 3 c. 2 D. 1 Bài 3 -[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017 ] Tìm những giá trị thực của m đế đô thị hàm số y = 2x - 3 x + m X - m không còn tiệm cận đứng ? D. m > 1 A. m-0 B. c. rĩi > — 1 _m = l Bàị_ầ“[Thi thử THPT Quảng Xương “Thanh Hóa lần 1 năm 2017] TJX_A/ X 4 - Vx 2 + X + 1 , - , 0 D. m < 0 77 Bải 6 -ÍThi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 năm 2022] Tìm tất cả những giá trị thực cùa tham số m để đồ thị hàm số y = X + mVx 2 + X + 1 có đường tiệm cận ngang A. m = -l B. m < 0 c, m > 0 D. m = ±l LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải ĩ - !-■. Phương trình mẫu số bằng 0 có 2 nghiệm x = ±] 1« Tính ỉim = + oc => X = 1 là tiệm cận đứng A->i*r-l aQ)RQ)đplrl+10 A p6)= □ Ma-th A X X2-1 500000.25 ■ Tính lim = + °c => X = -1 là tiệm cận đứng X ~ 1 rpl+10 A p6)= 0 Math À X X2-1 499999.75 => Đáp số đúng là B Bài 2 - ■ Phương trình mẫu số bằng 0 có 2 nghiệm X = ±2 x-] ■ Tính lim • =: + oc => X = 2 là tiệm cận đứng Ịx 2 ~ 4 WaqcQ)plRsQ)dp4r2+10 A p6)= 13 Math À x-ị i Jx 2 -4_ __ 500.0004375 Ix-il . . ■ Tính lim 7 =.= 1 . = + oc => X = -1 là tiệm cận đứng " - n/x 2 - 4 rp2plO A p6)= (3 Mith A Ịx-l i JX 2 -4,_ 1500.000313 => Đáp số đúng là c Bải 3- . !■_ . 2x 2 -3x '■ Với m = 0 hàm số y =-—-. X Tính lim 2x2 — — = --3, lim — - — = -3 => Không có tiệm cận đứng => m =0 thỏa. x->() ; X X i a2Q)dp3Q)RQ)r0+10 A p6)= r0pl0 A p6)= 78 2 x2- X Mkth A □ 2X2-3X -2.999998 1500001 500000 ■ Tương tự /77 = 1 cũng thỏa =ĩ> Đáp số đúng là B Qlú ỵ: Nếu tất cả chúng ta để ý quan tâm một chút ít tự luận thì hàm số y 2x 2 ~3x , _ ~ -se rút gọn tử mau va thành y~2x-3 là đưòng thẳng nên không còn tiệm cận đứng. Bải 4 Phương trình mâu sô bằng 0 có một nghiệm duy nhất .Y = 0 . Tí , X + yỊr+X+l 1 ính lim-——-———- = 4 - oc => X = 0 là tiệm cận đúng aQ)+sQ)d+Q.)+lRQ) A 3$+Q.)r0+10 A p6)= _0 Math A X-M K ^ + X+1 x 3 +x.___ 1000001.5 «-p / 1 j» Ị' , x~ "I - X + 1 ^ - 3 ——-= 0 => y = 0 là tiệm cận ngang r!0 A 9)= Ms.th A X±jg±Ệ±ĩ , x3+x ’__ 2.00000000 W8 T , , x + y]x 2 +: Y+l „ A „ 1 inh lim-“— -= 0 => y = 0 là tiệm cận ngang X + x rp!0 A 9)= x±jxg+x+l Mtth A x3+x 5xm 2S Tóm lại đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang => B đúng chuẩn Chu y : Học sinh thường mặc định có 2 tiệm cận ngang => Chọn nhầm đáp án c Bài 5 Thử với m = 9 Tính hrn = hni . 2 X — = 0 => Đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận ngang aQ)RQ) dp9rl 0 A 9)=rpl 0 A 9)= X 0 Math A X H Math A x2_9 «2-9 lxm® -1 >í,d9 ■ Phương trinh mẫu số bằng 0 có hai nghiệm X = 3; X = -3. Tính lim —-—— = + oc; lim — x = + oc => có 2 tiệm cận đứng X -9 X -9 6 r!0 A 9)= 79 K 2 -9 Maith A XÌ-9 0 Math A 500.0833194 499999.9167 Vậy m = 9 thỏa =í> Đáp số chứa m = 9 là c đúng chuẩn. Bải 6 B Với m = -l . Tính lim (x-Vx 2 +mì = ~~ => X = -1 thỏa => Đáp số đúng là A hoặc D x-++x ỉ 2 Q.)psQ)d+Q.)+lrlO A 9)= _(3 Math A X—Jx 2 +X+1 2 ■ Với m = 1 . Tính lim ( X + Vx 2 + x + l) = -ị => X = 1 thỏa => Đáp số đúng là D Q.)+sQ) d+Q.)+l rpl 0 A 9)= x+ix 2 +x+l Math A T. CASIO GIẢI NHANH BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐÔ THỊ HÀM SÔ 1 ) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Phương pháp đồ thị tìm số nghiệm của phương trình: Cho phưong trình f{x) = gB -0.155 0 iĩl 0,3333 11 Eb 3333 1,0115 Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng (- oc;0.32 = log 2 5) và (2;+ cc) làm cho dấu của vế trái dưong. => Đáp số chính xác là c VP34Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017 ] Tìm tập nghiệm s của bất phưong trình 2.2 X + 3.3 X - 6 X +1 > 0: A. S = ( 2 ;+oc) B. s = (0;2) c. S = R D. (-oc;2) Giải ❖ Cách 3 : CASIO > Đăng nhập MODE 7 và nhập vế trái vào máy tính Casio w7202 A Q.)$+303 A Q.)$p6 A Q.)$+l [3 Mãrth f(X)= Quan sát các cận của đáp số là 0;2 nên ta phải thiết lập miền giá trị của X sao cho X chạy qua các giá trị này. Ta thiết lập Start -4 End 5 Step 1 =p4=5=l= 132 (3 Math H . FÍKJ_ Ẹ i ẸỊ H 5 B 3 -I lẽ 2 Quan sát bảng giá trị ta thấy rõ ràng hai khoảng (-oc;2) làm cho dấu của vế trái dương. => Đáp số chính xác là c 2) PHƯƠNG PHÁP 4: LƯỢC Đồ CON RẮN Bưởc 1 ; Chuyển bài toán bất phương trình về bài toán xét dấu bằng cách chuyển hết các số hạng về vế trái. Khi đó bất phưong trinh sẽ có dạng vế trái > 0 hoặc vế trải < 0 Bước 2 : Sử dụng CALC tìm các giá trị tới hạn của (làm cho vế trái - 0 hoặc không xác định). Dâu của bất phương trình có trong các khoảng tói hạn là không đổi. Dùng CALC lấy một giá trị đại diện để xét dấu. Chú ý: Qua 4 phương pháp ta mói thấy trong tự luận thì lược đồ con rắn là lợi hại nhất nhưng trong khi thi trắc nghiệm thì lại tỏ ra yếu thế vì khó dùng và khá dài dòng Ví dụ minh họa VDl dChuyẽn Khoa học Tụ nhiên 2017 ] Bất phương trình log, Ịogj ^-y- j>0 có tập nghiệm là: A. (-oc;-2) B. (4;+cc) c. (-2;l)u(l;4) D. (~~oc;-2)u(4;+ oc) Giải ❖ Cách 4 : CASIO > Đề bài xuất hiện những giá trị -2; 4; 1 ta CALC vói những giá trị này để tìm giá trị tơi hạn ialR2$$i3$a2Q)+lRQ)pl E Màth l09 i (lũg 3 (^> 2 > Lần lượt CALC với cá giá tri -2;4;1 rp2=!r4=rl= Ỉ09 0 . S 109 Z ]:Goto 3 giá trị trên đều là giá trị trên đều là giá trị tới hạn nên ta phân thành cảc khoảng chừng nghiệm (- oc; -2); (-2; 1); (1; 4); (4; + oc) > CALC với những giá trị đại diện cho 4 khoảng chừng để lấy dấu là: -3;0;2;5 rp2=!r4=rl= , 133 0 _ Mạ.th À _ 0 Math 109o. 5 (l09 3 (f^ ERR0Ẵ 2.299638315 cí!i>: [ÌẵEẽ el -0.5508745883 3 Math A 1090.5(1093(^7^ Ũ.1190420922 Rõ ràng khoảng nghiệm thứ nhất và thứ tư thỏa mãn ==> Đáp số chính xác là D VD2-[Chuyên Thái Bình 2017 ] Giải bất phương trì nh 2 >; ! > 5 V 2 : 111111] A. X e (- oc; - 2 ) u (log 2 5 : • ■' B. X e(-cc;-2]u(log 2 5;+oc) c. xc(-oc;log 2 5-2)u (2;+oc) D. X e (- oc;log 2 5 - 2 ] u [2; + oc) Giải ❖ Cách 4: CASIO > Đề bài xuất hiện các giá trị -2;log 2 5 -2;2;log 7 5 « 2.32 ta CALC với các giá trị này để tìm giá trị tới hạn 2 A Q)dp4$p5 A Q)p2rp2= =ri5)Pg2)p2=r2=rg5)Pg2)= 3 Màth Ế. 3 Math À 2^2 — 4_pịỉK-2 624 M ỉ ỳz LO 1 T M x: Ũ 625 3 Math À 0 Ma.th A 2X 2 -4_ỊjX-2 2*2-4 -2 0 ũ.9443665781 Ta thu được hai giá trị tới hạn log 2 5 - 2 và 2 Đáp số chỉ có thể là c hoặc D > Vì bất phương trình có dấu = nên ta lấy hai cận => Đáp số chính xác là D VD3-IThi HSG tỉnh Ninh Bình 2017 ] Tìm tập nghiệm s của bất phương trình 2.2* + 3.3* - 6 X + 1 > 0: A. S = (2;+oc) B* s = (0;2) c S = R D. (~oc;2) Giải *> Cách 4 : CASIO > Đề bài xuất hiện những giá trị 0;2 ta CALC với những giá tri này để tìm giá trị tới hạn 2O2 A Q.)$+3O3 A Q.)$p6 A Q.)$+lr0=r2= E Math A 3 Ms-th Á 2x2 x + 3 * 2 * -6 X +1 2^2^+3^3^-6^+1 5 0 Ta thu được 1 giá trị tới hạn x-2 Đáp số đúng là A hoặc D > CALC với những giá trị đại diện cho 2 khoảng chừng đểlấy dấu là : 1;3 rp2Hr4=rl= 134 s M«h A 0 Mìth ▲ 2*2* +3'*3* -6''+1 2><2* +3*3* -f /'+1 8 -118 Ta cần lấy dấu dương => Đáp số đúng là D BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài l -[Thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội lần 1 năm 2017 ] Bất phương trình ln[(x - l)(x -2)(x “3) + l]> 0 có tập nghiệm là: A. (l;2)u(3;+°c) B, (l;2)n(3;+oc) c. (- oc;l)n(2;3) D. (-oc;l)u(2;3) Bải 2 -ITHPT Lương Thế Vinh - Tp Hà Nội Thủ Đô 2022 ] Tập xác định của hàm số y = ựiog J (x-ỉ)~Ị là : A.[l; + =c) Bải 3 -[Chuyẻn Khoa học Tự nhiên 2017 ] Nghiệm của bất phương trình log x „j (x 2 + X - ó) > 1 là: A. X>1 B. X>V5 c. x>l;x*2 D. 14 c. -2 < X < 4 D. X < -2 hoặc X > 4 Bải 5 -ÍTHPT HN Amsterdam 2022] Bất phưong trình 2* : .3 X < 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên: A. 1 B. Vô SỐ CO D. 2 Bải 6 “[Thi thử Báo Toán học tuổi trẻ ĩân 4 năm 2017 ] Tập nghiệm của bất phương trình 32.4* -18.2* +1 < 0 là tập con của tập A. (-5;-2) B. (”4;0) c. (l;4) D. (-3;l) LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 ❖ Casio cách 4 ■ Kiểm tra những giá trị 1; 2; 3 h(Q.)pl)(Q.)p2)(Q.)p3)+l)rl=r2=r3= 135 0 Màth Ầ lnccx-lJCX-25CXV 0 0 Math ẤL ln((X-lXX-2KX> Ũ Ca 3 giẳ trị trển đều là giá trị tói hạn _X ✓'''Ù' 4 1.1 _ 2 __ 1 . / 0 _ _ Math Á lnC(X-n(X-2KXi> Ũ 3 giá trị trên đều là giá trị tói hạn Chia thành 4 khoảng chừng nghiệm (-cc;l);(l;2);(2;3);(3;+oc) ■ CALC vói 4 giá trị đại diện cho4 khoảng chừng này là 0;Ậ;~;:4 EE$(!!)P(Q.)pQz)qr=5^qJx B Matíl Math ERROR CAC3 :Cancel 0 Mìth A ln((X-l)(X-2)(Xi> 0.3184537311 L MC j :canc c *1 í :Goto 13 Math A 0 Mith A ln((X-l)CX-2KXl> ln(CX-l)(X-2KXV -0.4700036292 1.945910149 Ta cần lấy dấu dương => Lấy khoảng chừng 2 và khoảng chừng 4 => A là đáp số đúng chuẩn Bải 2 ❖ Casio cách 4 3 ■ Tập xác định <=> Iog 2 (x -1) -1 > 0 . Kiểm tra những giá trị 1;^ i0.5$Q.)pl$plrl=!r3P2= 0 Math 0 Math A log 0 . 5 0<-ỉ)-ỉ ỊACỊ ĩCancel Í41t sGoto Ũ Cả 2 giá trị trền áềú là giá trị tơi hạn => Chia thành 3 khoảng chừng nghiệm (- ■ CALC vơi 3 giá trị đại diện cho 4 khoảng chừng này là 0; 1.25; 2 0 Mxtii 0 h Math ERRũR Iog 0 . 5 cx-1)-1 Matf» à CACỊ sữancel C-í 3 c »■] s Goto Iog 0 .sGÍ-l) —1 Math Á 1 Ta cần lấy dấu dương => Lấy khoảng chừng 2 rí> B là đáp số đúng chuẩn 136 Bải 3 *> Casio cách 3 • Bất phương trình <=> log T _j [x 2 + x-ó)-l > 0. Quan sát đáp số xuất hiện các giá trị 1;2; Vs « 2.23 . Sử dụng MODE 7 với Start 0 End 3 Step 0.25 w7iQ)pl$Q)d+Q)p6$pl—0-3-0.25= , , s . Math ụ F ÍKĨ EF;FỉÒFỉ 3.35 0.3ỈÉE 3.5 1.5953 RÕ ràng X > V5 « 2.23 làm cho vế trái bất phương trình nhận dấu dương => B là đáp án chính xác Bải 4 ❖ Casio cách 3 ■ Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu Ịan y j tan y j <0 ■ Quan sát đáp số xuất hiện các giá trị “2; 4 . Sử dụng MODE 7 với Start -4 End 5 Step 0.5 qw4w71aqKR7$) A Q)dpQ)p9$plaqKR7$) A Q)pl= p4=5=0,5= 0 . Math K _ FÍKJ_ M "5,5 “11.1 5 mmệr- _ _d Ễ -1.5 Mũ.132 0 Math K _ F ỊẸ 3.5 I.D33M Ị Mẩm _ 18 M.5 -D.D1 -2 4 Quan sát bảng giá trị . Rõ ràng X < -2 và X > 4 làm chơ vế trái bất phương trình > 0 => D là đáp án chính xác Bài 5 ■ Chuyển bất phương trình về dạng xét dấu 2 X% ,y -1 < 0 ■ Tìm cận thứ nhất bằng chức năng SHIFT SOLVE 2 A Q)d$03 A Q)$pl=qrl= 0 Màth A 2*^x3*-1 x= 0 L-R= 0 ■ Khừ cận thứ nhất và tiếp tục dò cận thứ hai $(!!)PQ)qrpl= s -1.584962501 L-R= 0 Vậy ta dự đoán khoảng nghiệm là (-1.5849...;0). Kiểm tra dấu bằng cách lấy giá trị đại diện X = “1 Erpl= 0. Mith A 137 2* 2 x3*-l Math A .i " 3 Ta thấy dấu - vậy khoảng nghiệm là (-1.5849..,;0) => có 1 nghiệm nguyên X = -1 Đáp số chính xác là A Bài 6 ❖ Casio cách 3 ■ Sừ dụng MODE 7 vói Start ”6 End 6 Step 1 w73204 A Q)$pl802 A Q)$+l=p6=6=l= 0 Ma.th s Màth w F<:o ũ 5 F ÍHĨ -1.5 -0.15 5 0 “S “ỉ H 5 1 0 15 -3 -2 Quan sát bảng giá trị. Rõ ràng khoảng nghiệm làm cho vế trái - thuộc khoảng (”4;0) => B là đáp án chính xác T. CASIO TÌM NHANH sô CHỮ SÔ VÀ so SẢNH 2 LŨY THỪA MŨ CAO KHÁC cơ SÔ 1) BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Hôm nay tôi lại nhận được 3 bài toán của thầy BìnhKami, 3 bài toán này liên quan đêh so sánh 2 lũy thừa cùng cơ so. Bài toán 1: So sánh 2 lũy thừa 32 10 và 16 15 Bài toán 2: So sánh 2 lũy thừa 2 100 và 3™ Bài toán 3: So sánh 2 lũy thừa 2 2017 -5 W Đôi với bài toán sô'l thì tôi đã biết cách làm roi cơ sô'32 và cơ sô'16 đêu có thể đưa vê cơ số2ạ vậy 32 10 =(2 , )'° =2 5 ' m =2 50 và 16 1 * =(2 4 )' 5 =2 4 - 5 =2“ . Vậy 32'° < 16' 5 Đôĩ với bài sô'2 không thể đưa về cùng cơ sô'2 hay 3 vì vậy tôi dùng sự trợ giúp của máy tính Casio, tôi sẽ thiết ỉập hiệu 2 m ~3 70 nêu kết quả ra một giá trị dương thì 2 IÍXÌ > 3 70 , thật đơn giản phải không !! 1.2 A 100$p3 A 70$= 0 Mìth A -2.501887854xiũ 33 Hay quá ra một giá trị âm, vậy có nghĩa là 2 100 < 3 70 Tương tự như vậy tôi sẽ ỉàm bài toán sô'3 bằng cách nhập hiệu 2 2017 -5" ụ vào máy tính Casio 2 A 2017$p5 A 999 ■;.2017 _p;99S1 138 Và tôi bấm nút = Math ERROR ỊACỊ :Cancel C-13 í : Goto Các bạn thay đây, máy tính không tính được. Tôi chịu rồi ỉ ỉ Để so sánh 2 lũy thừa có giá trị quá lớn mà máy tính Casio không tính được thì chúng ta phải sử dụng một thủ thuật, tôi gọi tắt là BSS. Thủ thuật BSS dựa trên một nguyên tắc so sánh như sau: Nếu số A có rì +1 chữ số thì luôn lớn hơn số B có Yì chữ số. Ví dụ như số 1000 có 4 chữ số sẽ luôn lớn hon số 999 có 3 chữ số. Vậy tôi sẽ xem 2 2107 và 5 999 thì lũy thừa nào có số chữ số nhiều hơn là xong. Để làm được việc này tôi sẽ sử dụng máy tính Casio nhưng với tính năng cao cấp hơn, các bạn quan sát nhé: Đầu tiên là với 2 2017 Q+2017g2))+l“ s Math A Int(2Q171og(2))i> 608 Vậy tôi biết 2 2017 có 608 chữ số Tiếp theo là với 5 999 Q+999g5))+l= s Màth A Int(999109(5)5+1 699 Vậy 5 999 có 699 chữ số Rõ ràng 608 > 699 hay 2 2017 < 5 999 . Thật tuyệt vời phải không !! ❖ Bình luận nguyên tắc hình thành lệnh tính nhanh Casio Ta thấy quy luật 10 1 có 2 chữ số, 10 2 có 3 chữ số ... 10* sẽ có k + 1 chữ số > Vậy muốn biết 1 lũy thừa A có bao nhiêu chữ số ta sẽ đặt Ả = lơ* . Để tìm k ta sẽ logarit cơ số 10 cả 2 vế khi đó k = log A . Vậy số chữ số sẽ là A + l = [log^] + l > Lệnh Int dùng để lấy phần nguyên của một số trong những. 2) VÍ DỤ MINH HỌA VDĩ TBài toán số nguyên tố Mersenne] Đầu năm 2022, Curtis Cooper và những tập sự nhóm nghiên cứu và phân tích Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn số 1 tại thời điểm đó. số nghuyên tố này là một số trong những có mức giá trị bằng M = 2 74207281 -1 . Hỏi số M có bao nhiêu chữ số. A. 2233862 B. 22338618 C. 22338617 D, 2233863 Giải *> CASIO > Ta có M = 2 7420072X1 - 1 <=> M + l = 2 742(K,m ' 139 >ĐặtM + l = 10 k O 2 742(,0728 '=10 k o k = log2 74207281 và số chữ số là [k] +1 Q.+74207281g2))+l= _0 Math A Int(74207281109 > 22338618 Vậy M + 1 có số chữ số là 22338618 > Ta nhận thấy M +1 có 22338618 chữ số, vậy ' M co bao nhiêu chữ số? Liệu vẫn lạ 22338618 chữ số hay suy biến còn 22338617 chữ sổ. ^••7 •••■ ị'. > Gâu trả lời là không suy biến vi M là lũy thừa bậc của 2 nên tận cung chỉ có thểià 2, 4, 8, 6 nên khi trừ đi 1 đơn vị vẫn không biến thành suy biến Vậy ta chọn B là đáp án đúng chuẩn. ❖ Đọc thêm: B M = 2 74207281 - 1 là số nguyên tố lớn số 1 thế giới được phát hiện, gồm 22 triệu chữ số, mất 127 ngày để đọc hết ■ Giả sử 1 giây bạn hoàn toàn có thể đọc được 2 chữ số, bạn không cần ăn uống, ngủ nghỉ... thì 4 tháng liên tục là quãng thời gian mà bạn nên phải bỏ ra để đọc hết số lượng nguyên tố lón nhất thế giới do những nhà toán học phát hiện mới gần đây. Với tên gọi M74207281 con số nguyên tổ Merssenne được phát hiện bởi những nhà toán học thuộc GIMPS-tố chức thành lập năm 1996 chuyên đi tìm những số lượng nguyên tố. ■ Câu chuyện đi tìm số nguyên tố bắt nguồn từ một nhà toán học, thần học, triết học tự nhiên, Marin Mersenne (1588-1648). Ông là người đã nghiên cứu và phân tích những số nguyên tố nhằm mục đích cố tìm ra một công thức chung đại diện cho những số nguyên tố. Dựa trên những nghiên cứu và phân tích của ông, những nhà toán học thế hệ sau đã đưa ra một công thức chung cho những số nguyên tố là M p = 2 P - 1 ■ Năm 1750 nhà toán học ơ-le phát hiện ra số nguyên tố M 3J Năm 1876 số M U1 được nhà toán học Pháp Lucas Edouard phát hiện ra Năm 1996 số nguyêN tố lơn nhất thời đó được phát hiện là M l398268 VD2 -fKháo sát chất lượng chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa năm 2022] Gọi m là số chữ số cân dùng khi viết số 2 30 trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số 30 2 trong hệ nhị phân. Ta có tổng m + n là: A. 18 B. 20 c. 19 D. 21 Giải CASIO > Đặt 2 30 = 10 k ok = log2 30 . Số chữ số của 2 3U trong hệ thập phân là [k] +1 Q.+30g2))+l= E Math ỀL Int(30109(2))+l 10 Vậy số chữ số của 2 30 trong hệ thập phân là 10 > Đặt 30 2 = 900 = 2 h <=> h = log 2 900. Số chữ số của 30 2 trong hệ nhị phân là [h] +1 140 Q.+i2$900$)+l= 0 MMh A Int(lcig 2 (9ũũ))+1 10 Vậy số chữ sô của 30 2 trong hệ nhị phân là 10 => m + n = 10 +10 = 20 => Đáp SỐ đúng là B VD3: Cho tổng M = CV 020 + C 2II2I , + C 202l) +... + c 2 ™ Khi viết M dưới dạng 1 số trong hệ thập phân thì số này còn có bao nhiêu chữ số: A. 608 B. 609 c. 610 D. 611 Giải ❖ CASIO > Theo khai triển nhị thức Newton thì (l + l) 2022 = C 2I)2II + C 202( X = log I2 y => ỵ = ỉ 2 h *’ v . Thay vào hệ thức log t> X = log t(> (.x: + y) ta được: log,x-log l6 (.x + 12 u ’ s '’ v ) = 0 > Ta hoàn toàn có thể dò được nghiệm phương trình log, X - log l6 (x +12 Í08 ’ V ) = 0 bằng hiệu suất cao SHIFT SOLVE i9$Q.)$pil6$Q.)+12 A i9$Q.)$$$qrl= _ . _0 Mạth. . log 9 CX)-log 16 tXi> x=~ 39.4622117 L-R= 0 Lưu nghiệm này vào giá trị A qjz 0 Math A Ans*A 39.4622117 > Ta đã tính được giá trị X vậy thuận tiện và đơn giản tính được giá trị >’ = 12 los ' ,jr . Lưu giá trị y này vào biến B : 12 A i9$Qz=qJx __■ ' . ■■ ■- ' v V.X_.j ^1039 í Matt ' A Ans*B 63.8511998 > Tới đây ta thuận tiện và đơn giản tính được tỉ số — = — y B aQzRQx= 63.8511998 £ị 6 0 Mitti Ả 0.6180339887 Đây đó đó là giá trị 1 và đáp số đúng là B 149 ❖ Cách tham khảo: Tự luận ■ Đặt ỉog L) X = log u y - log 16 (x + y)~t vậy X = 9'y = 12';x + y = 6' ■ Ta thiết lập phưong trình — = -^7 = j và — +1 = x+ - = 1^7 - j Vậy£ÍiL + lì = loí4+ £ -1=0«- = ^ậ^ Kv J yj y y y ,y) y ĩ x . n X - + yỈ5 Vì — > 0 nên — = — Bình luận. Một bài toán cực khó nếu tính theo tự luận • 1V1ỤI Ưdl lUdll LựL 1A11U Iieư Liilll liieu Lự lUdll » Nhưng nêu xử lý bằng Casio thì cũng tương đối thuận tiện và đơn giản và độ đúng là 100% _! / Ị_ ] 2 ( Ị— y 1 VD4-fTHPT Nguyễn Trãi - HN 2022] Cho K = ịx~--y 2 l- 2 jX+Z với x>0,y>0. V / V * x x > Biểu thức rút gọn của K là? c. X +1 D. X — 1 ♦> Cách 1: CASIO ( - iVf r V' > Ta hiểu nếu đáp án A đúng thì K — X hay hiệu X 2 -y 2 1 - 2 — + — “ X bằng 0 với 1 ) X X ) mọi giá trị xy thỏa mãn điều kiện X > 0, V > 0 > Nhập hiệu trên vào máy tính Casio (Q.) A alR2$$pQn A alR2$$)d(lp2saQnRQ)$$+aQnRQ)$) A plpQ) H Math Ai^íi+r 1 Chọn 1 giá trị X - 1.25 và Y = 3 bất kì, thỏa mãn X > 0 ,y > 0 rồi dùng lệnh gán giá trị CALC rl.25=3= Ans*A 0 Màth A 39.4622 117 > Ta đã tính được giạ trị X vậy thuận tiện và đơn giản tính được giá trị y - 12*°^* 12 A i9$Qz= 0 Math Ả 1;C-Y*J (l-2jỹ ....... 0 . Vậy ta xác định 90% đáp án A đúng > Để cho yên tâm ta thử chọn giá trị khác, ví dụ như X = 0.55, Y = 1.12 1-0.55=1.12= 0 150 Kết quả vẫn ra là 0, vậy ta chắc như đinh A là đáp sổ đúng chuẩn. •> Cách tham khảo: Tự luận. ị 1 iỳ : ■ Rút gọn I X 2 - y 2 Ị = (VỸ - yfỹ ! ] V ' Rút gọn V V - v * 1 -ỉ ÍM-i' 2 'S-r.) - ^ Ì J x ) Vậy K =['Jx-y[ỹỴ jy-Jx V Bình luận. • Chúng ta cần nhớ nếu 1 khẳng định ( 1 hệ thức đúng ) thì nó sẽ đúng vói mọi giá trị x,y thỏa mãn điều kiện đề bài . Vậy ta chỉ cần chọn các giá trị x,y > 0 để thử và ưu tiên các giá tri này hai lẻ, tránh số tránh (có khả năng xảy ra trường hợp đặc biệt) VD5-Pĩhi thủ Báo Toán Học Tuổi Trẻ 2017] Cho hàm số f (*) = 2 ?+] . Tính giá trị của biểu thức T = 2~ xĩ -f'(x) - 2x In 2 + 2 A. -2 B. 2 c 3 D. 1 Giải ❖ Cách 1: CASIO > Vì đề bài không nói rõ X thỏa mãn điều kiện ràng buộc gì nên ta hoàn toàn có thể chọn một giá trị bất ki cùa X để tính giá trị biểu thức T . Ví dụ ta chọn X = 2 Khi đó T = 2“ 4 “7 , (2)-4ln2 + 2 2 A p4pl$Oqy2 A Q.)d+l$$2$p4h2)+2= 0 Math A 2-4-l x i( 2 x2 + l 2 => Đáp SỐ đúng là B ❖ Cách tham khảo: Tự luận. - Tính / , (x) = 2- vỉ+ '.!n2.(x 2 -f l) f = 2jc.ln2.2 jrỉ+í và B Thế vào T = 2~ v ‘ ~ , .2xln x.2 v ' +i - 2xỉn 2 4- 2 = 2x ln 2 - 2 jc ln 2 + 2 = 2 ❖ Bình luận. » Vơi bài toán không cho biểu thức ràng buộc của X nghĩa là X là bao nhiêu cũng được. Ví dụ thay vì chọn x = 2 như ở trên, ta hoàn toàn có thể chọn x=;3 khi đó T = 2" ọ_t ./'(3) - 6 ln 2 + 2 kết quả vẫn ra 2 mà thôi. ^. j 2 A p9pl$Oqy2 A Q.)d+l$$3$p6h2)+2= a Màth A 2- 9 - 1 x^(2 x2Ĩl 2 ❖ Chú ý công thức đạo hàm («")' = ữ". In a.u ' học viên rất hay nhầm. VD6 -ÍBáo Toán học Tuổi trẻ 2022] Rút gọn biểu thức — (với a > 0) được kết quả: B. a c. a 5 D. ữ 3 A. a“ 151 ❖ Cách 1: CASIO 'ỳ Ta phải hiểu nếu đáp A đúng thì hiệu — - - a A phải = 0 với mọi giá trị của a > Nhập hiệu trên vào máy tính Casio aQ) A s3$+l$OQ) A 2ps3R(Q.) A s2$p2$) A s2$+2$$pQ) A 4 Chọn một giá trị a bất kỳ (ưu tiên A lẻ), ta chọn a = 1.25 ví dụ điển hình rồi dùng lệnh tính giá trị CALC 0 Mạth Ả 625 1024 Vậy hiệu trên khác 0 hay đáp án A sai. > Bắt đầu ta kiểm tra tính đúng sai của đáp án A. Nếu đáp án A đúng thì hiệu log 6 45 phải bằng 0. Ta nhập hiệu trên vào máy tính Casio và bấm nút = i6S45$paQz+2QzQxRQzQx : 0 . _. . M&th A 1096 ( 45 )-^^ - 1.340434733 Kết quả hiêh thị của máy tính Casio là một trong giá trị khác 0 vậy đáp án A sai > Để kiểm tra đáp số B ta sủa hiệu trên thành -.— -r— - a 0 Math À ^■4 r 3+l ĩ< ^2--/3 Rồi lại tính giá trị của hiệu trên vói a = 1.25 rl.25= (kV2-£)' / 2 +2 1845 1024 vẫn ra 1 giá trị khác 0 vậy B sai. a ^ +l q 2 ~^ > Tương tự vậy ta sẽ thấy hiệu-- a 5 (a^p 152 l!i M3Lth A vb -- (l , (’,,F-2'ì g2+2 : íC~ A = £/~ Vậy đáp số c là đáp số đúng chuẩn *> Cách tham khảo: Tự luận ■ Ta rút gọn tử số a^* 1 .a 2 '^ =v rr^r _ t _£ / v2 ~ : V " + : í v5 - :)(>/2 + ■ Tiếp tục rút gọn mâu so Ị 6/ % ' ] = a ■ Vậy phân thức trờ thành ” = = í / 5 *> Bình luận. • Nhắc lại một số trong những công thức hàm số mũ cơ bản xuất hiện trong ví dụ: tì" .a =a’"*", (a m Ỵ =a mn , ~r BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải l -fChuyẽn Khoa học Tư nhiên 2022] Cho log 2 (log H x) = log 8 (log 2 x) thì (Iog,x) 2 bằng? B. 3Í3 A. 3 c. 27 D. T 3 Bải 2 "[Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2017] Nếu iog l2 6 = u,ỉog, 2 7 = h thì: A. log 2 7 : ~b B. log 2 7 = - c. log 2 7 = + b D. log 2 7 = 1 +ơ a 2-S Bài 3 -[Báo Toán học Tuổi trẻ 2017] Rút gọn biểu thức-( y ới a > ^) được kết quả: (•*) A. a A B. a c. « 5 D. ữ 5 Bải 4 -ÍTHPT HN Amsterdam 2022] Biến đổi 7* 5 Vx(x> 0) thành dạng lũy thừa với số mũ hữu ti, ta được: 2J B. X 12 20 1-5 12 D. X 5 Bài 5 -ÍThi thử Chuyên Sư phạm lần 1 năm 2022] Tìm X biết log, X = 4 log, a + 7 log, b : A. X = ừb 1 B. x-a J b' c. x = «v D. x = a i b t Bài 6 -ĨTHPT Kim Liên - HN 2022] Cho hàm số y = 2022./ ' n ». Khẳng định nào sau đây đúng? A. y’+2vln2 = 0 B. y’+3yln2 = 0 c. v’-” 8 / 7 In 2 — 0 D. yM-8yln2 = 0 Bài 7 -ĨTHPT Nguyễn Trãi - HN 2022] Cho£ = Biểu thức rút gọn của K là? ; A.x B. 2x c. x + .p..X — 1. Bax 8 -ĨTHPT Pham Hong Thái - HN 2022] Cho a,b > 0 ;a 2 +b 2 = 598 ab Mệnh đe đúng là; ( \ 2 ( 1 — A x^-y-- 1- 2 T + Z 1 1 ^ V X X J A. log^^=:^(ỉoga+logò) c. log"(log u + log b) 40 4 v B. Ịog c í~.. log a + ogb D. log^-^ = 2(logtf + log6) 40 153 Bải 9 ~[Thi Học sinh giỏỉ tỉnh Phú Thọ năm 2017] Cho những SỐ a > 0, b > 0,c > 0 thỏa mãn 4" = 6 h = 9 C . Tính giá trị biểu thức T = * LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải Ị . ■ Phương trình điều kiện <=> log 2 (log 8 x) ~~ log 8 (log 2 x) = 0 . Dò nghiệm phương trình, lưu vào A i2$i8$Q.)$$pi8$i2$Q.)qrl=qJz □ mu 13 mu A _log 2 (ỊọgẹCX))H> Ans+A x=’ 36.66044576 L-R= 0 36. 6 60445 7 6 ■ Thế X = Ạ để tính (log 2 x) 2 i2$Qz$d= ' y •• log £ CA) 2 □ Máth A => Đáp số chính xạc là c u2. Tính log M 6 rồi lưu vào A il2$6=qjz log 12 (6) (3 mu A Ans*A E Math A 0.7210570543 Tính log l2 7 rồi lưu vào B i2$Qz$d= 0.7210570543 log 12 C7) (3 Mfcth A Ans+B B Mith A 0.7830918514 0.7830918514 Ta thấy íog 2 7 ~ J— = 0 => Đáp số đúng là B i2$7$paQxRlpQz= 0 mu A 1002 ( 7 )-^ Chọn a > 0 ví dụ như a = 1.25 ví dụ điển hình. Tính giá trị al.25 A s3$+l$01.25 A 2ps3R(1.25 A s2$p2$) A s2$+2=qJz , , 1.25' s+, .1.25 í -' /ĩ (l.25^p rồi lmi vào T 0 M£h A ( 1 . 25 ^ 2 - 2 )^ Ans^A í vC E Math A 3125 1024 ,3125 , A , Ta thây ■■■■ — = (ỉ ,25) = ừ => Đáp sô đúng là c 3125 1024 Chọn a > 0 ví dụ như a = 1.25 ví dụ điển hình. Tính giá trị vL25%/h25 rồi lưu vào A q A 3$l. 25 A 5$Oq A 4$ 1.25=qJ z 0 Hi 0 Ki 3 ,r~ 4n -_. Ans+A .11 ỌR-' X 1 1 ÕR •11.25*x 41.25 1.477721264 1.477721264 21 21 ■ Ta thấy A = (l ,25)h = £/'- => Đáp số chính Xcác là B Bài 5 . * Theo điều kiện tồn tại của hàm logarit thì ta chọn £7,6>0. Ví dụ ta chọn £7 = 1.125 và 6 = 2.175 Khi đó log, ,Y = 4 log, £7 + 7 log, A <=> .V = 3'' k ’ s ' ,,+7ll ’ B ’'’. 3 A (4i3$l. 125$+7i3$2.175$)= c410-3:3 í 1 • 1 25 T +7 o " p' 368.8288792 ■ Thử những đáp án ta thấy X = (1.125) 1 (1.175) 7 ==> Đáp số đúng là B 0 Mstth Á (1. 125) 4x C2. 17ẽi> 368.8288792 Bải 6 . ■ Chọn X =1.25 tính y == 20 ì6.e 25 *. rồi lưu vào Ả : 20Ì6OQK A 1.25hÌP8)-qJz _ 0 Msttỉi A 0 hĩkth A. 2Q16xe 1 - 2ẻlníĩ -É Ans*A 149.8400965 149.8400965 ■ Tính y'(l.25) rồi lưu vào B qy2016OQK A Q.)OhlP8)$$1.25=qJx 0 Math A 0 Math A ^(2ũl6*e^ ílntl > Aris*B -311.5837213 -311.5837213 Rõ ràng B + 3 ln 2.A = 0 => Đáp số đúng là B Bải 7 . ■ Chọn .V = 1.125 và y = 2.175 rồi tính giá trị biểu thức K (1.125 A 0.5$p2.175 A 0,5$)dO(lp2sa2.175R1.125$$+a2.175R1.125$) A pl= 155 a Mstth A (I.125°- s -2.175t> Rõ ràng K =“ = 1.125 = * => Đáp số đúng là A 8 ■ Chọn a = 2 Hệ thức trở thành 4 + b 2 -319 6b <=> b 2 “3196/? +4 = ồ. Dò nghiệm và lưu Q.)dp3196Q)+4qrl=qJx ^ ặ : ' v 0 Math X 2 -3196x4 " Aris+e x= 1.2515649xm® " L-R= 0 1.251564946x^3 "a Maith A rp/ 1 I ữ + ỗ . 2 + i? Tinh ỉog 7- = log——— 5 40 6 40 ga2+QxR40$)= s Math A 10«) -1.300758307 Tính tiếp íoga + log b g2)+gQx)= 0 Math A log(2)+log(E!) -2.601516614 Rõ ràng gỉá trị logứ + logò gấp 2 lần giá trị log-^^ => Đáp sổ A là đúng chuẩn Bải 9 . ■: Chọn ạ -2 Từ hệ thức ta có 4 2 = 6 h <=>6* - 4 2 = 0. Dò nghiệm và lưu vào B 6 A Q.)$p4 A 2qrl=qJx B Ma.th À 0 MaLth A 6*-4 2 . Ans+B x= 1.547411229 L-R= 0 1.547411229 B Từ hệ thức ta lại sở hữu 9 C - 4 2 = 0. bò nghiệm và lưu vào c ga2+QxR40$)= ^ s Math a Math A r 4 1.261859507 rin , _____ L-R= 0 1.261859507 H Cuối cùng là tính r = — + — ~ = 2 => Đáp số đúng là c ° /ĩ /* 9 C' a Matíi A aQxR2$+aQxRQc= a c 2 c 3,3 2 c 13 Math A 156 T.CASIO CHỨNG MINH NHANH TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ MŨ - LOGARIT I) PHƯƠNG PHÁP. Chứng minh tính đúng sai của mệnh đề mũ - logarit là một dạng tổng hợp khó- Vì vậy đê làm được bài này ta phải vận dụng một cách khôn khéo những phương pháp mà học từ những bài trước. Luyện tập những ví dụ dưới đây để lấy tích lũy kinh nghiệm tay nghề xử lý. II) VÍ DỤ MINH HỌA. VDl-[Đề minh họa THPT Quốc gia 2017] Cho những số thực ơ,b vói a* . Khẳng định nào sau đây là khắng định đúng? A. log oỉ (aí>) = hog„è B. log ; (ab) = 2 + 2 log„ b c. Iog i(! (ab) = 1 log„ b D. log i(ỉ (ab) = ị + Ỳỉog„ b Giải ❖ Cách 1 : CASIO 'P Ta hiêu, nêu đáp án A đúng thì phương trình log u ; (aố)-hog u ố = 0 (1) với mọi giá trị của a,b thỏa mãn điều kiện a,b thực và C 1 * 1 . Ta chọn bất kì -4 = 1.15 và D = 0.73 chả hạn. Nhập vế trái của (1) vào máy tính Casio rồi dùng lệnh tính giá trị CALC iQzd$QzQx$pa 1 R2$iQz$Qxrl. 15=0.73= 0 Mâth A 1c ab -ị 1 og f > 1 2 Máy tính báo kết quả là một số trong những khác 0 vậy vế trái của (1) khác 0 hay đáp án A sai. > Tương tự ta thiết lập phương trình cho đáp án B là log Tiếp tục phép thử này và ta sẽ tìm được đáp án D là đáp án đúng chuẩn iQzđ$QzQx$palR2$palR2$iQz$Qxrl.l5=0.73= 0 Mith A log fl 2 (f!ED-ị-ịl t> "ũ ❖ Cách tham khảo : Tự luận í ữ > 0, ữ & 1 * Điều kiện b > 0,ỏ ^ 1 Dễ thấy ỉog í; , ( ab ) = — ỉog (/ ữb = “(Ịog £í a + log ư b) = — + “ log y b 157 ❖ Bình luân: • Chúng ta để ý quan tâm phân biệt 2 công thức log„ x'" = m log„ x và log o „ x = j- log Ịo a < ì (2) - Kết hợp (1) và (2), ta có: log, a<< log ,,b o D là đáp án đúng chuẩn ♦ĩ* Bình luân : • Chú ý tính chất của cơ số: Nếu a > 1 thì log u u > log y V o u > V nhưng nếu 0 < a < 1 thì log ữ u > log„ VOíKV VP5 -1THPT Bảo Lâm - Lâm Đồng 2022] Cho hệ thức a~ +b 2 = lab (ơ,b > 0). Khẳng định nào sau đây đúng? A. 4 iog, = log 2 a + log, b B. 2 log 2 (a + b) = log 2 a + iog, b 6 c. log 2 = 2 (log 2 a + log, b ) D. 2 log 2 = log, a + Iog 2 b Giải • Cách 1 : CASIO._ __.___ ..... ^ ^ __ > Vì a,b > 0 nên ta chộn ứ=l> khi đó b sẽ thỏa mân hệ thức 1 + h 2 =lb o b 2 -7Ố+Ị - 0 . ,■ 1 ±3y[s Ị _ 7 + 3^5 ■ : y -"C^V'••■V-'-.--;:í';- 1 "'--'- . o “—-. Chọn b ị — V 1 y^Lưu^ a =T vẵobiễh À 158 l=qjz Ans*A 0 M%th Á. ,. , 7 + V , _ Lưu h = —~— vào biên B 2 a7+3s5R2=qJx Ans+B Math Ả 7 + 3^5 ị> Nêu đáp án A đúng thì 4 log 2 — ^ - log 3 a - Ìog 2 b = 0 Để kiểm tra sự đúng sai của hệ ” ■ 6 . . . . *: thức này ta nhập vế trái vào máy tính Casio rồi nhấn nút =nếu kết quả ra 0 là đúng còn khác 0 là sai 4i2$aQz+QxR6$$pi2$Qz$pi2$Qx= ta Mfcth Ả 41og 2 ( Ê 5 & )-log 1 t> -1.223032345 Kết quà biêu thức vế trái ra khác 0 vậy đáp án A sai > Tương tự như vậy với các đáp án B, c, D và cuối cùng ta tìm được đáp án D là đáp án chính xác 2i2$aQz+QxR3$$pi2$Qz$pi2$Qx= 0 MỉLth Ả 21og 2 ( â ẫ Ễ )-lũg 1 o 0 ❖ Cách tham khảo : Tự luận - Biến đổi a 2 +b 2 = lab o(fl + bf -9 ab o[^] 2 = db ■ Logarit cơ số 2 cả hai vế ta được: log 2 Ị^^pj =log 2 ab » 2 log, = log 2 a + log 2 b ❖ Bình luân : ® Một bài toán biến hóa tương đối là zic zắc đòi hỏi học viên phải thuần thục những công thức và ác phép biến hóa Logarit VD4-[Chuyẽn Vị Thanh - Hậu Giang 2017] Nếu log 7 X = 81og 7 ab 2 - 2 log 7 ơ : 'b>(a y b > 0 ) thì X bằng: A. a A b b B. a 2 b ÌA c. D. a*b' A Giải ♦> Cách 1 : CASIO > Chọn giá trị a 9 b thỏa mãn điều kiện a 9 b > 0 thực. Ta tiếp tục chọn a = 1.15 và b- 2.05 > Ta có log 7 X = 8 ỉog 7 ab 2 - 2 log 7 ab <=> X = 7 8 | °S7«A 2 -2I0Ị Ỉ7 « , A 7 A 8i7$QzQxd$p2i7$Qz A 3$Qxr 1.15=2.05= 159 rj& 1097 ( mE^ ) — 2 ì 30616.09068 Vậy ta biết được X - 30616-09068 _ _ r _ ........ _ > Tơr đây ta chi cần tmh giá trị cac đáp án A, B, c, Đ xem đáp án nào bằng 30616.09068Ị là xon g.. • • : : . '..X:. .: V. .: : .'..i—. 1- Và ta thấy đáp số B là đáp số đúng chuẩn QzdQx A 14rl.15=2.05= 13 Ma.th A a 2 b 14 30616.09068 ❖ Cách tham khảo : Tự luận ■ Thu gọn log 7 X = iog 7 ịab 2 y “ log 7 (a 3 bỴ = log 7 (ứ 8 £ 16 ) - log 7 ằb 1 = Iog 7 = ■ Vì cơ số b > ì => ỉog;, a < log ;i b o log /? a < 1 (2) ■ Kết hợp (1) và (2), ta có: log /? a<< log „b => D là đáp án đúng chuẩn ❖ Bình luân : • Chú ý tính chất của cơ số: Nếu a> thì log„ u > ỉog ư V <=> u > V nhưng nếu 0 < a < 1 thì lo g a u > log„ v<=>u. Khẳng định nào sau đây sai: A.f(x)>9ox 2 + 2x.og 3 2>2 B. /(*) >9 <=> X 2 log 2 3 + 2* > 21og 2 3 C,/(x)>9o 2x Ỉ 0 g 3 + X Ỉ 0 g 4 > Ỉ0g9 D. f(x) > 9 « * 2 In 3 + X ln 4 > 2 In 3 Giải ❖ Cách 1: C ASIO ._____ _. ^ ^ > Tù diều kiện de hái, ta khai thác dé' lìm V : f(c)> 9 -r> 3 V 4' 9 > 0 (1) > Dùng Mode 7 để dò khoảng chừng nghiệm của (1) w73 A Q.)d$O4 A Q.)$p9=p9=10=l= ... .- -. Quan sát bảng giá trị (để ý quan tâm lấy phần F ( X) > 0) 0 Mith M F ÍKJ 298.511 -2 -3.991 -1 -8.25 Thấy X < -2,.... Ta đặt *b > Để phóng to khoảng chừng nghiệm và tìm đúng chuẩn a,b hcm ta chọn lại miền giá trị của X 160 C—p3-l=0.25= 3 ỹ 5 -5 0 â Math ạb.g|i 3»5D2Ú “3-931 □ 11 II F ÍK) □ .15 -3.153 3 Math Vậy JC > 0.75 và A-<-2.25 Việc ở đầu cuối là ta chi cần dò khoảng chừng nghiệm xuất hiện ở đáp án A, B, c, D xem khoảng chừng nào trùng với khoảng chừng nghiệm trên thì là đủng. w7Q)d+2Q)Ì3$2$p2—p3-l-0.25= 1.1 11 F 3 ũ _- 3 ■ 5 1.0953 □.3233 5 -3 “0.533 0 !■! F CA '1 15 “1. II 9 15 □ . 15 -□-Ú9Ĩ 11 ĩ 0.3510 X- m X- Math 0 . Ta thấy đáp án A trùng ldìoàng nghiệm vậy đáp án A là đáp án đúng chuẩn. *> Cách tham khảo : Tụ luận ■ Biến đổi f(c) >9o 3 V ’.4 A > 9 o — > — o y' ’ 2 > 4~' v ■ w 9 4' ■ Logarit cơ số 3 cả hai vế ta được: log, (V ~ 2 j > log, (4~ v ) <=> A- 2 - 2 > -X log 3 4 <=> + 2x log 3 4 > 2 ❖ Bình luân : • Một bài tự luận ta nhìn là biết dùng phương pháp logarit cả hai vế luôn vì 2 số hạng trong bất phương trình khác cơ số và số mũ có nhân tử chung *. BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 -1HSG tỉnh Ninh Bình 2022] Cho những sồ dương a,b~c vấ ạ-± 1. Khẳng định nào đúng? A. Ịog ( , b + ỉog ơ c = log(ỏ + C‘) B. ỉog w ố + log <; c = log„|ố-c| D. log„ b + log;, c = log„ I - c. log„ b + log„ c - log„ (bc) Bảì 2 -fThi thử tỉnh Lâm Đồng - Tp Hà Nội Thủ Đô 2022] Cho 2 sổ thực dương cub với a±. Khẳng định nào sau đây là xác định đúng? A ' io 8 -'fe)'ĩí' + ĩ iog -‘) c ioÊ -'fe) = K'“i ,0B "9 D - ViH 1- ! 106 ' 4 ) •X ~ ~ 2 Bài 3 “[Chuỵẽn Nguyễn Thị Minh Khai 2017] Nếu a 4 > a 5 và log /; < ìog A -J thì ta có: B. log„j-~j = i(l-2iog„ố) A. 0 < a < b < 1 B. 0 < b < o < I c. 0 < a < 1 < b D. 1 0 thì 0 < X < 1 B. log„ X < 0 thì X > 1 c. X, < x 2 thì log B X, < log„ x 2 D. ĐỒ thị hàm số y = log„ X có tiệm cận đứng là trục tung Bài 6 -ÍTHPT Lương T hế V i n h - HN 201 7] Tì m mệnh đ ề đ ủng tro n g cá c mệnh đề sau? A. Hàm số y = log„ X với 0< a < 1 là một hàm số đồng biến trên khoảng chừng (0;+ oc) B. Hàm số >• = log„ V với a > I là một hàm sô'nghịch biên trên khoảng chừng (0;+ cc) c. Hàm số y= log„ X ị0< a;a * 1) có tập xác định R D. ĐỒ thị những hàm số y = ỉog a x và ,v = log| .V (0 0;a * 1 và x;y là 2 số dương. Khẳng định nào sau đây là xác định đúng? * X og a x A - y iog u y C. log,ệ log,.v-log„ > B.log„(x-y) log 0 X log a y D. íog B (x-y) = log a X- log a y LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1. Chọn a = 1.25, b = 1,125,c = 2.175 rồi lưu những giá trị này vào A, B,c 1.25=qjzl.l25=qjx2.175qjc Ans+A • tìns-B 5 9 0 Mlth A 4 2.175+C 8 Q. MÃth À 87 40 Kiểm tra 4 đáp án và ta có đáp án c đúng chuẩn vì log„ b + log 0 c - log ư ịbc) = 0 162 iQz$Qx$+iQz$Qc$piQz$QxQc= 0 Mith À log^CB)+109^(0 > ■ Chọn u = 1.25. /> = 1.125 rồi lưu những giá trị này vào A, B 1.25=qJ z 1.125=qJ X (2 Mith À a Màth ▲ Ans+A Ans+B 5 9 4 © ■ Kiểm tra 4 đáp án và ta có đáp án c đúng chuẩn vì log (j , —log u b = 0 iQz A 3$$aQzRsQx$$$palR3$(lpalR2$iQz$Qx$)= a Mãth A l09 As(A 7 HCi' t> 3 4 .1 4 Từ < 7 4 > a 5 ứ 4 -ơ 5 > 0. Tìm miền giá trị cùa a bằng hiệu suất cao MODE 7=> 0 < a < 1 w7Q) A a3R4$$pQ) A a4R5=0=3=0.2= K hM 1-5 E Mith F(K> I ^ 9. 3*103 .5 -Da n 1 Từ logy, — < log,, — <=> log /; — — ỉog/, < 0 . Tìm miên giá trị của b băng hiệu suất cao MODE 7=>Ố>1 w7iQ)$alR2$$piQ)$a2R3==0=3=0.2= B Hath FÍH> ị ] !■? -USTỊ B i.M -iuB5MI Tóm lại 0 < a < 1 < b => Đáp số đúng chuẩn ià c Bải 4 , Ị" Khẳng định A có số mũ quá cao nên ta để lại sau cùng. j" Kiểm tra xác định B bằng hiệu suất cao MODE 7. Ta thấy ^(2^) luôn tăng => B đúng chuẩn I w7hQ) ) —0.5=10=0.5= tầĩm F (KĨ -0.593 1 0 1.5 0.MD5M Q. Mith 0.5 Vì sao đáp án c, D sai thì ta chi việc chọn <3 = 1.25, ò — —3.75 là rõ luôn (vì điêu kiện ràng buộc không còn nên để đảm bảo tính tổng quát ta sẽ chọn một giá trị dưcmg một giá trị âm). 163 Bài 5 . Cho 0<ứ<] vậy ta chọn a- 0.123. Kiểm tra đáp sô' A ta dò miền nghiệm của phưong trình log^ X > 0 xem miền nghiệm có trùng với 0 < JC < 1 không là xong. Để làm việc này ta sử dụng hiệu suất cao MODE 7 w7i0.123$Q.)=-0.2=2=0.2- a 1.1 11 F(K) Ũ,B 0. 1ŨẼM I D WBÈẾWr- -Ũ.DHĨ Math 1.2 Quan sát bảng giá trị ta được miền nghiệm 00), miền nghiệm này giống miền 0 < X < ỉ vậy đáp số A đúng Tương tự cách kiểm tra đáp án A ta áp dụng cho đáp án B thì thấy B đúng Để kiểm tra đáp án c ta chọn hai giá trị x = 2 < x 2 = 5 . Thiết lập hỉệu Èog ơ x { - log ơ x 2 . Nếu hiệu này ra âm thì c đúng còn ra dương thì c sai. Để tính hiệu này ta sử dụng hiệu suất cao CALC 0.125$2$pi0.125$5= 0 Math À 1 °'3o. 125(2)-! Ũ0£ 0.4406426983 Vậy hiệu Iog tf X, - log,, x 2 lơn hơn 0 hay log f/ Xị > log t , x 2 . Vậy đáp án c là sai Bải 6. ■ Câu D khó hiểu nhất nên ta ưu tiên đi xác định đúng sai những đáp án A, B, c trước " kiêm tra khang định đáp án A bằng hiệu suất cao MODẺ 7 vơi a = Õ^5~thổa 9 Đáp án c cung sai => Tóm lại đáp án đúng là D w7i2$Q.)=p9=10=l= 0 Math 1 ị 3 ______^_ :ỹ- ■ Nếu tím hiềư vi sao hải đồ thỉ trên đối xung nhau qua trục hoành thì ta phải hiểu ý nghĩa ''nếu đồ thị hàm số y~ f (x) và đồ thị hàm số y = g(xỴ đối xứng nhau qua trục hoành thì fịx) = -g(x)"' Vạy ta sẽ chọn a = 2;x = 5 rồi tính y = log 2 5 = 2.32.. và y = iog, x = -2.32... => D đung E Math Ả _ (3 Math Á log 2 C5) lũSịC5) 2.32192SŨ95 2 -2.321928095 M F g/v) hoặc m < g(x) * Buóc 2: Đưa bài toán ban đầu về bài toán giải phương trình, bâ't phương trình đã học. II) Ví DỤ MINH HỌA VDl -[Thỉ thử chuyên KHTN lần 2 nám 2017] Tìm tập hợp tất những những giá trị của m đế phương trình log 2 X ~ ỉog 2 (x-2) = m có nghiệm: A. ] < m < + oc B. 1 Đặt íog 2 x~og 2 (x~2) = f(x) khi đó m- f(x) (1). Để phương trình (1) có nghiệm thi m thuộc miền giá trị của f(x) hay /(min) < m Tới đây bài toán tìm tham số m được quy về bài toán tim min, max của một hàm số.; Ta sử dụng hiệu suất cao Mode vói miền giá trị của JC là Start 2 End 10 Step 0.5 w7i2$Q.)$pi2$Q.)p2==2-l 0=0.5= 1,1 3 FC P nL=ì|Ì5 BuS 0.351 10 n.ãiiô > Quan sát bảng giá trị F(x) ta thấy /(10)«0.3219 vậy đáp số A và B sai. Đồng thòi klú X càng tăng vậy thì F(X) càng giảm. Vậy thắc mắc đặt ra là F( X) có giảm được về 0 hay là không. Ta tư duy nếu F[x) giảm được về 0 có nghĩa là phương trình f(x) = 0 có nghiệm. Để kiểm tra dự đoán này ta sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE i2$Q)$pi2$Q)p2qr3= 0 Math Caivt Soi ve c AC 1 ỉCancel Goto Máy tính Casio báo phương trình này không có nghiệm. Vậy dấu = không xảy ra > Tóm lại j (jr) >0 o m > 0 và D là đáp án chính xác ❖ Cách tham kháo : Tự luận ■ Điều kiện : x> 2 2 Phương trình o m = log 2 X — 2 o m = log 2 1 4- Vì x>2 nên X-2>0=>1 + —->1 => log 2 1+—— >iogj=0 X -2 " r - 9 p x-2 2 X ”2 Vậy m = log 1 + *-2 >0 165 ❖ Bình luận : Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng cách kết hợp chức năng lập bảng giá trị MODE 7 và chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khéo léo ® Chủ ý: m = f(x) mà /(x) > 0 vậy m > 0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp VD2 -[Thi thủ chuyên KHTN lần 2 năm 2017] Tìm tham s ố m để phương trình In X = mx A . có đúng m ột ngh iệm A ĩ Â. • 1 R 1 r B. m = ■ — c. — Di ị’ 4c 4 Cô lập m = = f(x) ( m > 0 ) Tới đây bài toán tìm m trở thành bài toán sự tương giao của 2 đồ thị. Để phương trình ban đầu có đúng 1 nghiệm thì hai đồ thị y = và y-m có đúng 1 giao điểm. > Để khảo sát sự biến thiên của hàmy = -1^ ta sử dụng hiệu suất cao MODE vói thiêt lập Start 0 End 5 Step 0.3 w7ahQ))RQ) A 4==0=5“0.3= 1 5 a X fík:* □.3 IB □„□013 □ .□□ Math 1.5 Quan sát sự biến thiên của F{x ) ta thấy /(0.3)«-148.6 tăng dân tới F(1 . 2 ) « 0.0875 rồi hạ xuống f ( 5) «2,9.10'' « 0 __ __ > Ta thấy / cực lớn « 0.875 . Để hai đồ thị y = ^~ và y = m có đúng 1 giao điểm thì đường thẳng y-m tiếp xúc vói đường cong y = —Ỵ" tại điểm cực lớn => w : : ■ ;X. : X■■■■: ’• /' •V’-’ li 1; -----35-'-- Vậy đáp án A là đáp án đúng chuẩn. ❖ Cách tham khảo : Tự luận Điều kiện: X >2 ■ Phương trình <=> m = log 2 Ị^——g- j <=>ffl = log 2 ự+ 2 ) ■ Vì x> 2 nên X-2 >0 => 1 + > 1 => log 3 11 +-- 1 > ỉog 2 1 = 0 X -2 V X — 2 J Vậy m = log^l 4- >0 • Bình luân : • Một bài toán mẫu mực của dạng tìm tham số m ta giải bằng phương pháp phối hợp hiệu suất cao lập bảng giá trị MODE 7 và hiệu suất cao dò nghiệm SHIFT SOLVE một cách khôn khéo • Chủ ỷ: m = f(x) mà f(x) > 0 vậy m > 0 một tính chất bắc cầu hay và thường xuyên gặp 166 VD3 ~[Thi thử THPT Lục Ngạn - Bắc Giang lần 1 năm 2017] Tim m để phương trình 4 (ỉog. Jx - log J X + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng chừng (0; l) ? A. —1 <777 Cách 1 : CASIO > Cô lập /77 = ~~4Ịlog 3 ^Ị + log, X Đặt -4(log 2 V*) 2 +ỉog,x = /(x) khi đó m = f(x) (1). Để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng chừng (0;l) thì /77 thuộc miền giá trị của f(x) hay /(min)< m Bài toán tìm tham số m lại được quy về bài toán tìm min, max của một hàm số. Ta sử dụng hiệu suất cao Mode với miền giá trị của X là Start 0 End 1 Stepo. 1 7p40i2$sQ)$$d+ialR2$$Q.)=0=l=0.1= 0 . Math K_FCÍU_ 1 g,E D-I33B ị 5,1 5.5431 3 ■rHr D.aiiá 0,8 Quan sát bảng giá trị F[x) ta thấy F(x) Tóm lại m < — và D là đáp án chính xác. 4 ❖ Cách tham khảo ; Tự luận ■ Điêu kiện: X > 0 ■ Ta có /77 = -4^1og 2 JxỴ +log, x = -4^log 2 x) ~ log 2 x =-(log 2 x) 2 -log 2 x Vậy rn = ”-( log 2 x + ~ 1 <“ 4 1 2) 4 167 1 l ỉ Dấu = xảy ra <=> Iog 2 X + Ỷ = 0 <=> log 2 X = --<=> X = 2 2 1 Vỉ *> Bình luân : • Đễ' xem dấu = xảy ra hay không thì ta sẽ thử cho dấu = xảy ra và sử dụng chức năng dò nghiệm. Nếu xuất hiện nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài thì dấu = xảy ra. VD4-[Thí HKl chuyên Amsterdam. -HN năm 2017] ' vớ | giá | r ' nà ° cúa tham s ° m ** phương trình log, x- 2|-log^ (* +1) = m có 3 nghiệm A. 777 >3 ^ ^ B. 777 < 2 . ■ .. c. /77 >0 ' 3 D. m - 2 Giải ❖ Cách 1 : CASIO > Đặt logiJ*-2|-log.j(x + ]) = /(*) khi đó w = /(x) (1). Bài toán tìm tham số m trở lại bài toán sự tương giao của 2 đồ thị. Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y-f{x) tại 3 điểm phân biệt > Ta có y = m là đường thẳng song song với trục hoành Để khảo sát sự biến thiên của đô thị hàm số y — / (*) ta sử dụng hiệu suất cao lập bảng giá trị TABLE vơi thiết lập Start -1 End 8 Step 0.5 w7ialR2$$qcQ)p2$$pia2R3$$Q.)+l==pl=8=0.5= 0 , Math fck:ị_ ẸFỉRỌFĩ -iliiÌỊ 0 Quan sát bảng giá trị ta mô tả được sự biến thiên của hàm /(jc) như sau /1Í.5) = ~3.; /í 2.5 i =4.0. v = /(-v) /| “ 0 . 51 =■ — 3.0 > Rõ ràng w < 2 thì 2 đồ thị trêri cắt nhau tại 1 điểm => Đáp số B sai I m - 2 cũng cắt nhau tại 1 điểm => Đáp án c và D cùng sai ! Vậy đáp số đúng là A ❖ Bình luẩn : • Bài toán thể hiện được sức mạnh mẽ và tự tin của máy tính Casio đặc biệt trong việc khảo sát những hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối. Cách tự luận rất rắc rối vì phải phân thành nhiều khoảng chừng đê’khảo sát sự biến thiên nên tác giả không đề cập. VD5-fThỉ HK1 THPT Chu Văn An -HN năm 2022] Tìm tất cả những giá trị thực của tham số m để phương trình 9 r -3 t+2 +/M = 0 có hai nghiệm trái dấu A. m <0 B. 0< m < 8 c. m e Ịj D. Không tồn tại m 168 Giai V Cách 1 : CASIO > Cô lập m = ~9 r 4- 3 t+2 Đặt -9 V + y* 2 =f(x) khi đó m - f (x) (1). Bài toán quy về dạng tương giao của 2 đồ thị. Đê khảo sát sự biên thiên của hàm số y = f(x) và đường đi của đồ thị ta sử dụng chức năng lập báng giá trị MODE 7 với thiết lập Start -9 End 10 Step 1. w7p9 A Q.)$+3'*Q.)+2=p9=l 0-1= 9 ■ằoi F E.BBBB lũ d B 11 ĩ 1B -1 'r Quan sát bảng giá trị ta mô tà đường đi của đồ thị hàm y - fx) như sau: ; /ilr-slS 3 - /1-9 ị*0 ■.,/ÍIO'i %-x Nhìn sơ đồ ta thây đế đường thẳng y = m cắt đồ thị y - f(x) tại 2 điểm A và B có hoành độ trái dấu thì 0 < m < 8 => c là đáp án đúng chuẩn ❖ Cách tham kháo : Tụ luận ■ Đặt 3 V ~t (/ > 0). Phưong trình <=> /(/) = r - 9/ 4- m = 0 (1) ■ Khi X > 0 thì t > 3° = 1, Khi X <0 thì t < i. Vậy để phương trình ban đầu có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình (1) có 2 nghiệm dương thỏa mân /,0 s> 0 p> 0 af])<0 <=> 81 - 4 m > 0 9 > 0 m > 0 l.(/?7~8)<0 <=> 0 < m < 8 Dấu = xảy ra log 2 X + ^ = 0 <=> iog 2 X - - - <=> X — 2~ 2 = 42 • Bình luân : • Hai giao điểm có hoành độ trái dấu thì phải nằm về 2 phía của trục tung • Đáp án A sai vì 2 đồ thị chỉ cắt nhau tại 1 điểm nằm ở bên phải trục tung • biêu 18 > m > 8 thì 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm đều nằm bên phải trục tung vậy đáp án c sai. 169 BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 -ÍThi HSG tỉnh Ninh Bình năxn 2022] Tìm tất cả những giá trị thực của tham số m đê phương trình 4 ' J -2' + 6 = m có 3 nghiệm phân biệt? A. m = 3 B. m > 2 c. 2 < m<3 D. 2 0 B. ' n ~ c. Với mọi m D. Không tồn tại m m > ~ỊĨ Bải 4 -fThi HK1 THPT Ngô Thì Nhậm - HN năm 2022] Phương trình log, X - log, (x - 2) = log r m vô nghiệm khi: A. m > 1 B. m < 0 c. 0 < m < 1 D. m < 1 D. Không tồn tại LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 . ❖ Cách 1 : CASIO y lacn 1 : LAMU......... _........... ...... ■ Đặt f (x) = 4- - 2 A ' Ỉ+2 +. 6 . Khi đó phương trình ban đầu <=> / (*) = m « Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số ỵ - /(*) vơi thiết lập Start -4 Jhđ 5_ Step 0.5 ; ■ V ■ g'; 1 w74 A Q.)d$p2 A Q.)d+2$+6=p4=5=0.5= II II 0 Ma.th F(KJ ? _ _ÍÌẸ I g.GDũĩ ■ Quan sát bảng biến thiên ta vẽ đường đi của hàm số -4 1 * + V. /11) ^ 18 A /l 0) = 3 ; B Ị Ị " ^ " : /í-11 = 2 ! ỉ il 1= 2 1 Ị ị Ị 1 1 Rõ ràng y = 3 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt vậy đáp án A là đúng chuẩn ♦> Cách tham khảo : Tự luận ■ Đặt 2 ,: = t khi đó phương trình ban đầu r - 4; + 6 - m = 0 (1) 170 ■ Ta đế ý tính chất sau; Nếu (- 1 thì A' = 0 còn nêu />0:/*l thì X - ±>/ỉog : / . Vậy đê phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm / = 0 và 1 nghiệm / > 0 ■ Với / = l=>/(l) = 0=>3-/7/ = 0<^> 777 = 3 Bài 2 . ❖ Cách ĩ : CASIO 25 IW, "’ ; - 2.5 lWì " v ‘ + Ị ■ Cô lập ỉn ta được /// = —-——-—- ’ r ^ 1 + V1 - V' _ 9 d+VĨ- V 2 rì+ylì-x' I ■ Đặt f(x) =- r^ị -■. Khi đó phương trình ban đầu o /(*) = m • • 5^-2 .. . .. ■ Sư dụng Casio kháo sát sự biển thiên của đồ thị hàm số y = f{x) với thiêt lập Start -1 End ỉ Step 2 w7a25 A l+slpQ)d$$p2O5 A l+slpQ)d$$+lR5 A l+slpQ)d$$p2==pl~l=0.2= K _ ■HB1 0 F ÍKJ 5.3333 -D.0 13.555 -0.5 ỈB.ĨBĨ - 1 ■ Quan sát báng biến thiên ta thấy /(.v) D là đáp án đúng chuẩn ❖ Cách tham kháo : Tụ luận H Điều kiện 1 - X 2 > 0 <=> - 1 < X' < ỉ. Ta có ì - A* 2 < 1 <^> 1 + /l - X < 2 Đặt 5 ,w ’ :v ' = / => 5 1 < t < 5 2 <=> 5 < / < 25 H Phương trình ban đầu trở thành r - (/77 + 2)/ + 2/77 + 1=0 <=> = —-—-— = /(0 Vậy /77 < /(max) ■ Klìảo sát sự biến thiên của hàm f(x) trên miền (5;25) ta được /(max) = /(25) = 25.043 Vậy /77 nguyên dương lớn số 1 là 25 Bải 3 . ❖ Cách 1 : CASIO ^ _ 5.16 v -2.81' ■ Cô lập m ta được /77 =-—- r 36 — X 5.16 V -2.81' T _. ■ Đặt f(x) = — 1 —-. Khi đó phương trinlì ban đầu f(x) =m ■ Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y~fịx) vói thiêt lập Start “9 End 10 Step 11 0 F (Ki MÃth 1 ỊBHEF 1333.4 ả -H 3284.2 3 -ĩ 1453.5 -9 Quan sát bảng biến thiên ta thấy f(x) luôn giảm hay hàm sôy = f(x) luôn nghịch biến. Điều này nghĩa là đường thẳng y - m luôn cắt đồ thị hàm sô y = f{x) tại 1 diêm => C đúng chuẩn. 171 *•* Cách tham khảo : Tự luận ■ Phưong trình ban đầu <=> 5.16' - «7.36' - 2.81' = 0 (1) Chia cả hai vế của (1) cho 81' ta được: 5-f ì ~ m - -“ì 2 = 0 (2) ■ Điều kiện: x>2 . Phương trình ban đầu <=> log,( —í—1 = 2log, m <=> — log,í "* i = Ịog m x-2) 2 x-2) <=> log, X-2 - log ? m <=> m = X -2 Để phương trình ban đầu vô nghiệm thì đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số X-2 ■ Sử dụng Casio khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số y = f(x) với thiết lập Start 2 End 10 Step 0.5 w7saQ)RQ)p2==2=l 0=0.5= *! F íib H&SBHT- ẼRRÓR 2.5 2.235 i 1.132 Matb ■ Đểkhầo sát đúng chuẩn hon ta tính giói hạn của hàm f(x) khi JC tiên tới 2 cận là 2 và + oc saQ)RQ)p2r!0 A 9)= £ y = 1 1.000000001 Vậy lim = I saQ)RQ)p2r2+0.0000001= 0 Math A pr 4472.136067 Vậy lim/(jt) = + oc 1 Quan sát bảng giá trị và 2 giói hạn ta vẽ đường đi cả đồ thị hàm số y = f(x) và sự tương giao Ạ lim = 3 /I.0I-S lim / (.v) SB + X Ta thây ngay m < 1 thì 2 đồ thị không cắt nhau hay phương trình ban đầu vô nghiệm. 172 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN T. CASIO TÌM NHANH HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SÔ I) MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Hôm nay mình nhận được 1 thắc mắc cùa thầy Bình Kami, một thắc mắc về tính quãng đường cứa một vật hoạt động và sinh hoạt giải trí thắng biến đối đều, thắc mắc đã được xuất hiện trong đề thi minh họa cúa BGD-ĐT năm 2022 [Câu 24 đề minh họa 2017] Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 (w/.í) thì người lai đạp phanh, tư thời điẽm đó, ô tô chuyên động chậm dân đêu với vận tốc v(/) = -2/ +10 (m / s) , trong đó / là khoảng chừng thời gian tính bằng giây, Tính từ lúc lúc khởi đầu đạp phanh. Hòi từ lúc đạp phanh đên khi dừng hẳn, ô tô còn di tán được bao nhiêu mét? 'A..15/H B.20 m . c. 25 m p. 40 /« Xem nao, khí xe tạm dừng vận tốc sẽ vê 0 hay 0 = —2/ + 10 vậy thời gian xe còn di tán thêm đưọc là 5(.v). Vậy quãng đường s = V.I = 10.5 = 50(/)?J mả xe chạy chậm dãn vậy sẽ phải nhỏ hơn 50(m), chắc là phái klìông nhí? Đê chăc chắrqcú /ẽ mình phải lập 1 hàng mô tả quãng đường: Mốc 0 Hết giãy thứ l • 1 o Hêí giây thử 2 / o -- ù • Hêì giây thứ 3 Hết gỉ ây thứ 4 Hết giây thứ 5 Vận tốc ĩ 0 —+ 8 8 -» 6 6 — ■> 4 4-^2 2 -» 0 Quãng đường 9 7 5 3 1 Như vậy tổng quãng đường xe đi được khi vận tốc giảm đèh 0 là 9 + 7 + 5 + 3 +1 = 25 (m) Cách này còn có vẻ như tin cậy hơn nhiêu, nhưng mất của tớ thời gian đến hơn 2 phút !!! Vậy còn cách gì nhanh hơn không nhỉ? Minh Nguyệt đã giải được bài toán và tìm ra đáp án đúng chuẩn 25 (m), rất tốt về mặt kết quả nhưng về mặt thời gian tính lại hoi lâu. Bài này ta hoàn toàn có thể hoàn thành xong trong thời gian 20(j) nhờ 1 công cụ gọi là tích phân. S = (-2t + ữ)dt = 2S(m) 0 Ta bấm máy tính như sau: Khải động hiệu suất cao tính tích phân : y Nhập biểu thức cần tính tích phân và nhấn nút = (p2Q)+10)R QẸ5= .0 Mỉĩth À ~ Jo(-2X+10)dx 25 May tinh sẽ cho tất cả chúng ta kêt quả là 25 (m). Chỉ mât 20^) thật tuyệt vời phải không nào!!! Thây BìnhKami, Tích phân là công cụ gì mà hay vậy ạ ??? 173 Tích phân là một trong trong những công cụ tuyệt vời nhất mà nền toán học đã tạo ra, sử dụng tích phân hoàn toàn có thể tính được quãng đường, vận tốc của một vật thê hoặc hoàn toàn có thể tính được diện tích s quy hoạnh của một hình rất phức tạp ví dụ như hình tròn trụ, hình tam giác, hình e líp ... thì còn tồn tại công thức nhưng diện tích s quy hoạnh của mặt ao h'ô hình thù phức tạp thì chỉ có tích phan mới xử lý được, hoặc tính thê’ tích của một khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp thì lại phải nhờ đến tích phân. Tích phân tân tiến được nhà toán học Anh Isac Newton và nhà toán học Phap Laibơnit công bố khoảng chừng cuối thế kỉ 17 nhưng người đặt nền móng cho việc hình thành và phát triển của Tích phân là nhà toán học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Ac-si-met Tích phân phân thành 2 dạng : Tích phân bất định (không cận) thường được biết tới tên là Nguyên hàm và Tích phân xác định (có cận) thường được nghe biết với tên Tích phân mà những e sẽ được học ở học kì 2 lóp 12. II) CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM ♦> Xây dựng công thức tính nguyên hàm: ^ _ ^ ^ Ta có (í ír ) =" 5x ĩ vậy ta nói nguyên hàm của 5x 4 la /’ kí hiệu |5xVx = x 5 +c Tương tự (sinx)’ = cosx vậy ta nói nguyên hàm của cosx là sinx, kí hiệu |cosxíử = sinx + C I Tổng quát: Ị/(x) Ta biết F'(x) = /(x) việc này đúng với mọi X thuộc tập xác định > Vậy sẽ đúng với X = 1 ví dụ điển hình. Khi đó F’(l) = /(l) > Tính giá trị/(1) = 7,3890... Q.)QK A 2Q)rl= 174 Mmỉi à 7.389056099 > Tính đạo lìàm F'(l) vói từng đáp án, bắt nguồn từ đáp án A là F(x) = 2e 2 '(x-2) qy 2QK A 2Q)$(Q.)p2)$l = 0 Mstb Ả ^(2e 2: v>;-2))|^ -14.7781122 Vậy ta được kết quà / 7 '(l) = “14.778ỉ... đây là một trong kết quà khác với /(!)=> Đáp án A sai > Tính đạo hàm F'(l) của đáp án B vói F(a*) = qyalR2$QK A 2Q)$(Q.)palR2$)$l= 7.389056099 Ta thu được kết quả giống hệt f(x) vậy F'(x) = f(x) hay F(a) = ie 2v Ị^A-”j là nguyên hàm của /(x) => Đáp án B là đcáp án đúng chuẩn ❖ Bình luân : ® Nếu F(x) là một trong nguyên hàm của /(*) thì F(x) + C cũng là một trong nguyên hàm của hàm f(x) vì (F(x) + C) i = F , (.v) + C , = F , (a) + 0 = j P , (a) = /(x) • Việc sứ dụng Casio đê tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích đối vói vói những bài phức tạp, áp dụng nhiều công thức tính đạo hàm cùng một lúc, và tránh nhầm lẫn trong việc tính toán!! VD3 -fCâu 23 Đề minh họa năm 20171 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = yj2x~ : A. ị f(x)dx - ™(2x ~])yj2x- + c B. ị f{x)dx = ị-(2x - )-yj2x - 1 + c c. I /(a) cix - ~/2x- 1 4- c D. I f(x)dx = ị-yj2x- +c *:* Cách 1 : CASIO ị> Nhắc lại 1 Tân nữa cổng thức quan trộng của chủng ta. Nếii f(x) ĩa l nguyên hàm cua I ■■ /(*) thì F'(x) = f(x) y : V . ■; u V-Ò-:v Khi đó ta chọn một giá trị X = a bất kì thuộc tập xảc định thì F(a) = / (ơ) > Chọn giá trị X = 2 ví dụ điển hình (thỏa mãn điều kiện 2x-l>0ox>i) Khi đó /( 2 ) = 1,732... s2Q)plr2=n s Ma.th ▲ 1.732050808 175 Theo đứng quy trình ta sẽ chọn đáp án F(*) ở 4 đáp án A, B, c, D nếu đáp án nằo; thảo mãn F f (2) = /.(2).= 1,732... Thử vợi đáp án A khi đó F ( x) =— ( 2x - 1) yjlX -1 qya2R3$(2Q)p 1 )s2Q)pl$$2= . □ Math A £(§(2X-1)M=Ĩ> 3.464101615 Vậy F'(2) = 3,4641...Ià một giá trị khác /(2) = 1,732... điều đó nghĩa là vấn đề kiện /^(x) = f(x) không được đáp ứng. Vậy đáp án A là sai. I Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B. Khi này F{x) = —(2x -1) Ỉ2x - 1 qyalR3$(2Q)pl)s2Q)pl$$2= 12 Math A 1.732050808 Ta được F’(2) = 1,732... giống hệt /(2) = 1,732... nghĩa là vấn đề kiện F*(jc) = /(x) được thỏa mãn. Vậy đáp án đúng là B Cách tham khảo : Tự luận Dựa vào đặc điểm của hàm f{x) ta thấy V 2x- về mặt bản chất sẽ có dạng (2x-l)7 . Ta nghĩ ngay đến công thức đạo hàm (ỉ/")’ = .u' +) Trong công thức đạo hàm này số mũ của u bị giảm sút 1. Vậy hàm F(x) có số mũ lớn hon hàm / (x) là một trong đơn vị. Vậy ^(x) phải có số mũ là Ỷ 3 +) Vậy chỉ có đáp án A hoặc B là thỏa mãn vì (2x-)^2x- =(2jc-1)ỉ T a thực hiện phép đạo hàm (2 a--1)= ' = -^(2jc-1)2 (2x-1)' = 3a/2x-1 Cân bằng thông số ta được t (2x-‘l)ỉ ' = ^2x-l. Điều này còn có nghĩa nguyên hàm F (x) = j(2x - 1)2 = j(2.y- 1 ) 72x-1 => B là đáp án đúng. Ị Bình luân : Nếu tất cả chúng ta có một chút ít kiên thức cơ bản về đạo hàm thì việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án sẽ nhẹ nhàng hơn. Chúng ta chỉ việc thử với đáp án A và B vì 2 T, rì, , , ..,,3 đáp án này mới có số mu là —. Điều đặc biệt của dạng này là số mũ của nguyên hàm .F(x) lúc nào thì cũng to hơn số mũ của hàm số /(x) là một trong đơn vị. +) Chúng ta hoàn toàn có thể áp dụng 1 cách linh hoạt. Ví dụ tìm nguyên hàm của hàm số y = -Ịj=r thì cũng vô cùng đơn giản. 176 Ta thây y~m,-^= về mặt bản chất thì -Ị=- là X mũ ~4 vậy chắc như đinh nguyên hàm lx yjx 2 phải là X mũ “-7 + 1=4 hay la yfx. Ị 1 +) Ta xét đạo hàm gốc ỊV^y==-J_(*) Việc còn sót lại chỉ là cân đối thông số, để tạo thành 2 yj X -J= ta nhân ca 2 vế của (*) vói 2 m là xong. Khi đó ịlmy/ĩỴ = -^=r Thật đơn giản phải V X V-V không!! :." y 3x ■“ 2 ' VD4- Một nguyên hàm của hàm Số '/(■*) = -——“ là; X A. 2x 2 +3x-2hx B. X 2 3x c Ặ + 3jr-21njc + l D. íiịí- ❖ Cách ĩ : CASIO 'r Ta chọn một giá trị X thuộc tập xác định (x * 0) là X - 5 Khi đó /(5) = 7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n ;k 2 +3Í-Ĩ—2 0 M:tii Á Với đáp án c ta có F(x) = ~ + 3.v-2in.v + l có qy aQ)dR2$+3Q)p2hQ) )+l $5= B Ma.th A áM’^+3X-21n(Xi> Ta được F'(5) = 7.6 = /(5). Vậy đáp án c là đáp án đúng chuẩn. •> Cách tham kháo : Tự luận " Hàm /(*) = - —— mang tên gọi là hàm phân thức hữu tỉ vói bậc của tử là bậc 2 lớn hon bậc cúa mẫu là bậc 1 ■ Phương pháp giải: Thực hiện 1 phép chia tử số cho mâu số ta được: /(*) = X + 3-—. Khi đó hàm số trở thành dạng đơn giản và ta thuận tiện và đơn giản tìm được nguyên hàm. : +) CÓ ^~ + 3x ' = x+3 vậy + là nguyên hàm của x+3 |;y .. V 2 ) 2 I ■'.+) Có (ỉn x)' = — . Cân bằng thông số ta có: (-21n x) , = -— vậy -21nx là nguyên hàm của -—Ị X X X 1 Tổngkết ri + 3x-2nx = x + ĩ- — = — t2lzĩ. 2 ) XX 177 Hay —+3x-2nx. là một nguyên hàm cần tìm thì ĩ- + 3x- 21n x + 5 cũng là một nguyên hàm. ■ Cân bằng thông số ta được — (2x — 1)2 1 = yl2x -1. Điêu này còn có nghĩa nguyên ham F(x) = t(2x-l)2 = t(2x-l)V2x-l => B là đáp án đúng. ❖ Bình luân :_ _ ___________ __ I. lìm nguyên hàm cua 1 hàm phân thức hữu ti là một trong dạng toán hay nếu tất cả chúng ta biết nguyên tắc tư duy, và nếu không biết thì sẽ rất trở ngại vất vả. : Ị ❖ Ta phải nhớ thế này, nếu phân thức hữu tỉ có bậc ở tử to hơn hoặc băng bậc ở mâu thì ; ta sẽ thực hiện 1 phép cùa tử số cho mẫu sổ'thì sẽ thu được 1 hàm sổ cực kỳ dễ tính nguyên hàm. - 0’-ừ-Ệ : Ấ; ! Ngoai ra còn 1 dạng hay nữa khi phân thức hữu tỉ có mẫu sô'phân tích được thành nhân tử thì ta sẽ xử lý thếnào? Mời những bạn xem ví dụ tiếp theo. j L:.: - ■.- -----.."“•■■■■ 4 VD5 - Nguyên hàm của hàm số f(x) = , - là: A. In(x-2)-2ln(x + 2) + c B. 2ln(x-2)+ln(x+2) +c Cln^l+c D. In^+C x-2 X + 2 Giải ❖ Cách ĩ : CASIO > Ta chọn một giá trị X thuộc tập xác định (x o) là X = 5 Khi đó /(5) = 7.6 aQ) d+3Q)p 2RQ) r5=m +3X-2 s Math A > Với đáp án c ta có F(x) = ^- + 3x-2nx + ) có qy aQ) dR2$+3Q)p2hQ))+1 $5= Q. Mã.th ▲ ^(^+3X-21nCXt> Ta được F'(5) = 7.6 = /(5). Vậy đáp án c là đáp án đúng chuẩn. ❖ Cách tham kháo : Tự luận m Hàm /TxV= Ấ - mang tên gọi là hàm phân thửc hữu ti có mẫu số phân tích đưỌc thành w x 2 -4 ■ "' 2 . : ■ V ■ : '/ị7. ; ív.-'7Í-- ỵ nhân tứ ' : : ■ Phương pháp giải: Chia phân thức phức tạp ban đau thành những phân thức phức tạp 77T7 4. 4 +) c ° X 2 '-'? = (x — 2)(x + 2) 4 11 +) Ta sẽ tách phân thức lón này thành 2 phân thức nhỏ đơn giản: -y~-Ị = m.—ị + 178 +) Đế tách được ta lại đùng pỉnamg pháp thông số số bất định : 4 114 w(.r + 2) + //(.r-2) .T = tĩì .——- + n .—— <=> —r- = - 7 —-— X 2 - 4 X - 2 X + 2 x : - 2 (x-2)(x + 2) , „ , , , „ |0 = /// + /? [///=1 <=> 4 = ///(X - 2) + // (X + 2) <=> Oa* -í- 4 = x(m + n ) + 2ni - 2/7 <=> < <=> < [4 = 2m -2n [/7 = -l 4 _ ì 1 Vậy .— ■■ = —- X - 4 A--2 x + 2 ■ Thành công trong việc đưa về 2 phân số đơn giàn, ta nhó đến công thức sau: (ln xỴ = ~.(ln u) ~ — .u' X u Dễ dàng áp dụng: [ln(^- 2 )]-= —Ị—-.(jc- 2 )’= —Ị— và [ln(* + 2 )]' = -i-.(v + 2 )' = -ỉ— X ~ Á X ~ Ả X Ả X Ẩđ Tổng hợp [ln(x - 2) “ ln (x + 2)]' = —-Ị o ỉn Y — 2 Vậy nguyên hàm của /(.v) là F ( .V ) = In -—“ +c X + 2 ❖ Bình luân : ❖ Qua ví dụ trên tất cả chúng ta thấy được sự hữu hiệu của phương pháp thông số bất định, 1 phân số phức tạp sẽ được phân thành 2 hoặc 3 phân số đơn giản , ® Về nguyên tắc thì có thế ra 1 bài tích phân hàm phân thức được phân thành hàng trăm phân SỐ đơn giàn nhưng trong trương trình học THPT thì cùng lắm là phân thành 3 phân thức con. Chúng ta hãy cùng theo dõi phép chia sau: 4x 2 - 5x ~ 1 _ 4a* 2 - 5x - 1 _ 4X 2 - 5x -1 m n p X 3 - 2x 2 - X + 2 (x-2)(x 2 -1) ” (jc — 2 )(jc — ])(x + l) ~ X-2 x- x + ì <=> Tử số vế trái = Tử số vế phải 4 = /?/ + 2/7 + p {m = 1 <=> 4.V 2 - 5.V - 1 = tnịx 2 - 1) + /7(.V 2 - X - 2 ) + p (A' 2 “ 3x + 2 ) <=> < -5 = -/7 - 3/7 <=> Chuyển máy tính Casio về chính sách Radian (khi làm những bài toán liên quan đêh lượng giác) qw4 > Chọn 1 giá trị X bất kì ví dụ như X = — X-2 4 X + 2 J X 2 - 4 179 > Khi đó giá trị của f(x) tại jc = ~' là = 0,4330... iQ))kQ))rqKP6=n □ Ms.th A sỉnOOcũsÒO qyalR4$k2Q))$aqKR6= 0 Math A ẳ(ỈC08(2X))| x a - 0.4330127019 > Ta tiếp tục thử nghiệm vói đáp án B. qypalR4$k2Q))$aqKR6= 0 Màth A ẳ(-ịcos(2X))ht> 0.4330127019 Ta được = 0,4430... = fịjr j. Vậy đáp án đúng là B ❖ Cách tham khảo : Tự luận ■ Dễ thây cụm sinxcosx rất quen thuộc và ta nhó đến công thức có nhân đôi : sin2x = 2sinxcosx a Từ đó ta rút gọn /(*) = — sin 2* ■ Cái gi đạo hàm ra sin thì đó là cos!! Ta nhớ đến công thức: (cosM)’ = -M , .sinM Ap dụng (cos2x)’ = -sin 2x.(2x)' = -2sin 2x Cân bằng hộ số bằng phương pháp chia cả hai vế cho -4 ta được: ^--~cos2x j’ = —sin 2x ■ Từ đây ta biết được F(x) = --~cos2x *> Bình luân : • Khi sử dụng máy tính Casio để làm bài tập liên quan đến hàm lượng giác thì ta nên đổi sang chính sách Radian để phép tính của tất cả chúng ta đạt độ chuẩn xác cao.. • Ngoài cách gộp hàm f(x) theo công thức góc nhân đôi, ta hoàn toàn có thể tư duy như sau : Nếu ta coi sinX = u thì cos x = u' vậy ta nhó tói công thức («")’ = n.a"- ] .u ’ Ta thiết lập quan hệ (sin 3 x)’ = 2sinxcosx hay (1 . 2 A c . _ —sin X = sinxcosx 12 J 180 Vậy ta biết F(x) - ~sn 2 X tuy nhiên so sánh đáp án thì lại không còn đáp án giống. Vậy ta tiếp tục biến đối 1 chút, -^-siir .V = = - — cos 2x + — => Fịx) củng ỉà - —cos2jc 2 2 2 4 4 V/Ỡ 4 BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 -ĨTHPT Phạm Văn Đông - Phú Yên 2022] Nguyên hàm f —L c/x bằng: J cos X A. tan ; x + (’ B. ị-tan.v + c c* 3tanx + c D. “tan 3 Jf + C 3 . 3 . Bải 2- [Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm của hàm số / (jc) = 2022 r là: B. 2022*.In 2022 + c A.2^_ + C In 2022 c. X 2022 ' v .ln 20 l 6 + C’ D. In 2022 Bài 3 -ĨTHPT Quảng Xương I - Thanh Hóa 2022] Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f{x) = / —4 : (*+0 A. Ể±±fì B. P-L c. ỂllỊl D. X +1 X +1 x+) x+ Bài 4 -[THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số j |^ 2 + — - lyíx^ỳc A. L — + 3nx-^-yfx* + c B. 4“ + 3ỉnjc-^Vx^ + C 3 1 1 3 3 3 c. ^“ + 3ln|*| + “>/x*" + C D. 4"-3ln|x|™“x/j? + C T 1 1 'l 'ì ỉ 'ì Bải 5 -[THPT Vĩnh Chân - Phú Thọ 2017] Không tồn tại nguyên hàm: A. x-ỉ B. ịj-x 2 +2x- 2cỉx c, Jsin3jcứòc Bài 6 -[Chuyẻn Lam Sơn - Thanh Hóa 2017] [ - dx bằng: D. jyY& B - fj(lnV +c X c. r + c D. ịyỊ(ỉnxf +c 2x/ln X 2 A. 2 (lnjc )2 +c Bải 7 -[Báo Toán học Tuổi trẻ Tll năm 2016] Nguyên hàm của hàm số f(x)~e x x-l(|3jf -1| - 2x)dx + ị'(|3x -1| - 2|x|)«fc = -1 = y 3 *> Bình luân : • Để giải những bài toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải sử dụng phương pháp chia khoảng chừng để phá dấu giá trị tuyệt đối. Ta biết 3x-l>0<=>x>^- và 3x-l<0<=>x<” vậy ta sẽ chia đoạn [0;l] thành 2 đoạn r 0;— 1 L 3j và M |_3 J lỹ| Để tá chì tích phân thành 2 tích phân ta sử dụng công thức chèn cận : Với ị ụấ trị c • Để tách 1 tích phẩn thành 2 tích phân ta sử dụng công thi I kì thuộc đoạn [ ab thì ị f(x)dx = j f{x)dx + ịf {x)dx ! L_c.. - '"11- V . 1.3" v 'y'. : -w , rmi • 1 • 1 • ? • . 7 1 r»i r nril “ nrv^ I-»T VD 6 -[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] -dx = an + ~nb (0 < a < 1.1 < b < 3) . Tích ab bằng bao nhiêu? Jĩ 1 Cho biết ị 0 eosx sin X 4- cosx A. B. c. 4 6 D. ^ 8 Gỉảỉ ❖ Cách 1 : CASIO n > Tính 0 J ~ smx + cosx qw4yakQ))RjQ))+kQ))R0EaqKR4= s Mith Ả 4 COStX) 0 sin(X)+cosOíji_ 0.5659858768 Lưu giá trị này vào biến A qjz 0 Mith A Ans*A 0.5659858768 I A-^-nb Vậy ta có: an +—ln b = 0.5659... = A => a =--- 7 4 _.___.”.'__ _ 7T _ ...... y4-iln/> I / I n :> Nếu đáp số À đúng thì ạb~ A- <=> - 4—~“ 2 ^ 4 in b 1 ==0 I Sử dụng chức năn g dò nghiệm SHIET SOLVẸ để tìm b_ . Q.)(Qzpal R4$QQhQ))) p aqKR2$qr=0.5= 192 0 M»tíi Can’ t So1ve ỊỊACD : Cance 1 í 4 3 í ►]: Goto Không tìm được h => Đáp án A sai > Với đáp án B ta có hị A - — in h 1- —= 0 I 4 ) 4 Q.)(QzpalR4$hQ)))paqKR4qr=0.5= xitì-ịinc;ỏj-f 2 L-R= 0 => k = 2 => a = ~ thỏa điều kiện 0 < a < 1.1 < h < 3 8 => Đáp số B đúng chuẩn của bài toán • Bình luân : • Một bài toán rất hay phối hợp lệnh tính tích phân và lệnh dò nghiệm SHIFT SOLVE • Cách Casio có thêm một ưu điếm là tránh được những bài tích phân khó như f cos* ị —--- dx ^sinx + cosx BÀI TẬP Tự LUYỆN ,T Bài_l-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017] Nêu ịsin"xcosxí& = — thì n bằng: 0 64 A. 3 B. 4 c. 5 D. 6 ? N ệ _ Bàj...2-[Báo Toán học Tuổi trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân J 3jcVx : +1 bằng: A. 3 B. 7 c. -5 D. -3 Bải 3 -[Group Nhóm Toán 2107] Tích phân í —-— bằng: h e ' +2 *" -3 A. In 3 B. In 4 4 £ Bài_4-[THPT Nho Quan — Ninh Bình 2017] Cho f- 'dx = — In 3. Tìm giá tri của a: ' 1 + 2sin 2x 4 ° A. 3 B. 2 c. 4 D. 6 Bài.5-[Báo THTT tháng 11 năm 2016] Giá trị nào của a để J(3.V 2 ; 2)(lx = a í 2? A. 0 B. 1 c. 2 D. 3 B ài 6-[THPT Thuận Thành 1 - Bắc Ninh 2017] Tính tích phân / = ĩ ỵĩ + 2ỉnx dx: , * A.I = e 2 -ị B. / = £—íl c. / = c 2 +l n ỉ = — ‘irx 2 + 2 In X 193 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 . n 6 11 ■ Với n-2 tính giá trị tích phần Isin 2 xcosxdx ” ~7 * 77 ^ Đáp án A sai 0 24 64 A nrr ^ yjQ))dOkQ))ROEaqKR6= 0 Mitt, Á. Jo sin(ỉ0 2 xcos(> 1 24 ■ Với n = 3 tính giá trị tích phân I sin 1 xcosxdx = => Đáp án B đúng chuẩn y jQ)) A 3$OkQ))ROEaqKR6= ■ ỉịtirệặv.; ;vV-:;Ịy V; :iJịỹ•'Va - : í hịBỊtlỊỊ V 7^; .7; V:V ■ ỹ s ::i J Q. sin00 3 xcosc:i>. ■ Chủ ý : Tự luận với tín hiệu "xuất hiện cụm cos xdx " ta sẽ đặt t = sin í Bài 2. Mith A 73 . . Tính tích phân 13 w X 2 +1 = 7 => Đáp số đúng là B 0 y3Q)sQ)d+lR0Es3~ j^3XJx 2 +ldx Chủ ý : Tự luận với tín hiệu "xuất hiện căn thức" ta sẽ đặt căn thức là ẩn phụ Đặt t = yfx 2 + 1 <=> r = X 2 + 1 Vi phân hai vế => 2xdx = ĩtdt => xdx = tdi. ị , |2 . Khi đó tích phân trở thành 1 3t.tdt I x = 0 =>/ = X = V5 => í = 2 Đổi biến: Bải 3 . ■ Tính tích phân f . y a 1RQK A Q.)$+2QK A pQ) $p3Rh3) Eh5)= 1 - 7 In5 : f 3 3 V. / 2" -- = 0 . 4054 .. = ln . -Ị => Đáp số đúng là c ẹ* + 2e~ x - 3 U' ln C5J 1 n í 31 eX+ze-x_-;J 0.4054651081 Chủ ỷ : Tự luận với tín hiệu " xuất hiện e x " ta sẽ đặt e x là ẩn phụ Đặt t = e x Vi phân hai vế =0 e x dx = dt. [x = Ịn3 =>í = 3 ^ hch phân trở thành I e ^ - 7 — = J 2 Jí - jc = In5=>/ = 5 J 3 e 2 --3e-+2 ịt-3t + 2 Đổi biến: dí 194 Bài 4. Thư VOI a - 3. Tính tích phân I"-————— Đáp sô A sai J 1 - 2sin 2.V 4 r E A qw4y ak2Q))Rl +2j2Q))RDEaqKR3= .. 0 i+2sin i.2K'Ị u ' ' 0.2512631347 .7 ■ Thử với a=4 Tính tích phân f , C ° s2a ' dx = 0.2746 = ị In 3 => Đáp SỐC sai 7,1 + 2sin2.v 4 r $$E$R$o4= 0 Math ▲ 4 —^ gst2K) H 0 1+2sin(2ftj ax 0.2746530722 ■ Q ĩý - ỷ : Tự luận với dấu hiệu "xuất hiện cụm coslxdx " ta sẽ đặt sin2x = / là ẩn phụ Bài 5. ■ Thiet lập phương trình (3.V“ + 2)c/.Y — P’ + 2 ) = 0. Vì đê bài cho sẵn các nghiệm nên ta 0 sử dụng phép thử Với a = 1 vế trái phương trình là : j(3.v 2 + 2)dx-Ý + 2 ) = 0 => Đáp án đúng là B 0 Wy(3Q)d+2)R0El$p(l+2)= B M«h A J l ị l L3>í 2 +2)dx-íl-it> ũ Bải 6. -V 2 + 2In* , e 2 + 1 ——dx = 4.1945... = ~ - Đáp SỐ chính xác là B ■ Tính tích phân / = J 1 yaQ)d+2hQ))RQ)Rl EQK= 0 Hith A 4.194528049 " Qui—ỵ: Tự luạn ta nên tách tích phân thành 2 tích phân con để dễ xử lý: I = ị xcix + 2Ị In x.—dx i 1 x Nếu tích phân "xuất hiện cụm — dx " thì đặt nx = t . Vi phân hai vế => —dx = dt . X ’ * X — 1 2=> t = 0 -ị Ị. • e _ >f __J • Khi đó tích phân trở thành J xdx + 2J tdt=" - ___ ....__ _ __ 1 ọ rSỉ&.-ũ:*- ịx=l=>t = 0 Đối biến cr +1 195 T. CASIO TÍNH NHANH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ỹ= f(x ), y = g(x)vầ hai đường thẳng x = a,x-b được tính theo công thức S = |/W-g(*)k* (1) (Dạng 1) a Quy ước : Trong bài học này ta gọi đường thẳng x = a là cận thứ nhất, x = b là cận thứ hai Chú TÝ : Khi đề bài không cho hai cận thì hai cận sẽ có dạng X = X,, X = x 2 với x,,Xj là hai nghiệm của phưong trình hoành độ giao điểm 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x = f{y), x = g{y) và hai cận y a.v-b đưọc tính theo công thức: s = I;/( 1 ) - g(y) d y (2) (Dạng 2) Ị 3. Tổng hợp phương pháp (gồtn 3 bước) + Bướcl: Xác định rõ hai hàm y = f(x),y = g(x) hoặc x = /(y),x = g(y) + Bước 2: xác định rõ 2 cận x = a,x = b hoặc y = a,y = b + Bước 3: Lắp vào công thức (1) hoặc (2) rồi sử dụng máy tính Casio II) VÍ DỤ MINH HỌA VDl-[Đề minh họa môn Toán Bộ GD-ĐT lân 1 năm 2017] Tính diện tích s quy hoạnh hình phẳng số lượng giới hạn bới đồ thị hàm sổ y = x i -X và đồ thị hàm số y = x-x 2 A- B. J C.H D. 13 12 4 12 Giải > Ta có hai hàm sổ y-x 3 -X và y-x-x 2 x = 0 > Giải phương trinh hoành độ giao điểm X 3 "X = X~X 2 o X 3 + X 2 "2x = 0o Jt = l X = ~~2 Ta có 3 cận x = 0‘X = ;x = -2 mà công thức chỉ có 2 cận vậy ta phân thành 2 khoảng chừng cận -2 < X < 0 và 0< X< 1 .. ^ _ __ : . ........^. > Diện tíđĩ hình phang số lượng giới hạn bởi đo thị y = x 3 -x / y = 3-X và hai tuyến đường thẳng x = -2;x = 0 là 5, = j|(^ 3 -x)-(x-x 2 )|íỉv Điện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị y = x 3 -x, y = 3-x và hai tuyến đường thẳng x = 0;x = l là s 2 =ị|(x 3 -x)-(x-x 2 )Ịí/x _ > Vậy tổng diện tích s quy hoạnh 5 = Ị|(x 3 -x)-(x-x 2 )|dx + Ị|(x 5 -x)-(x-x 2 )|dx -2 Ố Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân 196 yqc(Q.) A 3$pQ))p(Q.)pQ)d)Rp2E0$+yqc(Q.) A 3$pQ))p(Q.)pQ)d)R0El= |t _, , , 0 Màth A 1“ CX*-!0-(X-» J 12 37 Vậy 5 = ta chọn đáp án đúng là A ♦> Bình luân : • Thật tuyệt vòi phải không, và từ đây theo 3 bước phối hợp Casio ta sẽ làm mọi bài liên quan đến tính dỉện tích hình phằng. VP2 -[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Cho miên (D) số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = In (.V + ]), y = ỉn 2.yfx,x - 2, Diện tích miền phắng (D) bằng: A. lnVĨ6.(V2 + l)-3ln3 + l B. -|ln2.(>/2+l) + 31n3-l C.!n^ + Í^ln2 + ! D. uM + ị n 2* -1 21 3 27 3 Gỉảỉ > Ta có hai hàm số y = In (x + 1) và y = In 2.Jx y Cận đâu tiên là X = 2 ta đi tìm cận tiếp theo bằng phương pháp giải phương trình hoành độ giao điểm ln(x + l) = Iii2.a/x o ln(X +1) — In2.V3c = 0 Để giải nhanh phưong trình này ta sẽ sử dựng Casio vói hiệu suất cao dò nghiệm SHIFT SOLVE hQ)+l)ph2)OsQ)qr2= 0 Math lnCX+l)-ln(2)x/> i L-R= 0 Ta được nghiệm X = 1 Vậy ta tìm được hai cận X = :x = 2 > Diện tích hình phắng số lượng giới hạn bởi hai hàm số y = In (* + !), y = ln2.v* và hai tuyến đường thẳng x = ;x = 2 là s - J|ln(;c +1) - In2.v/x|rót ;.;. .^..1 _ .. t r _ ■ ■■ ■■■ ■ ! Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqchQ)+l)ph2)OsQ)RlE2= □ Math Ả Ji I lnCX+ii-lnCSb- Ũ.0646297673 Vậy s = 0,0646... Tính giá trị xem đáp án nào có kết quả 0,0646... thì là đáp án chính xác. => ta chọn B *♦* Bình luận : Việc tìm nghiệm của phưong trình hoành độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta hoàn toàn có thể tính nhanh bằng kỹ thuật dò nghiệm vói hiệu suất cao SHIFT SOLVE đã được học ờ bài trước. 197 VD3-[Th thử website Vnmath.com lần 1 năm 2017] Đưòng thẳng y~c chia hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường cong y = x 2 và đường thẳng y = 4 thành hai phần bằng nhau. Tìm c A. ịlĩẽ B. ^9 c. l4ì D. 3^/3 Giai > Hai hàm số V = X 2 và V = 4 Giải phương trình hoành độ giao điểm V 2 - 4 = 0 <=> X = ±2 Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)dp4Rp2E2= f z jx 2 -4ldx I Vậy s = 32 J -2 một nửa diện tích s quy hoạnh là Ms.th À 3 16 3 3 > Vì đường thẳng y = c chia hình phẳng s thành 2 phần bằng nhau => Diện tích hình phằng số lượng giới hạn bởi đường cong y = X 2 , đường thẳng y = c có độ lớn là Y > Thừ vớì đáp án A ta có y = yj6 . Giải phương trình hoành độ giao điểm X 2 = ịfĩ 6 <=> X = ±yfỉ 6 ^16 _ =>5" = I |x 2 ™-ựl6p- yqcQ)dpqsl6Rpq A 6$16Eq A 6$16= : Vậy iS, = — (đúng) => đáp án đúng là A VD4-[Đê cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Tính diện tích s quy hoạnh hình phẵng số lượng giới hạn bơi y 2 = X + 1 và trục Ợy bằng: A.2 ' b;| c.i ■ D. -ì 16 3 Giải > Hai hàm số X = y 2 - 1 và trục Oy có phương trình X = 0 Giải phương trình tung độ giao điểm y 2 -l=0<=>y = ±l Vậy cận thứ nhất là y = ~~ cận thứ hai là y = 1 > Diện tích hình phằng giói hạn bởi hai đồ thị hàm số x = y 2 -, X = 0 và hai tuyến đường thẳng y = “l,y = l là: s = J|(y 2 - 1) — o|cộ/ -1 Sử dụng Casio vói lệnh tính tích phân yqcQ)dplRplEl= 198 Math A 1-1lx 2 -lldx 4 Vậy .V = — đáp SÔ đúng chuẩn ỉ à c 3 • Bình ĩuân : • Bài toán này nên đưa về dạng 2 thì sẽ thuận tiện và đơn giản tính toán hơn. Nếu đưa về dạng 1 ta phải tính y = ±yJx + rồi lại phải tìm cận sẽ khó hơn • Ta hiểu với máy tính X hay Y chỉ là kí hiệu nên s = J|(y 2 ~l)-o|r/y =J|(;r -l)-o|d* .V' -1 : ~ỉ V ;• ; Nên ta hoàn toàn có thể thực hiện phép tính với máy tính Casio như trên VD5 -fSách bài tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153] 2 Tính diện tích s quy hoạnh hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường cong x = y* , đường cong x + y A =2 và trục hoành 2 > Hai hàm sổ X = y ĩ và x = 2- y 4 Giải D. 7 4 Trục hoànli có phương trình y = 0 => cận thứ nhất y = 0 2 Để tìm cần thứ hai ta giải phương trình tung độ giao điểm: y ĩ = 2-y 4 . Để giải nhanh ta sử dụng hiệu suất cao dò nghiệm SHIFT SOLVE Q.) A a2R3$$+Q.) A 4$p2qr 1 - X 3 +X 4 -2 X- ‘ " 1 L-R= 0 vậy cận thứ hai là y = 1 I . ' ' ' 3 ' '■ ' ■ ' 2 " : 3 ' , ••' ; ' ' i > Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x~y X = 2-X 4 và hai tuyến đường r y y V J -!-/) thẳng y = 0,y - 1 là : s = J 0 Sử dụng Casio vói lệnh tính tích phân yqcQ) A a2R3$$p2-f-Q.) A 4R0El- dy Math A [q IX® -2+X 4 1 dx 1.199999964 Vậy s = 2 => đáp SỐ chính xác là A ❖ Bình iuân : • Do cài đặt làm tròn của máy tính của mỗi máy là khác nhau nên ta nhanh nhạy trong việc làm tròn để tìm đáp án đúng nhất. 199 VD6 -fThi thử lỏp toán thầy Bình lân 2 năm 2017] 2 Tính diện tích s quy hoạnh hình phắng số lượng giới hạn bởi Elip có phương trình X 2 = A. n B. 3 n c. ụ 5 D.ụ 3 Giải > Ta có: X 2 + ~~ = 1 o X 2 = ỉ * = ±Jì ~~ => Hai hàm số x = ~, . '9 9 ; 9 ‘ ^ 1 rr A 7 ị-'. ^ oAv, 4-^ ^ nAU.. , 1 y Ly > Diện tích hình phăng số lượng giới hạn bời hai đồ thị hàm sổ X = 1 - , x = ^~g và hai đường thẳng y = -3, y = 3 là: 5 : T dy Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqc2slpaQ)dR9Rp3E3= ! '3 —3 Mith À dx 9.424777961 Vậy 5 = 9.4247... = 37Ĩ => đáp số đúng là B ❖ Bình luận: ~ JV. 4. Elip nhưng chưa đề cập đẹn công thức tính diện tích s quy hoạnh của Elip và việc sử dụng tích : vời. VD7-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giói hạn bởi những cạnh AB,CD đường trung bình MN của mảnh đất nền hình chữ nhật ABCD và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết AB = 2 x(m), AD = 2 (m) . Tính diện tích s quy hoạnh đất phần còn sót lại (đon vị tính m 2 ) Ả. 4/r-l c. 4;r~2 B. 4(tt - ì) D. 4tt-3 Giải B M c > Diện tích hình chữ nhật ABCD là: Sị ~ AB.CD = 47r(n7 2 > Hình sin có biên độ ±1 và chu kì 2 n nên có phương trình là: y-sỉnx Gắn hình trên lên trục tọa độ Oxy vơi gốc tọa độ o là giao điểm của đồ thị hình sin với trục hoành MN ỉt Ta có diện tích s quy hoạnh hình mầu đen bên phải trục hoành là: S 2 = j|sin x-0ịc/x = 2 0 200 qw4yqcjQ))p0R0EqK= □ Mith Ả I sỉ n c X 5-0 2 > Diện tích cân tìm = s - 2S : = 4/r - 4 đáp số đúng là B •> Bình luăn : Nểu đề bài thay đổi thành AD = 4 như vậy biên độ hình sin là ±2 vậy sẽ có phương trình là y = 2sỉn X VD8-[Đê minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] Cho hình thang cong (/-/) số lượng giới hạn bởi những đường y = ey = 0,x = 0 và A' = ỉn 4 . Đường thẳng x = k (0< k < In 4) chia (/-/) thành hai phần có diện tích s quy hoạnh Sị,S 2 như hình vẽ bên. Tìm k để Sị = 2S 2 A. k =Ậln 4 B. k = In 2 3 c. k = ln~ D. k - In 3 3 Giải > Gọi 5 là diện tích s quy hoạnh hình (//) ta có s = Ị |e’ ■-oịdx = 3 yqcQK A Q.)R0Eh4)= (3 Math A Jỉ nt4> le x ldx «■ > Vì Sị = 2S 2 mà tổng diện tích s quy hoạnh là 3 => Sị = 2 => Ị|e ,v ịdx = 2. Thử những đáp án ta có k - ln3 yqcQK A Q.)R0Eh3)= (3 Ms.th ▲ íỉ nt8, l« x l*« _ 2 => Đáp số đúng là D VP9 -fĐề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2022] Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng lOm. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí đầu tư đế trồng hoa là 100.000 đồng 1/77 2 . Hòi ông An cân bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Sổ tiền làm tròn đến Hàng trăm). A. 7.862.000 B. 7.653.000 c.7.128.000 D. 7.826.000 Giải > Xét hệ tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình Ẻlip viền khu vưòn là 201 & ^ x 2 Xét phần đồ thị Elip nằm phía trên trục hoành có y = 5y1 - > Diện tích s của dải đất cũng chính bằng 2 lần phần hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị y ~ f(x), trục hòành, đường thẳng x =-4, đường thẳng x-4 T T '■■■ y.': 4 •• !' ỵ-ị/. ; •• •h • •• % =>5 = 2 f 5. 1-4--0£SỄ*r = 76.5389182 1 , V 64 - 2yqc5slpaQ)dR64Rp4E4= 0 . Mith Á 76.5289182 => SỐ tiền cần là 100.0005’ 0100000 = Ons-100000 0 Math Jl 7652891.82 Đáp số đúng là B BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải l -[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội íân 1 năm 2017] Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường cong y- X 2 , đường thẳng y-2-x và trục hoành trong miền .X > 0 bằng: Bải 2 ~nrhi thử chuyên Vị Thanh “ Hậu Giang năm 2022] Tính diện tích s quy hoạnh hình phắng giói hạn bởi những đường y-x 2 +x- và y = X 4 + Jt- Bải 3 -ĨĐề cương chuyên KHTN Tp Hà Nội Thủ Đô năm 2022] Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đồ thị hàm số y = ịx 2 + 1| và y~x + 3 bằng: : 4 ^ ^ • 3. 3 3 . , ■ Ị Bài 4-[Thi thư nhỗm toán Đoàn Trí bủng lằn 3 nắm 2017] Tính diện tích s quy hoạnh hình phẳng giói hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 v và đồ thị hàm số y = 3-x và trục tung 2 ln 2 D. 2 + - Bải 5 -[Đoàn Quỳnh-Sách bài tập trắc nghiệm toán 12] Biết diện tích s quy hoạnh s của hình phẳng giói hạn bởi những đường y ~ In .V, y = 0, X = -, x-e hoàn toàn có thể được viết dưới dạng s = ~ j. Tìm xác định sai: A. ơ 2 -3ữ'+2- 0 B. a 2 - o- 2-0 c ơ 2 +3a~4 = 0 D. 2a 2 -3a-2 = 0 202 Bải 6 -[Đầ cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bời đồ thị hàm số (p): y = x 2 -2x + 2 và những tiêp tuyến với (p) đi qua những điếm /í(2:-2) là: A * 3 B. — c. 1® D. 40 3 3 Bải 7 -ÍThi thử THPT Lương Thế Vinh - Tp Hà Nội Thủ Đô lần 1 năm 2022) Diện tích hình phắng số lượng giới hạn bởi đường cong y = 2fcĩx [a> 0), trục hoành và đường thằng x-a bằng ka 2 . Tính giá trị của tham số k A. k = - B. k = - c.k = 12 D. k = - LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài 1. x = ỉ X = -2 . Tuy nhiên đề bài yêu cầu tính » Phương trình hoành độ giao điểm X 2 = 2 - X <=> diện tích trên miền X > 0 => Ta tính diện tích hình phẳng trên miền [0;ỉ] => Cận thứ nhất X = 0, cận thứ hai X = 1 . 0 Diện tích cân tính là: s = £ Ị X 2 ~~ ( 2 - X )| dx = ^ yqcQ)dp(2pQ))R0El= 0 Math A ... b< £ -C2-X) Idx o 6 B Chủ ý : Nếu đề bài không yêư cầu tính diện tích s quy hoạnh hình phẳng trên miên x>0 thì ta tính trên toàn bộ miền [~2;0]. Ta có: s = Ị jx 2 “ (2 - x)ịdx = — Nếu đề bài yêu cầu tính diện tích s quy hoạnh hình phẳng trên miên A*<0 thì ta tính trên miên [—2;0]. Ta có: s = £’Ịx 2 -(2 - x)clx = J Các e học viên để ý quan tâm điều này vì rất dễ gây ra nhâm lân. Bài 2. ■ Phương trình hoành độ giao điểm X 2 + X -1 = A 4 + X - 1 <=> X A - X 2 - 0 <=> A 2 ( A 2 -1) Ta có cận thứ nhất X = -1, cận thíí hai 0, cận thứ ba X = 1 ■ Diện tích cân tính là: s = J ( J(x 2 +x - l)”(x 4 + x~l)|ứfx + J 0 |(x : + x~ỉ)-(x 4 +x-l)|í/x=: yqc(Q.)d+Q.)pl)p(Q.) A 4$+Q.)pl)RplE0$+yqc(Q.)d+Q.)pl)p(Q.) A 4+Q.)pl)R0El- 0 H&th Ả l(X 2 +X-l)-Òt> X = 0 X = 1 . x = —1 => Đáp sổ đúng là C ■ Chủ ỷ : Em nào hiểu phép biến hóa tính diện tích s quy hoạnh thì có thê bâm máy theo công thức 203 s = J x 2 -x‘ i ịdx + £|.r -x 4 ịdx sẽ rút gọn được thao tác bấm máy. Bải 3. ■ Phương trình hoành độ giao điểm X 2 +1 = x + 3 o X 2 +1 = x + 3 o X 2 - x - 2 = 0 (1). ■ Diện tích cần tính là: S = J 2 J x2+1 |"(H + 3 )|^* = -” yqcQ)d+lpqcQ)$p3Rp2E2 s = . _ B Math Ạ J! 2 lx 2 + 1 -1X1-3 ft> 20 3 => Đáp số đúng là B Chủ ỷ : Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối X 2 - 1*1 - 2 = 0 hoàn toàn có thể giải bằng Casio thay vì chia khoảng chừng để phá dấu giá trị tuyệt đối. Q.)dpqcQ)$p2qrp5= X 2 -1X1-2 x= L-R= Math -2 0 qr5= y2. 1X1-2 Mãth x= L-R= Ta tìm được hai nghiệm x = ~2;x = 2 2 0 Bài 4. ■ Đề bài cho trục tung có phương trinh 5 = 0 nen cận thư nhất lằ X = 0 7 ' • Phương trình hoành độ giao điểm. 2 X = 3 - X . Ị> JC== 1 là nghiệm duy nhất => cận thứ! I hai X = 1 ■ Diện tích cần tính là: s = £|2’ v ~(3 -x)ịdx- 1.0573 yqc2 A Q.)$p(3pQ))R0El- a Mith A Ỉ2 x -(3-X)Idx 1.0573Ũ4959 :=> Đáp SỐ đúng là A 1 Chủ ỷ : Để giải phương trình 2 v = 3~x ta hoàn toàn có thể sử dụng máy tính Casio 2 A Q.)$Qr3pQ)qrl= 2 : ’ =3-X x= L-R= Math 1 0 204 Ta nhận được nghiệm A* = 1. Tuy nhiên vi sao X - 1 lại ìà nghiệm duy nhât thì xem lại ở bài "Sử dụng Casio tìm nghiệm phương trình mũ" Bài 5 . ■ Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi y = ínjc, y = 0, * = -, x-e là: iS = J|ỉnjC“0|cử = 1.2642... e 1 2 Chỉ có phương trình ở câu c không chứa nghiệm này => đáp án c là đáp án đúng chuẩn ■ Chủ ỷ : Bài này sẽ không cần dùng đến kiến thức và kỹ năng của tích phân vẫn hoàn toàn có thể làm được. Đề bài yêu cầu tim đáp án mà số a không thỏa mãn => a không phải nghiệm chung của những phương trình. Mà nghiệm chưng của những phương trình là 2 nên đáp số c không thóa mãn. Bải 6 . ■ Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( 2;-2) ta thu được Tiếp tuyến thứ nhất y = ~2x + 2 vơi tiếp điểm z?(0;2) Tiếp tuyến thứ hai y = ÓA' - 14 vói tiếp điểm C(4;I0) Ta hỉểu hình phẳng cần tính diện tích s quy hoạnh là phân đường cong có 3 đỉnh A J3,C ta thu được ba cận là: X = 0;x = 2;jt - 4 =>s = jj(x 2 ~2x + 2)“(-2x + 2)|cfr + J|(x 2 - 2x+ 2)-(óx~ 14)|cừ = -^- yqc(Q.)dp2Q)+2)p(p2Q)+2)R0E2$+yqc(Q.)dp2Q)+2)p(6Q)pl4)R2E4= a Ệ Math Á. Jồ I CX z -2X+2)-<-> 16 3 => Đáp số đúng là c ■ Chủ ỷ : Để biết được tiếp tuyến tại sao lại là y = -2x + 2;y = 6x -14 thì xem lại bài Casio tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm sổ. Giải thích công thức (1); Trên miền xe[0;2] ta thấy hai cận này được hình thành bởi hai tuyến đường cong y = x 2 - 2x + 2;y = - 2x + 2 nên diện tích s quy hoạnh phải được tính theo công thức 2 ịị(x 2 -2x + 2)-(-2x + 2)ịdx 0 205 Bải 7 . B Xét phương trình hoành độ giao điểm của đương cong và trục hoành: l4ỡx = 0 <=> X = 0 Ta được cận thứ nhất x~0 và cận thứ hai x-a. Khi đó diện tích s quy hoạnh hình phẳng là: s = J| 2 /ãx - o|íử Ịịl^Iãx-O^x ■ Thiết lập quan hệ ịị2yfãx — = ka 2 <=>£ = —-——Chọn giá trị dương a bất kì ví 0 a dụ «-3 khi đó k= tị|2%/ĩx — OpY = 1.33(3) = Y al R9$Oy2s3Q)ROE3= Ra một kết quả khác 0 vậy đáp án A sai 0 Màth A 1.333333333 => Đáp số đúng là B 4 Chủ v : Dù ta chọn giá trị dương a bất kì thì đáp số k đều ra Ỷ ví dụ ta chọn ứ -1.125 Khi đó k = -j—jt—1 |27ĨTĨ25Ĩ-o|tfe = 1.33(3) = J al RI. 125d$y2sl. 125Q)R0E1.125= 1. J_'1. 125 1252 J 0 Mãth A 2-ỉỹ 1.333333333 CASIO TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHÔI TRÒN XOAY 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Dạng 1: Thể tích vật thế có diện tích s quy hoạnh thiết diện 5(4 tạo bởi mặt phẳng vuông góc vói Ox tại điểm có hoành độ X ( a Hình phăng được số lượng giới hạn bới trục tung => cận thứ nhất là: X = 0 Trục hoành có phương trình y = 0. Xét phương trình hoành độ giao điểm cúa đường cong y = 2(x-)e* và trục hoành :=> 2(x~])e y =Qo x = 1. Vậy cận thứ 2 là: X = 1 > Thể tích V = n j|(2( - ] )ư' )" - o 2 dx 0 Sừ dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(2(Q.)pl)QK A Q.)$)dR0El = (2 M*th À 7.505441089 rr>F =: 7.5054... = 7ĩ{ Vậy ta chọn đáp án D ❖ Cách tham khảo : Tự luận ■ Thế tích V -7rỊ ( 2 (.Ỵ ~ 1) e x ) 2 - o 2 cừ = 4n J (.V -1 ) 2 e x cừ 0 0 ■ Vì biểu thức dưới dấu tích phân có dạng í/(a*).v'(jt) nên ta sử dụng tích phân từng phần. Tuy nhiên làm dạng này rất mất thời gian. Tác giả khuyến khích bạn đọc làm theo Casio, dành thời gian cho việc tư duy xây dựng công thức để bấm máy. ❖ Bình luân : ❖ Qua ví dụ đầu tiên ta đã và đang thấy ngay sức mạnh mẽ và tự tin của Casio khi xử lý những bài tích phân, những bài ứng dụng tích phân so với cách làm tự luận truyền thống. VP2 TThi thử Group Nhóm toán lần 3 năm 2022] ỉ Tính thể tích khổítròn xóay sinh rạ khi quay hình phẳng được giói hạn bởi những dồ thị hàm số y = 0 quanh trục Ox Gỉảỉ > Hàm thứ nhất: y = yj ~~ X 2 , hàm thứ hai: y - 0 Giải phương trình hoành độ giao điểm -1 1 => Cận thứ nhất: X = - ỉ, cận thứ hai: X = 1 207 Sử dụng máy tính Casio vơi lệnh tính tích phân qKy qcl pQ)dRpl El® □ Math A > Vậy ta chọn đáp án D ỵS3-[Thi Ệử chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa lần 2 năm 2017] Cho D là miền hình phẳng số lượng giới hạn bởi y = Vsin x;y = 0;JC =■();JC = —. Khi D quay quanh ộx tạo thành một khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoáy thu được Ịà: I ..1. :;.C; . Giải > Hàm thứ nhất: y = Vsinx , hàm thứ hai: y = 0 Cận thứ nhất: X = 0, cận thứ hai: X — 2 £ > Thể tích F = ;rj" ỊVsin -0 2 úử 0 Sừ dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qw4qKyqcjQ))R0EaqKR2= □ Math A Jĩ 0 IsinGO Idx n =>V = 7T > Vậy ta chọn đáp án B VD4-[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng số lượng giới hạn -:- ỊTv '•V •••••' : V ' ! p ... ;•:£ í u ••£ ^ V vC : Ị bởi đồ thị hàm số * = - và những đường thẳng y = 0;y- Ị A. 2tt . c. -~ 7 C 2 D. ịn > Hàm thứ nhất X- hàm thứ hai: x = 0 y 2 + l Cận thứ nhất y = 0, cận thứ hai y - 1 1 ( pr- Ỵ > Thể tích v = n -(0 ý dy { V + 1 0 V y ) Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(as2Q)RQ)d+l$)dR0El= 208 1 * •i ■“ S Ị 1 0 % K ^ +1 J 1 ĩk ịn 'V -~-7ĩ 2 > Vậy ta chọn đáp án c VD5 “[Sách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thế tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng giói hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x - X 2 và những đường thắng y = 0 ,y “ 2 : A. 1« B. c. Ix D. ịĩĩ 3 3 5.5 Giải y Xét V = 2.V - X 2 (x - 1 y = 1 - y Vì (x -l) 2 > 0 o 1 - y > 0 o y < 1 Khi đó .V - I = ±yj "~y <=> X = I ± V hàm thứ nlìất có dạng X = 1 + yj - y , hàm thứ hai: X = I ~ - y > Phương trình hoành độ giao điếm ỉ 4- ựỉ -y = 1 - J - y c=> ựl - y = 0 <=> y = 1 Vì y < I cận thứ nhất X = 0 và cận thứ hai V = 1 1 _ > Thể tích v = nị[+ yj-yỴ -{2-yj-yỴ dy Sử dụng máy tinh Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(l+slpQ)$)dp('lpslpQ)$)dROEl= s Math A jiJỒ I C1+/T = 50 2 -||*- 8.37758041 => V = 8.3775... = ịĩT 2 3 > Vậy ta chọn đáp án B VD6 ~ÍSách bài tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng số lượng giới hạn bởi hình tròn trụ tròn tâm /(2;0) bán kính R = 1: L . Ạ. 4 7Ĩ . B. 47T 2 c. 5tĩ D, 5 7Ĩ 2 Giải > Hàm thứ nhất là đùng tròn tâm /(2;0) bán kínlì R = I có phưong trình (x - 2) 2 + [y - o) 2 = 1 <=> (x - 2) 2 = 1 - y 2 Vì (x-l) 2 >0<^l-y 2 >0o-l X = 2 ± ựl - y 2 hàm thứ nhất có dạng X = 2 4- yị - y 2 , hàm thứ hai: X = 2 - yj - y 2 > Phương trình hoành độ giao điểm 2 + ựl - y 2 - 2- Ạ - ỷ Ci> yj ~ y 2 = 0o y = 1 Cận thứ nhất y = - cận thứ hai y = 1 209 > Thể tích V = 7t j|Ị2 + yj -ý- j" - ị2-y]-y 2 y dy Sử dụng máy tính Casio vói lệnh tính tích phân qKyqc(2+slpQ)d$)đp(2pslpQ)d$)đRplEl= 0 Mãth Á. 39.4784176 I3> F = 39.4784... = 4x 2 > Vậy ta chọn đáp án A VD7 -[Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 3 năm 2017] __^__ ^ _ t I Tính thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = l, biết rằng thiêt diện! ; của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông gỏc với trục Ox tại điểm có hoành độ X (0 < X < 1) là một tam giác đều có cạnh là 4jln(l + x) I A. 4V3(21n2-~l) B. 4V3 (2In 2 + ỉ) c. 8v3 (2ln 2-1) D. 16^(2ln2-1) Giải > Thiết diện của vật thế và mặt phẳng vuông góc vói trục Ox là tam giác đều có diện j3Í4jn( + x)) 2 tích s = s(x) = —-L = 4V31n(ì-fx) > Diện tích s = s(x) là một hàm liên tục trên [0;]] nên thể tích vật thể cần tìm được tính theo công thưc V = J 4V3 ln(ì + x)ố/x - 2.7673... = 4>/ĩ(2ỉn2~l) y4s3$hl+Q.))R0El= Ta chọn đáp án A Jq 4 5 B. V < 2 C. V > 4 D. K <3 Bải 6 -Cho hình phang (5*) giai hạn bởi những đường y = 2x-x 2 (c) , trục tung. Khi quay hình (£) quanh trục Oy sẽ tạo thành vật thể tròn xoay hoàn toàn có thể tích là bao nhiêu? I A'V = ll b. v =^- c. v= x 2— D.y=~ 2 4 4 3 Bải 7 -Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn trụ tâm / (2; 1 ) bán kính /? = 1 quay quanh trục Oy A, y = 4 71 B. V = ^ 7 T c.v= l -^f- D. V = 4 Tí 2 2 2 Bải 8 -[Bải 29 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -, x = ì . Biết rằng thiêt diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc vớì trục Ox tại điểm có hoành độ X (“ 1 < X < 1 ) mÂị T n 1 nr 1 o . /ĩ 1 -” là một hình vuông vắn có cạnh là 2 Vĩ 17 «9 A. B. c. 16 D. 5 Bài 9 -[Bải 30 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tinh thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng * = 0, x = 7Ĩ. Biêt rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ (o < A' < x) là một tam giác đều có cạnh là 2Vsin X A. 7ĨỈ3 B. 2 7ĩyJj c. Vĩ D. 2 V 3 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải ĩ . ■ Đường cong thứ nhất y = f(x) = x 2 / đường thứ hai là trục hoành có phưcmg trinh y = g(x)^0 211 H Hình phẳng giói hạn bởi đường cong thứ nhâ't y-x 2 , trục hoành y = 0 và hai tuyến đường thẳng X = ;x = 2 hoàn toàn có thể tích là V = |/ 2 (x) - g 2 (x)|tử = 7rỊ' |(x 2 ) 2 - o 2 dx qKyqc(Q.)d)dp0dRlE2= 0 _ Math Á Tjj;i(x 2 r-o 2 idx .. ' ¥* Đáp số đúng là c Chủ ỷ : Chủ ỷ công thức tính thể tích có Tí và cỏ bình phương của f 2 (x), g 2 (*). Rất; nhiều hoe sinh thường_quen nlyững ỵếudanậỵ so yứỉ^cong thửptừih diện tíA Bải 2 .V ■ Hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đường thứ nhất có phưong trình y = /(x) = (2 -x)ể? 2 và đường thứ hai là trục hoành có phưong trình y = g(x) = 0. Hình phẳng được số lượng giới hạn bởi trục tung nên có cận thứ nhất x~0 . Xét phưong trình hoành độ giao điểm đường X cong y = f (x) và trục hoành: (2 - x)e^ = 0 o X = 2 => Cận thứ hai là * = 2 ■ Thể tích cần tìm là: V = nị 2 ịf 2 ị^x)- g 2 (xỷịdx = 7ĩị ị(2- x)e"- -0 2 dx = 15.0108... = /r (le 2 -ìo) qKyqc((2pQ))QK A aQ)R2$$)dR0E2- h|q I l(2-X)e^J > 15.01088218 Đáp số đúng là c 0 MÃth À pai đ' ___ _ _________________ : ....■ ■ Hàrq thứ nhất y = f (x) = sinJC, hàm thử hai (của trục Ox ) là y- 0. Cận thứ nhất x = 0, cận thứ hai x~7t. ■ tích ẹầrv tim F |/ 2 (*) “ ? 2 ĩỹịl |(sin x ) 2 ^0 2 !<& -4.9348... =~ __qw4qKyqcjQ))dR0EqK= _ ■ 2..2.2--. I,^.2 ,1,21..,2. 22::.:22l . .2.- 2.2. ■.l22r .2.2.1T..T.2.JT22 z::2Ì 0 MÃth À jị|q IsỉrìCX ) 2 Idx 4.934802201 => Đáp số đúng là B ■ Chủ ỷ : Để tính tích phân hàm lượng giác ta cần chuyển máy tính về chể độ Radian qw4 Bải 4 . X = 0 ’ , ■ Phương trình hoành độ giao điểm 2x~ X 2 =0 <^> =>“c!ận thứ nhất X = 0 cận thứ hai x~2 212 Ta được cận thứ nhất A* = 0 và cận thứ hai x = a. Khi đó diện tích s quy hoạnh hình phẳng là: s = J|2/ãv - oỊí/v ■ Tính thế tích V = (.v) - g 2 (.v)|í& = ;zp|(2.v - 2) : - 0 : |cừ = -p7T qKyqc(2Q)pQ))od)dROE2= 2 . . Math À l jp I (2X-X ỉ ) ji idx Un Mà V ~7ĩ 4* ] , b Cỉ , . 16 í/ 1 _ . , . _ > — + 1 = 7-7=>-7~~=>í/ = 1;/; = 15 b 15 /7 15 Đáp SỐ đúng là A Bài 5. Hình phẳng (H) số lượng giới hạn bởi đường thứ nhất x~f(y) = ịjỹ và đường thứ hai (trục tung) : X = 0 . Cận thứ nhất y = 1 và cận thứ hai y~ 2. Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy : 2 2r , 1 y = ĩĩ ị[.f 2 (y)-g 2 {x)ỳy =q ° 2 í I IL í/y = 4.099... > 4 qKy qc(q A 3$Q)$)dpORl E2= 0 Math À I C s Jx) 2 -o!dK 4.099405388 => Đáp số chính xác là c Q Chủ ỷ : Để tính thể tích hình phẳng xoay quanh trục Oy thì phải chuyển phưong trình đường cong về dạng X = / (y) và X = g (y ) Bải 6. ■ Xét y = 2x-x 2 <=> (x-l) 2 = 1 -y <=> x = +Ặ^(AO) v . _ : ,_1 ' vói y < 1. Đường cong (c) chia làm X = 1 -Ặ^ỹ(AB) 2 nhánh. Phưong trình tung độ giao điểm hai nhánh: ỉ + yj-y = 1 - Ậ- y o Ậ-y = 0 o y = 1 ® Theo công thức tính thể tích vật thế tròn xoay khi quay quanh trục Oy : y = 4ít 1 + >/ĩ"-ỹ ) 2 - 0 - VKv ) 2 Ịộ' = 8.3775... = ^ 01- J 3 qKyqc(l+slpQ)$)dp(lpslpQ)$)dROEl= 213 1 0 s M&th A ki+ypx) 2 -^ 8.37758041 Đáp SỐ chính xác là D Theo công thức tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh trục Oy : V = 2?rj (2 + ựr/) 2 -(2-ựĩ^7) 2 dy = 39.4784... = 4jr 2 0 L 2qKyqc(2+slpQ)d$)dp(2pslpQ)d$)dR0El= 0 Math A 2jiJỒ I (2 + ỉĩ-ĨF) ? b 39.4784176 =» Đáp số chính xác là A Bải 8 . ■ Thiết diện của vật thể tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là hình vuông . => Diện tích thiết diện s = s ( x) = 4 (l - X 2 ) . ■ Vì hàm 5 = s (x) liên tục trên [- 1 ; 1 ] nên vật thể có thê’ tích là: V = j 4Ị1 - X 2 y* = n I y4(lpQ)d)RplEl= 0 Math Ả 16 3 :z> Đáp số chửìh xác là c Bải 9 . _ . .... .. ; ;■ Thiết diện của vật thể tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là tam giác đều => Diện tích thiết diện s = s(x) -— -————- V 3 sìnx. • Vì hàm s = s(x) liên tục trên [0; n nên vật thể có thể tích là: V = I yỊĨ sin xdx = y qw4ys3$jQ))R0EqK= 214 Math A => Đáp SỐ chính xác là D rp/3sinG0dx 3.464101615 T. CASIO TÌM NHANH QUÃNG ĐƯỜNG VẬT CHUYỂN ĐỘNG BIẾN ĐÔI 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Quãng đường đi được của một vật: Một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian, V = /(/) trong khoảng thời gian từ 4 đến /, thì quãng đường vật đi được là: f it 2) CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM VPl TCâu 24 Đề minh họa BGD-ĐT lần 1 năm 2017] Một ô tô đang chạy vói vận tốc 10 m f s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyễh động chậm dần đều với vận tốc v(/) = “5/ +10 (m / s) trong đó t là khoảng chừng thơi gian tính bằng giây, Tính từ lúc lúc khởi đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh tói khi dừng hằn, ô tô còn di tán được bao nhiêu mét? A. 0,2m B. 2 m c. ì Om D. 20m Giải ❖ Cách Ị : CASIO > Ta có quãng đường s(/)=v(/)i. Viphân2 vếtlieo / ta được: S'(t).dt = v(t).dt lị => s(t) là một trong nguyên hàm của v({) ■=> s(() = ị v(/) dt > Khi xe dừng hẳn thì vận tốc tại điếm dừng = 0o0 = “5/ + 10o/=:2 Chọn gốc thời gian 4=0 thì r, — 2 2 Quăngđưcmglà s = J(”5/4-10)^/ 0 Sử dụng máy tính Casio với hiệu suất cao tính tích phân y(p5Q)+10)R0E2= E Math A J|(-5X+I05dx 10 Quãng đường 5 = 10m. Vậy đáp án đúng là c 215 Bình luân : 0 Nhắc lại kiến thức và kỹ năng quan trọng nhất của Tích phân: Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F'(x)= f(x) ® Chính áp dụng kiến thức và kỹ năng trên ta thấy S' = v(t) => s là một nguyên hàm của v(/) =>s{t) = ]v(t)dt VD2 -ÍĐẻ cương chuyẻn KHTN Tp Hà Nội Thủ Đô năm 2022] Lúc 9h sáng, một ô tô khởi đầu xuất phát từ Nhà hát Lớn thành phố Tp Hà Nội Thủ Đô đi Thành; phố Hồ Chí Mhìh. Trong 1 giờ đầu tiên, yì xe đi tròng nội thành nên tốc độ dỉ chụỵênị chưa nhanh, xe ô tô đi vói vận tốc v(/) = 0,5 + 0, l.QQSTĩt (km/phút), trong đó / là thờịỊ gian Tính từ lúc lúc xe ô tô xuất phát được tính bằng đon vị phút. Hội lúc 9/210’ X ỗ tô đi! được quãng đường bao nhiêu/cra? A. 0,7 B. 5 c. 0,3 p. 5,2 Gỉảỉ ❖ Cách 1 : CASIO > Ta có quãng đường s{t)=v(t).t. Vi phân 2 vế theo / ta được S'[t).dt = v(t).dt <^>S'(t) = v(t) =>s(t) là 1 nguyên hàm của v(/) => s(/) = ịv(t)dt /(, > Chọn gốc thời gian lúc 9/2 là / 0 = 0 thì lúc 9h 0' là /j = 10 Quãng đường là ,9 = 1(0.5 + 0.2005^/)^/ 0 Sử dụng máy tính Casio với chức năng tính tích phân qw4y(0.5+0.2kqKQ)))R0E10= s Math A Jq°C0.5+0.2cosC> 5 Quãng đường s = 5 m . Vậy đáp án chính xác là B. ❖ Bình luân : ® Bài toán rất chuẩn mực về phép tính toán, con số ra cũng phản ánh tình trạng tắc xe tồi tệ ở Hà Nội khi 10 ó’ chỉ đi được có 5/77 VD3 -ĨThi thử chuyên Hạ Long - Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Một vật chuyến đọng vói vận tồc thay đoi theo thơỉ gỉain dược tíĩ^ bơi cong -thưq v(/) = 3/ + 2, thời gian được tính theo đon vị giây, quãng đường vật đó di tán được tính theo đon vị m . Biết tại thời điểm / = 2 ( 5 ) thì vật di chuyền đứợc quãng đường làị 1 0 (/ 7 /). Hỏi tại thời điểm / = 30(á’) thì vật di tán được quãng đường dài là bao nhiêu? A. 1410/77 B. 1 140/72 c. 300/72 D. 240/7? Giai ❖ Cách 1 : CASIO > Ta có quãng đường ,S'(/) = v(/)./. Vi phân 2 vế theo / ta được S'{t),dt =v(t).dt = v(/) 216 => s(í) là một trong nguyên hàm của v(/) => ,S’(/) = I v(ỉ)c/ỉ > Chọn thời gian lúc đầu là ị u sau 2 giây thì /, = /, + 2 i it + 2 Quăng đường là 5=1 (3/ + 2)cừ Để tìm ỉ {) ta thiết lập quan hệ I (3/ + 2 )cỉ( = I0(///). Ta Dự kiến ỉ () hoàn toàn có thể là 0; 1; 2... và ta tiến hành thử vói t ữ = 0 Sử dụng máy tính Casio với hiệu suất cao tính tích phân y(3Q)+2)R0E2= s Maith A JpC3X+2)dx 10 Ta thấy kết quả ra 10(/;?) vậy Dự kiến của ta đúng và t ữ = 0 > Quãng đường vật đi được sau 30 giây là: S ] = J (3/ + 2)cừ = J (3/ + 2 )di 0 y(3Q)+2)R0E30= □ Mĩth A 1410 Ta thấy 5, = 1410(/77) và A là đáp án đúng chuẩn ❖ Bình luận : © Mốc thời gian ban đầu không nhất thiết phải bằng 0 tuy nhiên khi sử dụng phép thử để tìm t ữ thì ta luôn ưu tiên / 0 = 0 VD4 4Thi thử chuyên Hạ Long - Quảng Ninh lần 1 năm 2022] Một vận động viên đua Fị đang chạy với vận tốt 10 (w/ổ’) thì anh ta tăng tốc với gia tốc a(t) = 6(/77 ỉ s 2 ) trong đó í là khoảng chừng thời gian tính bằng giây từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10(.v) Tính từ lúc lúc khởi đầu tăng tốc là bao nhiêu? A, ỉ 100/77 B. 400/77 c. 1010/77 D. 1110/77 Giải ❖ Cách 1 : CASIO :> Ta cổ qụẵng đường s(t) = . Vi phân 2 vế theo t ta.được: j là một trong nguyên hàm của v(/) => s(t) = ịv{t)dt . Ị . ' 1 ., ; > Vận tốc của xe v(7j = v 0 + £?(/) => v(/j = 10 + 6/ Chọn gốc thời gian lúc xe khởi đầu tăng tốc là / 0 = 0 vậy tị = / 0 + 10 = 10 217 Quãng đường là s = J(10+ 6t)dt 0 Sử dụng máy tính Casio với hiệu suất cao tính tích phân y(10+6Q))R0E10= 0 Hath A Jồ°(10+650dx 400 Ta thấy kết quả ra 400 (to) vậy B là đáp án đúng chuẩn ♦♦♦ Bình luân : • Ta hoàn toàn có thể giải theo công thức vật lý: s = V 0 1 -I- ~Y~ 10-10 + 6 = 400(m). BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài l -ÍThi thử THPT Lương Thế Vinh - HN lần 2 năm 2022] Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi / = 0 hoạt động và sinh hoạt giải trí với vận tốc v(t)-t(5-í) [mỉ í). Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng hẳn . 125, V „ 125, X n 125, X ^ 125/ X A ’ B - 9 c 3 ” Wí D * 6 w Bải 2 -[Thỉ thử Group nhóm toán Facebook năm 2017] Học sinh lần đầu thừ nghiệm tên lửa tự chế phóng từ mặt đất theo phưong thẳng đứng với vận tốc 15 m Ị s Hỏi sau 2.5ỏ' tên lửa lên đến mức độ cao bao nhiêu? Giả sử bỏ qua sức cán của gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực g = 9.8(/77 / s 2 ) A. 62.25 m B. 6.875/77 c. 68.125m D. 30.625/77 Bải 3 -[Bải 15 trang 153 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Một vật đang chuyên động với vận tốc V = 10(m/Ắ’) thì tăng tốc với tần suất a{t) = 3/ + r (/77 / ). Tính quãng đường vật đi được trong thời gian 10( 5 ) Tính từ lúc lúc bắt đầu tăng tốc A. 996/77 B. 1200 _ c. 1680/77 D. 3600m Bải 4- ÍE)ề cương chuyên KHTN Tp Hà Nội Thủ Đô nặm 2022] I Một vật chuyên động với vận tốc v(f)=2-+ sin 07 (to / s) . Quãiog đường di tán i của vật đó trong khoảng chừng thời gian 1,5 giây đúng chuẩn đến 0,01 (to) là: A. 0 , 32 ot B. 0, 3 3to c. 0,34m D . 0 ,35w Bải 5 [Thi thử nhà sách Lovebook lân 1 năm 2017] Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi hịt ) là thể tích nước bơm được sau í giây. Cho h'(t) = 3at 2 +bt với a,b là những tham số. Ban đầu bể không còn nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 15 0m'” / sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 11 OOto 3 . Tính thể tích nước trong bê’ sau khi bơm được 20 giây. A. 8400 to 3 B. 2200 to 5 c. 600 ot 3 D. 4200m J 218 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1. ■ Thời điểm / 0 = 0 vật ờ trạng thái nghi. Tại thời điểm /, (/, > / 0 ) vật dùng lại hẳn khi đó v(/) = 0 o/,(5-/,) = 0o/ l =5 ■ Vận tốc là một hàm biến thiên theo thời gian, đồng thời v(/) liên tục trên miền [0;5] ^ Quãng đường vật di tán tử trạng thái nghi đến khi dừng hăn là: 'v{t)dl=]l(5-l)dl = ^ Ị n 0 k yQ)(5pQ))R0E5= Math À. X(5-K)dX => D là đáp án đúng chuẩn Chủ ỷ : Vận tốc của vật theo thời điểm nếu màn biểu diễn trên trục tọa độ Oxy sẽ là một Parabol. Dựa vào đó nếu đề bài yêu cầu tìm thời điểm để vật có vận tốc lơn nhất thì ta nhờ vào tọa độ đỉnh của Parabol suy ra t = “ và vận tốc lớn số 1 vật hoàn toàn có thể đạt được là / 5 VI - Bải 2. 25 (m Ị s) Phương trình vận tốc theo thời gian v(/) = v 0 + gt = 5-9.8 í Vì hàm v(/) liên tục trên miền [0;2.5] nên quãng đường vật di tán từ thòi điếm 'ì 25 / 0 =0 đến thòi điểm /, =2.5(.v) được từÚT theo công thức: s = ịv[t)dt = I (15-9.8/)^ “ 6 . 875 (/ 77 ) fị t 0 y(15p9.8Q))R0E2.5=n í 2.5 JO 0 Mlth A C15-9.8X)dX 6.875 => Nếu chọn thì chọn đáp án B Chủ ỷ : Nếu xét theo phân loại dạng vật lý thì đây là dạng bài chuyển động thẳng đứng Bải 3 . ■ Ta có vận tốc v(/) = v 0 + at = 10 + (3/ và v(/) là một hàm biến thiên theo thời gian và liên tục trên R => Quãng đLrờng vật di chuyển từ thời điểm t Q = 0 đến thời điểm lị 10 /j = 10 được tính theo công thức s = s(t) = j v{í)dt = J(l0 + ^3/ + t 2 ^t^dí = 966(w) I„ 0 y(10+(3Q)+Q)d)Q))R0E10= => Đáp SỐ chính xác là D □ Math A Jq Ci C1Ũ + (3X+X 2 )>Ì > 3600 219 Chủ ỷ : Ta phải nhớ rõ công thức v(t)-v 0 +ơí vói a = 3/ + r tránh nhầm lẫn at =3í + í 2 => v(t) = 10 + 3/ + í 2 là sai Bải 4 , Ị" Vận tốc v(/) là một hàm biên thiên theo thời gian => Quãng đường vật di chuyển từ lúc bắt đầu tơi thời điểm 1,5 giây là : í v(t)dt = jf+ dt = 03A s) (sau khi ' ị: . o 2ỹr n :) làm tròn) qw4y (a lR2qK$+ajqKQ))RqK$)R0El .5= C$)R0E1.5= 0 Math Á r 1 • 5 r 1 si ntnx y Jo 71 p Ũ„3400535983 c là đáp án chính xác Bải 5. ai + - = 150 ■ h'(t) là một hàm biến thiên theo thời gian và liên tục trên R => Thể tích nước bơm /dt r/ ( ht 2 ■ Tại thời điểm t x = 5 giây thì V -ị[3at 2 + bt)dt - 150(w 3 ) <=> ~' 3 ' 0 ' o 2Sa + 12.5Ò = 150 a Tại thời điểm/, =10 giây thì V = ị{3ơt 2 + bt)dt = 1100(/?T) <; 0 <=> 1000ứ + 506 = 1100 [ , A ■ ■.. ~" ’’ ÍĨ25 a + ĨJb = 150. ■ Giải hệ phương trình < _ F . jl000a + 506 = 1100 w51125=12.5-150-1000-50-1100= 0 MitíìT x= Y= < , bt" ơt 3 +~~ = 1100 s Maith À 20 Vậy tại thời điểm r, = 20 thì thể tích V - j (3 1 2 4- 2 t"jdt = 8400 A là đáp án chính xác 0 y(3Q)d+2Q))R0E20= 0 Math A Jg 0 (3X 2 +2X)dx Ũj 8400 220 T.CASIO GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO I) KIẾN THỨC NỀN TÀNG /1 1. Kỹ thuật ép hệ phương trình: Cho hệ thức ịf (x)dx = f (aj),c), muốn tìm Cỉ,b,c thỏa ư p mãn hệ thức h{ajc) = /;/. Ta sẽ tính giá trị tích phân J f(x)dx = rồi lưu vào A . (1 L _ , . , „ . . . , f(a,b,c)~A Vạy ta sẽ ép được hệ phương trình ] ' . Đê giải hệ phương trình này ta sẽ sử ựi(a,bx‘) = m dụng hiệu suất cao dò nghiệm SHIFT SOLVE hoặc hiệu suất cao lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio (Xem ví dụ minh họa ì , 2, 3, 4, 5, 6) 2. Kỹ thuật ép cận nguyên hàm: Cho nguyên hàm gốc ịf(x)dx và nguyên hàm hệ quả ịj ( w (0)^ c ỉ ua prìép đổi biến x = u(t). Đế sử dụng được máy tính Casio ta ép thông số cho nguyên hàm gốc đê trờ thành tích phân xác định J f(x)ẩX. Vì nguyên hàm gốc và a ([ //■ nguyên hàm hệ quả là tương đương nên f(x)dx = ị f{u(t))dx (aj3 'là 2 cận mói) ư a‘ (Xem ví dụ minh họa 7,8,9) II) VÍ DỤ MINH HỌA VDl-[Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017] dx Biết J-jỶ~ = ứln2 + òln3 + cln5 vói a,b,c là những số nguyên. Tính S-ci + b + c ■Ị X 4- X A. s = 6 B. 5 = 2 .C. 5 = “2 D. 5 = 0 Giải A 1» cịỵ > Tính tích phân —— và lưu vào biến A ị X + X yalRQ)d+Q.)R3E4- qjz f4 s Mitlì Ả H_Ị_ r iy Ans*A J 3 __ 0.06453852114 0 Math A 0.06453852114 > Khi đó ^ = ứfln2 + èin3 + cln5<=>^ = ln(2".3 4 .5‘)<=>2“.3*.5‘ =e A = 16 15 QK A Qz= Ê 0 Math A 16 15 221 Dễ thấy Ịị = = 2 4 .3-'.5-' = 2“.3*.5‘- => a = 4;b = -l;c = -1 => 5 = 2 7 15 3.5 => Đáp số đúng là B VD2 -ĨTống hợp tích phân chống Casio - Internet 2022] Cho / = IIn(* + 1 )dx = a ln 3 + /> In 2 + c (a,b,ceZ). Tính giá trị của biểu thức A = a + b + c A. 0 B. 1 c. 2 Đ. 3 Giai > Tính giá trị tích phân I = Jln (x + )dx rồi lưu giá trị này vào biến A t yhQ)+l)R!E2=q]z (2 Matli A 13 Math A Jjlntx+lidx Ans * A _ 0.9095425049 0.9095 4250 49 > Khi đó úln3 + /dn2 + c = d es ln(3“.2V ) = In e A es3".2V = ẹ A 3‘‘.2* Để lính được 3“.2* ta sử dụng hiệu suất cao MODF, 7 vói hàm fự) = y.2" =y w7aQK A QzRQK A Q.)=p9=l 0=1= 0 K _ FÍKĨ -3 M9n ini -ạ j1» Ịmb -1 mW£ s Ma.th FCÕ I 6.75 Quan sát màn hình hiển thị xem giá trị nào của / {XỊ (cũng là của y ,2 b ) là số hữu ti thì nhận Dễ thấy với X = c = -1 thì y.2 1 ' = 6.75 = — = 32 2 => a = 3 b = -2 Tóm lại a + b + c = 3-2-1= 0 =^> Đáp án A là đáp án đúng chuẩn VD3 -fTổng hợp tích phân chống Casio - Internet 2022] £ Cho / = Ị sin *- g —= c s "" sin y QK A jQ))$j2Q))R0EaqKR2= Q. Mã.th À ge sintX) sin(2> 2 > Nêu đáp án A đúng thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài £ và cùng bằng 2. Tính / = jV .I.dt yQK A Q.)$Q.)R0EaqKR2= _ 0 Màth À Jq Ê*Xdx 3.745802819 Kết quả ra một số trong những khác 2 => Đáp số A sai j> Tương tự như vậy với đáp số c thì 1= 2j"e' .t.dt-2 Ị 2 yQ)QK A Q.)R0El= 0 MathA 2j>*dx . 2 => Đáp án.c là đáp án đúng chuẩn Chủ ỷ : Đổi cận thì phải đổi biến :=> Dễ dàng loại được đáp án A và D 225 VD8 ~[Trích đề thi ĐH khối D năm 2011] ì 4x — I ^ ^ A Sử dụng phương pháp đổi biến đưa tích phân / = J ~ ~ dx thanh tích phân 0 V 2x +14-2 5 j/( t)dt . Khi đó /(/) là hàm nào trong những hàm số sau? 2í 2 -3 „ ■ (2í 2 -8t + 3)(f + 2) Ị 1 A. /(‘)~ 11 /(■)- — ; • 9f 2_o (2t 2 -8í + 3)(t + 2) ^ ỉ( ‘ h ỂỂ °- /(,) ~ ... * —_ ; Giải 4jc-1 4 > Tính giá trị tích phân I = í r _ -- 6 F J ũ9 /2jc + I +2 ya4Q)pl Rs2Q)+l$+2R0E4= í/jc í Msth À 4K-i J 0 -VSK-Ị-1+2 6,225077096 2,2 __ o 5 2/2_3 .V, > Nếu đáp án A đúng thì /(/)= - và giá trị tích phân / = J-^—-í/í = 6.2250... điều / 4-2 3 / 4 " 2 này là sai vi /= f ——“dt = 9.6923... 7 J /4-2 ya2Q)dp3RQ)+2R3E5= 0 Math A f! z s 2 ^ 3 dx J 3 X+2 UK 9.682361183 Kết quả ra một số trong những khác 2 Đáp số A sai > Tương tự như vậy với đáp số B đúng chuẩn ya(2Q)dp8Q)+5)(Q.)p2)RQ)R3E5” ỹ (nZM>7* t ___... 3 __ 6. 22507 709 6 .. 1 VD9 ~Nếu sử dụng phương pháp đổi bỉêh tim nguyên hàm, ta đặt t = yỊĨ+ĩnx thì nguyêrỊ ; hàm của j dx co dạng: A. j3/ 3 (/ 3 -l)t// B. ựự-)dt C. ịựự+)dt Đ.ựẹ+)dt Giải > Để hoàn toàn có thể sử dụng máy tính Casio ta phải tiến hành chọn cận để đưa nguyên hàm (tích phân bất định) trở thành tích phân (tích phân xác định) Ta chọn hai cận là một trong và e 1 . Tính giá trị tích phân ỷlnxVl + ln^^ = 43.1785... ahQ))Oq A 3$l+hQ))RQ)Rl EQK A 7= 1 X 226 G3 Mith À Ể ' 7 1 n < K 2 X ~-Ị 1 +1 n ^ 43.17857143 > Khi tiến hành đổi biến thì ta phải đổi cận: ' = /l + ỉnl =1 Nếu đáp án A đúng : í LI yu ưlIUf VMil* I . ■■ *. im.u uwu UI ỈX 1 U = e 7 =>/ = VĨTb3 7 = 2 2 thì giá trị tích phân ở câu A phải giống giá trị tích phân ở đề bài. Tính ỉ = J3/ 3 (/’ - ỉ)ể/j i yQK A Q.)$Q.)R0EaqKR2= 0 Miti, A e x Xdíí 3.745802819 Kết quả ra một số trong những khác 2 => Đáp số A sai Tương tự như vậy vói đáp số c thì / = 2 J e J.dí = 2 y3Q) A 3$(Q.) A 3$pl)RlE2=n 0 Math Á ?3X 3 (X 3 -l)dx 43.17(857142) => Đáp án A là đáp án đúng chuẩn Chủ ỷ : Ta hoàn toàn có thể chọn cận nào thì cũng khá được không nhất thiết phải là một trong và e 1 (chỉ việc thỏa mãn tập xác định của hàm số là được) Ví dụ 3: Nếu f(x) = cỉx 2 +bx + cjy/ 2x- là một nguyên hàm của hàm số /A �x 2 -lx + 2 . ỵ (] 1 ^ J _, _ f I 1 ' g(xj = — ^ — trên khoang 1 ™;+Q. 0 j thì a + b + c có mức giá trị là: Giải Tự luận: // 2 , , , /r——r' 5ox 2 + (-2ứ + 3ố)x-ố + c 1(br — lx + 2 vv ’ ’ [ĩx- -llx-X í" 1 acìrầ* Ti V 4iH7 TYiinVi nrrViT p-511' Oí& = ~l:=>aT& + c = 2 Casio: Tư duy mình nghĩ như sau: rl(bí 2 -7jt + 2 fc = F(ò)-F(tf) J y > v Nếu giờ ta sẽ chọn X sao cho F(tf) = 0-» JC — 0.5 nhưng các em nhìn giá trị đạo hàm không xác định tại X = 0.5 nên ta sẽ lấy giá trị lân cận 0.5 Chú ý là /(l) = (a + b + c) ->• Chọn b =1 Thì J r 10x 2 - lx + 2 -J2x-Ỉ ÌXKia + b + c 227 Math A Jũ.! > 4_ s Math À 10X2-7X±2 d 5000000000l r ' 001 ^2X-1 17999995529 Chọn đáp án D. Nếu mà đề hỏi 4a + 2b + c thì các em tính tích phân từ 0.5 + Ax -» 2 dx Bài 2 -[Tổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] Cho tích phân (a,b e Q.) Ị^— 7 -e X dx = a.e 2 +b.e (a,b 6 Q.). Tính giá trị củabiêu thức p = a + b 1 x A. P = - B. p = 0.5 c.p = ì D. p = 2 Bài 3 -fTổng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2022] JT Cho tích phân f - CO f 3x + 2coS '^ flĩt = flln2 + z>ln3 + c (a,b,ceZ). Tính p = a + b + c ị 2 + 3sinx-cos2x A. P = -3 ' B. P = -2 c. p = 2 D. P = 1 Bải 4 “[Tống hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] Cho tích phân [ - .~~~~ -- = aln2 + Mn5 + cln11 ( a,b,ceZ ). Tính giá trị của biểu thức r ' 2x 2 + 5jc + 3 p-a+b+c P-a+b+c A. P = 1 A. ỊP = 1__ B. P = -3 _ _G_2_ D. 0 Bải 5 -[Tống hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] 1 Cho tích phần Ị *' = an2 + 6ln3 ■+ c (a,b,ceZ) . l ính giá trị của biểu thức A. F = 3 B. p - —2 Bải 6 ~[Tống hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] 42 d Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t - lx 2 -1 đưa tích phân / = 1 —7= thành tích phân nào sau đây? dt „ c dt Ị2 Mý 2 1 s + 1 B - ? 42 + 1 c í dt £ ■(^0 D. í £ 228 Bài 7 -fTống hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2022] Nếu sử dựng phương pháp đổi biến với ẩn phụ /=l + 3cos* đưa nguyên hàm / = ^y 2x + S] 2^-d thành nguyên hàm nào sau đây? J Vũ3 cosjc & y J A r —2/ 2 —) I Ị — 2r — I „ r —2/ — 1 ^ 1 f—2/ —1 . A. — 7 =— clt B. 7 r - d' c. r—dt D. 7 - •— dt J 77 9 J 77 J 77 9J 77 Bài 8 -[Tô’ng hợp tích phân chống Casio - Nguồn Internet 2017] Nếu sừ dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t = 1 r 3 cos X đưa nguyên hàm rsin 2x + sinx , ._, ,,_,_ 1 - 1 . — ax thành nguyên hàm nào sau đây? V1 + 3cos.v . f-2r-1. D 1 r-2/ 2 -1 . _ C-2/-1. _ 1 c-2 r-1. A. =—dt B. 7 ———dt c. —Ị= dt D. - V dt J 77 9 J 77 J 77 9 1 77 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 . /T B Tính giá trị tích phân Itan 2 xdx rồi lưu vào biến A 0 qw4ylQ))dR0EaqKR4=qJz (3 Mữth À 13 Math A _ 0tan(X) 2 dx Ans * ft Ũ.2146018366 0.2146018366 I a + bn-A 5 o a = 1.7334... không phải là số a+h=~ ! 4 • Ị hữu tỉ => Đáp số A sai w511=qK=Qz=l=l=5P4= ta MathT x= 1.733471103 Ị a + bn = A a = 1 Tương tự như vậy vói đáp án B ta có hệ phương trình <Ị 3 a + ò = - ịb = 2 4 số đúng chuẩn =$$R3P4= B là đáp x= ta Mii.thv Y= 13 Math Ả 4 Bải 2 . ■ Tính giá trị tích phân 0-^ặ-e*dx rồi lưu vào biến A , X 229 yalpQ)RQ)d$QK A Q.)RlE2=qJz 0 Msth Ả Ịĩ^ứx ■ -0.976246221 Ans+A 0 Math À Với đáp số A ta có hệ phương trình w51 QKd=QK=Qz=l=l =0.5= 0 MathT -0.976246221 e 2 +z>c = d ítf = “0.5 a + z> - 0.5 => +sim:;t •a+ạcpsítt) . 0 Math Ả Ấ I 1 ~ 2 jỊ ~ 1 rjv 9.14 -ĨK Uỉ ' 1.259259259 Đáp số đúng là D Chủ ỷ : Chọn cận thế nào thì cũng khá được tuy nhiên nên lựa chọn cận X sao cho í đẹp. HINH TỌA Độ TRONG KHÔNG GIAN T. CASIO XÁC ĐỊNH NHANH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐÔI CỦA ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng ■ Cho hai tuyến đường thẳng d và í/' có hai vecto chỉ phương ĩij và uj, và có hai điểm M,M' thuộc hai tuyến đường thẳng trên. B đHd' nếu líị = k IỈJ> và có không còn điểm chung ■ d 3 d' nếu u 'j = kltj. và có một điểm chung ■ d cắt d ' nếukhông song song ĩĩ tỊ , vãMM'ịií in u ir j = 0 ■ d chéod' nếu W/ không song song Uj, và MM'ịiỉ. Ị ại J ,-ị* 0 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng “ Cho đường thẳng d và mặt phẳng (p) có vecto chỉ phương Uj và vecto pháp tuyến ÌĨỊ, " dll(p) nếu u ử J_ n r và không còn điếm chung ■ d =(p) nếu /í ’ • /í' và có điếtn chung 3 Lệnh Caso H Lệnh đăng nhập môi trường tự nhiên thiên nhiên vecto MODE 8 ■ Nhập thông số vecto MODE 8 11 0 Tính tích vô vị trí hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB ■ Tính tích được bố trí theo vị trí hướng của hai vecto : vectoA X vectoB 232 ■ Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP ■ Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP ■ Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 ■ Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VDl -[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên ĩân 3 năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz đường thẳng = — li = £ii và đường thẳng ự 2 := 2LLl - £Ip 4 Vị trí tưong đối của dị,d 2 là: A. Cắt nhau B. Song song c. Chéo nhau D. Vuông góc > Ta thấy U IÌ (2;l;-3) không tỉ lệỉĩ” (2;2;-l) =>(£/,),(£/.,) không song song hoặc trùng nhau > Lấy A/j (-1;l;-l) thuộc dị, lấy M 2 (-3;-2;~2) thuộc d 2 ta được 2;-3;-l) Xét tích hỗn tạp J bằng máy tính Casio theo tiến trình: Nhập thông số những vecto M,M 2 , Ii dị Ạỉ d vào những vecto A, vecto B, vecto c w811p2=p3=pl=w8212=l=p3=w8312=2^1= -1 Tính M M 2 Wq53q57(q540q55)= VCĨ 0 VctA-(VctBxVctC) 0 Ta thây MịM 2 ịii th ;z/^ J = 0 => hai tuyến đường thằng (dị ),(d 2 ) đồng phẳng nên chúng cắt nhau => Đáp số đúng là A VD2 -[Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 4 năm 2017] [ Trong khong giãn vói hệ tọa độ Õxyz > vị trí tương đối của hai đường thẳng = 1 + 2r X = 7 + 3/77 ==-2-3/ và d' « y = -2 + 2/77 = 5 + 4/ z = 1 - 2/77 j A. Chéo nhau B. cắt nhau c. Song song D. Trùng nhau Giảĩ > Ta có hai vecto chỉ phưomg i/J(2;-3;4) và U (Ị , (3;2;-2) không tỉ lệ vói nhau Không song song hoặc trùng nhau ==> Đáp án c và D là sai 233 > Chọn hai điểm l;-2;5) thuộc d và M'(7;-2;]) thuộc Tính A/,A/ 2 [w (/| ] Wq53q57(q540q55)= VCTS VctA-(VctBxVctC) -64 Ị Ta thấy A/.A/, hí i( ;w ií; j 64/0 => hai tuyến đường thẳng (í/),"(ữ'j khổng đồng phang nên chúng chéo nhau => Đáp số đúng là A ___ 2 _ ; _____ 1 VD3 -fĐẽ minh họa bộ GD-ĐT ĩân 2 năm 2022] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng = ■—■==—Y và mặt phẳng (?): 3x “ 3y + 2z 4- 6 = 0 . Mệnh đề nào dưới đây đứng? A. d cắt và không vuông góc với (?) B. d 1 (?) c. d song song với (p) D. d nằm trong (?) GỈCIỈ > Ta có u d (l;-3;-l) và n r (3;—3;2). Nhập hai vecto này vào máy tính Casio w8111=p3=pl s =w8213=p3=2= VCI ta ■ VCT 0 ; ___ __ . , = -1 ^ _ ___ 2 __ ; > Xét tỉ ch vô hương u d .n v =10 ^>u d không vuông góc vói n r z=ỳd 9 (p) không thể song song hoặc trùng nhau =^> Đáp số đúng chỉ hoàn toàn có thể là A hoặc B L_ JL 9- -■ (3 VctA-VctB 10 > Lại thấy Uj, n v không song song vói nhau => d không thể vuông góc vói (?) => Đáp số B sai Vậy đáp án đúng chuẩn làA 234 VD4 -fCâu 63 Sách bài tập hình học nâng cao trang 132] Xét vị trí tương đối của đường thăng d:-~— = ^—- = —— và đường thăng 8 2 3 (a):x + 2y-4z+ 1 =0 A. ả cắt và không vuông góc vói (p) B. d 1 (?) c. d song song vói(p) D. d nằm trong ( p ) Giải > Ta có Uj (8;2;3) và /7/.(l;2;-4). Nhập hai vecto này vào máy tính Casio w8118=2=3=w8211=2=p4= VCTB VCTB 3 -4 > Xét tích vô hướng = 0 => ỉ/ f/ vuông góc vói n,, =>d,(p) chỉ có thế song song hoặc trùng nhau ==> Đáp số đúng chỉ hoàn toàn có thể là c hoặc D Wq53q57q54“ VCTE VctA-VctB 0 > Lấy một điếm M bất kì thuộc d ví dụ như A/(9;l;3) ta thấy M cũng thuộc (a) :^> d và (ư) có điếm chung => d thuộc (a) Vậy đáp án đúng là D VD5 -fThi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2022] Tìm 777 để mặt phẳng (p):2x-my + 3z-6 +m = 0 song song vói mặt phẳng (ọ) : (/77 + 3)* - ly + (5/7? +1)z - ì0 = 0 9 : A. 772 = 1 B./ 77 *l c. /77 = --D. Không tồn tại m Giải > Ta có hai vecto pháp tuyến n r (2:-m,3) và Ì 1 Q. (/77 + 3;—2;5/77 +1) Để (/>)//(£>) <=> «7 = k.ìỊ o -2— = vr— = k (1) /77 + 3 -2 5/77 + 1 > Với 777 = 1 ta có k = 2 thỏa (1) Thử lại ta thấy hai mặt phẳng có dạng ị(p):2x~-y + 3z~5 = 0 j(0:2*-2y + 6z-io = o Nhận thấy (p) = (0 => Đáp án A sai 9 20 9^' > Với m = —ta có k = — không thỏa mãn (1) => m = không sở hữu và nhận => c và B đều sai 10 21 6 w 10 => Đáp án D là đúng chuẩn 235 VD6 -[Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong không khí với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : X — 1 + 2/ y~ và mặt z--2- 3t phẳng (p): 2x + y + z “ 2 = 0. Giao điểm M của d và p có tọa độ: A.M(3;l;-5) B.M(2;l;-~7) C.M(4;3;5) D.M(l;0;0) ........ Giải ___ ? _________ > Điểm M thuộc d nên có tọa độ M(l + 2/; \-2 -2t) . Điềm M cũng thuộc mặt phẳng (p)■■ •■nên' tọa độ điểm M phải thỏa mãn phương trình mặtphẳng (p) o 2(1 + 2/) 4 1 -f (-2 - 3 /) - 2 = 0 ' ; . ^ ; ; > Công việc trên là ta sẽ nhẩm ở trong đầu, để giải bài toán ta dùng máy tính Casio luôn: 2(l+2Q))+l+(p2p3Q))p2qrl« a Hath 2(1+2X)+1+(-2-3 > x=‘ i L-R= 0 Ta tìm được luôn t = 1 vậy X = 14- 2t = 3 => Đáp án đúng là A VP7 -ÍĐẻ minh họa bộ GD-ĐT íân 1 năm 2022] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm ^(l;0;2) và đương thẳng cỉ : -"■ = • Viết phương trình đường thẳng A đi qua A vuông góc và cắt d A x-_y ^ z-2 B X — _y _ z-2 c x~ = y = z-2 p x- _ y = z- 2 ‘111 1 1 -1 ‘221 1 -3 1 Giải > Đường thằng A cắt d tại điểm B . Vì B thuộc d nên có tọa độ £(1 + tự;- 1 + 2t) ; > Ta có: À ld => W A i- Uj <=> - 0 ẢBmị 0 ị Vói AB(+t-;t-0-,~- + 2t-2)wk ^ / (l;l;2), ta có: 'ẠỆm^ = Q. 1 <=> l.(l + / -l) +1(/-0) + 2(-l + 2/ -2) = 0 Đó là việc nhẩm ở trong đầu hoặc viết ra nháp, nhưng nếu dùng máy tính Casio ta sẽ bấm luôn: 10(l+Q.)pl)+10(Q.)pO)+20(pl+2Q)p2)qrl= 3 Matti lx(l+X-l)+lx(ỉỉ-> Ỷ,= 1 L-R= Ta được luôn t = 1 ^(2;l;l) => u ả - i45(l;l;~l) => Đáp án đúng là B. 0 236 VD8 -fCâu 74 Sách bài tập hình học nâng cao 12 năm 2022] Cho hai điểm /í(3;];0), Z?(-9;4;~9) và mặt phẳng (a ): 2x-y + 2 + 1 = 0 . Tìm tọa độ của M trên ( a ) sao cho I MA - MB đạt giá trị lớn số 1. ( , , 5 ì B. M 2:-:-2 _ 3 3 "3 í 5 5 ) C.M 1;-;-- D.w —;3 l 2 1 2 ì l 2 21 u 4 J Giái > Nếu A,BM không thẳng hàng thì ba điểm trên sẽ lập thành một tam giác. Theo bất đằng thức trong tam giác ta có I MA ~ MB < AB Nêu ba điêm trên thẳng hàng thì ta có MA~MB = AB nếu /í, B nằm khác phía với (a) (điêu này đúng). Theo yêu cầu của đề bài thì rõ ràng A'B,M thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng AB và (a) '* = 3-12 í > Tacó: AB:ịy = +3i => A/(3-12/;l + 3/;-9/) z = “9/ Tìm í bằng máy tírdì Casio: 2(3pl2Q))p(l+3Q))+p9Q)+lqrl== 0 Mxth 2 c3-12X)-(1+3X )> ĩ.=l 071666666667 L-R= ỏ Ta được / = — => => Đáp án đúng là c BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải l -[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong không khí vói hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng và mặt phẳng (ư): 2x -f 4y + 6z + 2022 = 0. Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. d//(a) B. d cắt nhưng không vuông góc vói (a) c. d -L(ư) D. d nằm trên (a) Bải 2 “[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu - Bình Định lần 1 năiri 2017] x = ] +t fjc.= 2+/' Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho d:ịy = 2-t và d':ịy f:-t' . Vị trí tương [z = —2-2/ [z — 1 đối của hai đường thẳng là: A. Chéo nhau.B. cật nhau c. Song so ng D. Trùng nhạụ Bài 3 -[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017] Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng A có phương trình: ~~Ỵ~ = ~~ = ——- Xét mặt phẳng với m là tham sổ thực. Tìm tất cả những giá trị của m để mặt phẳng ( p) vuông góc với đường thẳng ủ A.w = -2 B.m = 2 c.m = ~5 2 D.w = 52 237 Bài 4 -ÍThi thử THPT Phan Chu Trinh - Phú Yên lần 1 năm 2022] X — 1 4- 2t Cho mặt phẳng (p): X - 3y 4- z = 0 và đường thẳng A :< y = 2-1 . (p) và A căt nhau tại z = -1 4 -1 điểm có tọa độ A.(l;2;-1) B.(0;-l;3) C.(-l;3;-2) D. (3;1;0) Bài 5 -[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu - Bình Định lần 1 năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm /4(1;0;0), £(0;2;0), c(0;0;3) và x--t đường thẳng d:ịy = 2 + 1 . Cao độ giao điểm của d và mặt phẳng (ABC) là: z = 3 +1 A.3 B.6 C.9 D.-6 Bài 6 -ỈThi thử THPT Vĩnh Châ n - Phú Th ọ l ần 1 năm 2022] ị Trong không giãn vói hệ tọa độ Oxyzcko hai mặt phắng (p):m + 7y-6z + 4 = 0 l (Q.):ĩx + my-2z-7 = 0 song song với nhau. Khi đó giá trị m,n thỏamãnlà: 7 _ 7 3 7 A.m = B.m = 9 ,« = ” c.w?=“,w = 9 D. m = ^-,n = 9 L .3 . .3 . 7 . '.. 3 . LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài 1 , * Nhập vecto chỉ phương Uj (l;2;3) và vecto pháp tuyến n a (2;4;6) vào máy tinh Casio w811 l=2=3=w8212=4=6= VC10 vcta 3 6 ■ Tính tích vô hướng u]Jĩ o = 28 0 => không vuông góc n a => d và (a) không thể song song và không thể trùng nhau Wq53q57q54= VCTB Vct.A- VctB ■ Lại thấy ti lệ ;-= 7=7 11"» =>d ±(a) 2 4 6 Vậy đáp sốđúrih xác là c _ _ .. _ Bài 2 . « Vì Xét hai vecto chí phương wJ(l;-1;-2) và mJ( 1;-1;0) không ti lệ với nhau =>Hai đường thẳng d và d' không thể song song hoặc trùng nhau => Đáp án c và D loại ■ Lấy hai điểm thuộc hai tuyến đường thẳng là M(l;2;-2)và M’(2;l;l). Nhập ba vecto vào casio w8112pl=lp2=lp(p2)=w85211=pl=p2=w8311=pl=0= 238 VCĨ0 VCT0 c ' [ -2 0 Xét tích hỗn tạp = 0 Wq53q.oq57(q54Ọq55)= VCT 0 Vctft-CVctBxVctC) 0 =>d,d' đồng phẳng (nằm trên cùng một mặt phẳng) => d cắt d' Đáp án chính xác là B Bải 3 . H Ta có vecto chỉ phương w~(5;l;l) và vecto pháp tuyến /7/, (10;2;/77) ■ Để mặt phẳng (?) 1A thì n r tỉ lệ với ũ ầ (song song hoặc trùng nhau) 10 2 /7? => - 7 - = ■— = — => m = 2 5 1 1 Vậy đáp số chính xác là B Bải 4 ■ Gọi giao điểm là M f vì M thuộc A nên M(l + 2/;2-/;-l + /) ■ Tọa độ M thỏa mãn phưong trình mặt phẳng (?) nên ta có thể sử dụng máy tính Casio tìm luôn ra t wll(l+2Q))p3(2pQ))+(pl+Q))qiT= 0 Màtb Kl+2X)-3(2-X)+> x=‘ 1 L-R= 0 =>t = ^> A/(3;l;0) => Đáp số chính xác là D Bải 5 . . I" Mặt phẳng (ABC) đi qua 3 điểm thuộc 3 trục tọa độ vậy sẽ có phưong trình là: “■ + ~ + 4 = 1<^>6x + 3v + 2z“1 = 0. ị .1 2 _ 3 ...;. ■_._.;..._ ;....__! ■ Gọi giao điểm là M(-/;2+ /;3+/). Sử dụng máy tính Casio tìm t 60(pQ))+30(2+Q))+2(3+Q))p6qrl= 0 Math 6x(-X)+3x(2+X)+> x= 6 L-R= 0 Vậy 2 = 3 + t = 9 => Đáp số chính xác là c 239 Bải 6 . ■ Để 2 mặt phẳng song song vói nhau thì 2 vecto chỉ phương của chúng song sóng hoặc trùng nhau <=>«,, (h; 7; ~6) tỉ lệ vói n Q {y,m-ì) ^ = —J = £ , 7 ■ Ta thu được tỉ lệ k = 3 từ đó suy ra n = 9m = — => Đáp số chính xác là D T. CASIO XÁC ĐỊNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN OXYZ I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG. 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phang. ■ Cho điểm Mịx Q iỵ 0 ;z Q ) và mặt phẳng (p): Ax + By + Cz + D = ọ thì khq, ảng cách từ điểm ư ; i ,• V T : A ! -1 X . , [Ầxx+.By 0 + G Z 0 + D 1 M đến mi ặt phang (p) được tính theo cong thức dyM{P) 1 = - -r-ị== B 2 +c 2 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. ■ Cho điểm Mịx 0 ;ỵ 0 ;z 0 ) và đường thẳng d : - — = — —— = -—— thì khoảng cách từ a b c 2|[MV;«]| điểm M đến đường thẳng d được tính theo công thức d ( Md ) - —1 —pp—- u 3. Trong số đó u(a;b;c) là vecto chỉ phương của d và N(x N ',y N z N ) là một điểm thuộc d Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Cho hai tuyến đường thẳng chéo nhau = zựk = £ZliL và d ',ĨI^ = ZzlML a b c a' b c thì khoảng chừng cách giữa 2 đường chéo nhau này được tính theo công thức sau: d{d;d') = MN. > u ,r] p ~a u A Trong số đó u(.a;b;cj ĩạ vecto chỉ phương của d vấ ) ĩạ một điểm thuộc d u{a'b'c') là vecto chỉ phương của d và M ’( X M ,; >' ¥ .;;) là một điếm thuộc d' 4. Lệnh Casio. ■ Lệnh đăng nhập môi trường tự nhiên thiên nhiên vecto MODE 8 * Nhập thông số vecto MODE 811 * Tính tích vô vị trí hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB ■ Tính tích được bố trí theo vị trí hướng của hai vecto : vectoA X vectoB H Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP ■ Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP ■ Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 ■ Lệnh dò nghiệm của phưong trình SHIFT SOLVE 240 II) ví DỤ MINH HỌA VDl -ÍĐề minh họa Bộ GD-ĐT lần 1 năm 2022] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (p):ĩ.x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm /4(l:-2;3). Tính khoáng cách từ điếm A đến mặt phẳng (/*) A .cl = - B.í/ = - 29 Q..d-- JĨ9 D. c! = Giải > Ta nhớ công thức tính khoảng chừng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): > Áp dựng cho điểm >1(1;—2:3) và (/■'):ix + 4y + 2z + 4 = 0 ta sử dụng máy tính đểbấm 5 n/29 luôn: clịM-(P)) = y J JĨ9 SỈ29 aqc301+40(p2)+203+4Rs3d+4d+2d= kMi A _ '/32+42+22 5-429 29 Đáp số đúng là c VD2 TThi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 20171 Tìm m để khoảng chừng cách từ T(l;2;3) đến mặt phẳng (p) :;t + 3y + 4z + m = 0 bằng >/26 A. m = 7 B. m = 18 c. m = 20 D. m = -45 Giải > Thiết lập phương trình khoảng chừng cách : í/(T;(P)) = - >/26 VT+2 2 +3 2 |l. 1 + 3.2 + 4.4 + m r— o I - 7 ======= —““>/26 = 0 4^+2 + 3 2 (việc nàỵ ta chỉ làm ờ trong đầu) > Để tính khoảng chừng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập vế trái của phương trình vào rồi sử dụng hiệu suất cao SHIFT SOLVE. +4dỉỉ>it>psZbqrl= ã".— ■/72+32+42" Maith 7 L-R= 0 Ta thu được kết quả m-1 => Đáp số đúng là A VD3~[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh năm 2017] X _ y + _z + 2 và mặt Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: Y= 2 phẳng (p): X + ly - 2z + 3 = 0. M là vấn đề có hoành độ âm thuộc d sao cho khoảng chừng cách từ M đến (p) bằng 2. Tọa độ điểm M là: A. M(-2;3;l) B. M(-l; 5 ;~ 7 ) c. M(- 2 ;-5; -8) D. M(-l;-3;-5) 241 Giai > Ta biêt điểm M thuộc ( cỉ ) nên có tọa độ M( 1 +/;-! + 2/;-2 + 3/) fx = / (biết được điều này sau khi chuyển ả về dạng tham số cỉ : < y ~-l + 2/ z — —2 + 3/ > Thiết lập phương trình khoảng chừng cách: ả = 2 yz = -z + 31 |/ + 2(-l + 2/)-2(-2 + 3/) + 3|_, ựl 2 +2 2 +(-2) 2 Nghĩ được tới đây thì ta hoàn toàn có thể sử dựng Casio để tính rồi. Ta bấm ngắn gọn như sau qcQ)+2(pl+2Q))p2(p2+3Q))+3R3$p2qrp5= .ạ „ . .Mựh 18114-.% 4. 8 4—1 I * 4- % h 3 k x= -1 L-R= 0 Khi đó t - -1 => X = -1; y = “3 Đáp số đúng là D VD4 -[Đề minh họa Bộ GD-ĐT năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( s ) có tâm /(2;1;1;) và mặt phăng (P):2x + y + 2z + 2 = Q.. Biết mặt phẳng (p) cắt mặt cấu (s) theo giao tuyến là một đường tròn bán kính bằng 1. Viết p hươ n g t rình mặt cầu (s ). A. (jc + 2) 2 +(.v + l) 2 + 0 +1) 2 = 8 B. (x + 2) 2 + (.v + 1) 2 + ịz + lf = 10 I c. (V - 2) 2 + (y - 1) 2 + (z -1 ) 2 = 8 D.(x-2) 2 +(;'-1) 2 +(z-1) 2 = 10 Giải > Mặt cầu (x-af +(y-b) 2 +{z ~-c) 2 = R 2 sẽ có tâm I(a;b;c). Vì mặt cầu ( s ) có tâm /(2;l;l) nên nó chỉ hoàn toàn có thể là đáp án c hoặc D. > Ta hiểu: Mặt phẳng (p) cắt mặt cầu ( s ) theo một giao tuyến là đường tròn bán kính r = 1 sẽ thỏa mãn tính chất R 2 = tí + r với h là khoảng chừng cách từ tâm I tới mặt phẳng. Tính tâm R 2 bằng Casio. (aqc202+101+201+2Rs2d+ld+2d$$)d+ld= í I 2X2+1X Ị+2'X ỉii ị l J2 2 +l 2 +2 2 _ 10 Ấ 2 =10 => Đáp số đúng là D VD5 -[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 3 năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Tính khoảng chừng cách từ điểm M (—2; 1;—1) tới d A.f W:ìả:.- B. c. s D. 5ýã 242 Gỉàỉ > Nhắc lại: Đường thẳng ả có vecto chi phương u đ { 1;2;-2) và đi qua điểm jV(l;2;-2) K t ■ ... . . , , ; , ■ . \muĩ có tầm khoảng chừng cách từ M đến d tính theo công thức: d(M;d) - "“ ■■■ " ■ p..- ; w ^ Để tính khoảng chừng cách trên bằng Casio đầu tiên ta nhập hai vecto MN,Uj vào máy tính. w8111 p(p2)=2pl=p2ppl=w821 l=2=p2= VCĨH VCTQ Ị 2 p] -2 > Tính d(M,d) - 2.357022604 -- Wqcq530q54) Pqcq 54)= 5n/2 VCTB Abs(VctÀxVctB)*> 2.357022604 ^ Đáp số đúng là D VDỗ -ÍThi thử bảo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2022] Trong không khí với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: X = 2 + / y - 1 + mí và mặt cầu z = "2t (S): X 2 + y' +z“ ~2x. + 6y-4z + 13 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (5) tại hai điểm phân biệt? A. 5 B. 3 C.2 D.l Giai > Mặt cầu (s):(x~) 2 +(y + 3) 2 +(r -2) 2 = 1 có tâm /(l;-3;2) bán kính R -1 Đường thẳng d đi qua A/(2;ỉ;0) và có vecto chỉ phương u(\m-2) Ta hiểu: Đường thẳng d cắt mặt cầu (s) tại 2 điểm phân biệt nếu khoảng chừng cách từ tâm - 1<0 [ỈM: r*-s - .. yj{% —2mý + 0 : + (4- 2nịý J (8- 2nìf +0' + (4 - 2mf u 1 ^ I w IV- + „f+(-2) 2 +W 2 +(-2) 2 > Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phương trình: w7as(8p2Q))d+(4pQ))dRsQ)d+5$$pl=p9=10=l= 0 . Màtti 1» FÍK> K 12 HHWfỹ 0. 4901 IE E -0.30 ỉ 13 3 -0.402 in -0.081 14 4 “ĩ IB 2 mm o:õieì Math 8 Đáp án chính xác là A 243 ỵnZ-ÍThi thủ báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong kh(?)ng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d< y = x+mt và mặt cầu (s ): V 2 yy 2 + z 2 - 2x + 6y - 4z +13 = 0 . cỏ bao nhiêu giá trị nguyễn của m để ả cắt ịs) tại hai điểm phân biệt? _ A. 5 ;.. ; B. 3. . c. 2 ..D. 1 . Gỉảỉ > Mặt cầu (S):(jf-l) 2 +(y + 3) 2 + (z-2) 2 =1 có tâm 7(1;— 3;2) bán kính = 1 Đường thẳng d đi qua M(2; 1;o) và có vecto chỉ phưong w(l;w;-2) Ta hiểu: Đường thẳng d cắt mặt cầu (s) tại 2 diêm phân biệt nếu khoảng chừng cách từ tâm ỉ (của mặt cầu (5)) đến đường thẳng d nhỏ hon bán kính R (của mặt cầu (s)) ỈM;ưj yj(s~~2m) 2 +Q. 2 +(4™2m) 2 J Ậs~2mf + o 2 + (4-2mf | z/ | yỊ] 2 + m 2 +'(- 2 )" + m 2 + (- 2 ) > Để giải bài toán ta dùng máy tính Casio với tính năng MODE 7 dò nghiệm của bất phưong trình: w7as(8p2Q))d+(4pQ))dRsQ)d+5$$pl=^p9=10=l= E Mith . H Mstth /(8~2m) 2 +0 2 +(4-2m) 2 E Ẹ ũ.Mabi 3 “D.3nậ 4 -1 0 . Mith F(KJ Ẹ -□=|gi 1 -ObÕẸỊÌ [T 0b QĨẼ1 Ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của m là -3; “4;-5;-6;-7 => Đáp án chính xác làA VD8 -[Câu 68 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho đường thang d đi qiĩã điem Ảf(0;0;ĩ) / co vecto chỉ phương í(l;l;3) và mặt phẳng ' (a) có phương trình 2x + y-z + 5 = 0. Tính khoảng chừng cách giữa d và (a) > Ta thấy : uJTp = 1.2 4-1.1 4- 3.(-1) = 0 => d chỉ hoàn toàn có thể song song hoặc trùng vói (a) > Khi đó khoảng chừng cách giữa d và (ư) là khoảng chừng cách từ bất kì 1 điểm M thuộc d đên (a) Ta bấm: aqc0+0pl+5Rs2d+ld+2d= lạaã “* ■?2 2 + l 2 +2 2 4 3 => Đáp án đúng là B VD9 -[Câu 92 Sách bài tập hình học nâng cao 12] ịx=3 + t Trong không khí Oxyz cho đường thẳng ầ:y=- + 2t . Gọi A' là giao tuyến của 2 mặt 244 phẳng :(/'): x-3y + z = 0 và (0: -V + y-z + 4 = 0. Tính khoảng chừng cách giữa A,A' 12 JĨ5 B. 25 v/ĩĩ c. 20 V2Ĩ D. 16 VĨ5 Gỉái > Đường thẳng A' cỏ vecto chỉ phương I? = /7,*;J = (2;2;4) w8i 11 =p3=l =w8211 =1 -p 1 =Wq530q54= VCĨ0 Và A r đi qua điểm M'(0;2;6) Đường thẳng A có vecto chi phương ỉi(l;2;0) và đi qua điểm Ả/(3;-l;4) > Ta hiểu: khoảng chừng cách giữa hai tuyến đường thẳng chỉ tồn tại khi chúng song song hoặc chéo nhau Kiểm tra sự đồng phắng cúa 2 đưòng thẳng trên bằng tích hỗn tạp MM'ịinu'~ị Nhập ba vecto MMu s u' vào may tính Casio w81 Ip3“3“2=w821 l=2=0=w8312=2=4= VCTE vua H £* 2 0 Vữa [ 2 2 nBĨ] 4 Xét tích hỗn tạp MM '|^w; u 'J = -40 ^0 => A, À' chéo nhau > Tính độ dài hai tuyến đường thẳng chéo nhau A,A' ta có công thức: 20 = 4.3640.. = -4— w qcp40)Pqcq54Oq55)= AbsC-40)™Hbs(Vc> 4.364357805 Đáp án đúng là c VD9 ‘[Câu 25 Sách bài tập hình học nâng cao 12] Cho hai tuyến đường thẳng d: - = = và d ': 1 = ỉ-~- . Khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng d,d' là: ị A.WĨ. c.ị D.2^3 Giải > Đường thẳng d có vecto chỉ phương u = (l;2;2) và đi qua điểm M(2;-l;-3) 245 Đường thẳng d'đ i qua điếm Dễ thấy hai tuyến đường thẳng d,d' song song vói nhau nên khoảng chừng cách từ d' đến d đó đó là khoảng chừng cách từ điểm M' (thuộc d' ) đến d . Gọi khoảng chừng cách cần tìm là h ta có: w81 lpl=2-2=w821 l=2=2=Wqcq530q54)Pqcq54)= Abs(VctftxVctB)+> Đáp án đúng là B VPlO -ĨCâu 26 Sách bài tập hình học nâng cao 12] 'x = 2 + t fx = 2-2 V Cho hai tuyến đường thẳng d:< y-~t và d':< y = 3 . Mặt phẳng cách đều hai tuyến đường z~2t Z-V thẳng d và d' có phương trình: A. x + 5y + 2z +12 = 0 B.x + 5.y-2z + 12 = 0 c. X ~ 5y + 2z -12 = 0 D. X + 5y + 2z -1 2 = 0 Giải Đường thẳng d có vecto chỉ phương u = (l;-l;2) và đi qua điểm M(2;l;0) Đường thẳng d' có vecto chỉ phương u' — (—2;0;I) và đi qua điểm M'( 2;3;0) Dễ thây hai tuyến đường thẳng d,d' cheo nhau nên mặt phẳng (p) cách đều hai tuyến đường thẳng trên khi mặt phẳng đó đi qua trung điểm MM' và song song với cả hai tuyến đường thẳng đó. > Mặt phắng đường thẳng 1 (p) song song với cả hai ch à cập vecto chỉ phương.. ròng thể ing nên nhận veclo chỉ phương của 2 : /■■■ ’ : ' ■ V =>n Ịt =Ị^w;w , ] = (—u—5;—2) / ■ ■ ■ ■ w8111=pl-2=w821p2=0=l=Wq53Oq54= VCTB -1 (p) lại đi qua trung điểm /(2;2;0)của MM' nên (p):x + 5y + 2Z“ 12 = 0 => Đáp án đúng là D Bài l -[Đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017] Trong không khí với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm 7(1;2;-1) và tiếp xúc vói mặt phẳng (p):x-~2y -2z-8 = 0? A. (x + l ) 2 + (j + 2) 2 +(z~l) 2 =3 B. (x-1) 2 + (j-2) 2 +(z + l ) 2 =3 c. (x + ]) 2 +(j + 2) 2 +(z-1) 2 =9 D. (x-1) 2 +(^-~2) 2 +(z + 1) 2 =9 246 Bài 2 -Pĩhi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2022] ịx = + / Tìm điểm M trên đường thẳng d :« y = ~Ị sao cho AM = s vói ^(0;2;-2): z = 2/ A. '(1:1:0) c ' _(-U3:-4) D. Không có M thỏa f(-1;3;-4) Bải 3 ~fThi thử THPT Phan Chu Trinh - Phú Yên lần 1 năm 2022] Cho (p) :2x-y+ z ~777 = 0 và y4(l;l;3). Tìm m để d(A(P)) = V6 m = -3 /77 = 12 Bàỉ 4 -[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lân 2 nảm 2017] Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-2:3'A) và B( 5;”6;-2). Đường MA m - -2 /77 = 3 _ /77 = —2 ■ ■ A. B. c. D. 777 = 4 /77 = “9 /77 = 10 thẳng AB cắt mặt phẳng ( Oxz ) tại điểm M . Tính tỉ sổ A—= - B— -2 C-^ 4 ' MB D.^- = 3 MB MB 2 MB 3 Bải 5 -[Câu 67 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng chừng cách từ điếm M(2;3:-l) đến đường thắng cỉ là giao tuyến của hai mặt - 2z - 1 = 0 và (a '): X + 3 y + 2z + 2 = 0 . phắng (a):j + y • 2Ĩ5 A. B. c. 205 D. 215 VĨ4 24 15 'VĨ5 Bải 6 -ICâu 9 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho A( 1;1;3), £(-l;3;2), c(-l;2;3). Khoáng cách từ gốc tọa độ ỡ đến mặt phẳng (ABC) là: ■Ĩ3 A.y/ĩ B. 3 c. D.I 2 Bải 7 -[Câu 69b Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tính khoảng chừng cách giữa cặp đường thẳng d : và d ’: = Zzl - íil Ạ., B. VĨ27 2 1 386 c. 4 4. _ ;v 3 Bải 8 -[Câu 69c Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] D. Tính khoảng chừng cách giữa cặp đường thẳng d : 2 = - và d ': I y = -1 +1 -4 -2 Sũ x-2-t A. 2^7 B. 4^ c. V26 13 D. z = t ỰỈ4 11 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1. Mặt cầu tiếp xúc vói mặt phẳng (p) khi d(ỉ(p)) = R 247 aqclp4+2p8Rsld+2đ+2d= I1-4+2-5I ^2+22+22 MÃth A 3 d(ỉ;(p)) = 3=> R 2 =9 =>Đáp số chỉ có thểlà c hoặc D B Mà ta lại sở hữu tâm mặt cầu là /(l;2;~l) => (5'): (x~l) 2 + (y-2) 2 + (z + l) 2 =9 Vậy đáp số đúng là D Bải 2, ■ Gọi điểm M thuộ ■ Ta có 'AM = s/6 <=> c í/. lệl có tọa đ = Vó : <=>j ộth( ?o t là M(l+/;l-í;2/) . Sử dụng máy tính Casio tìm t (l+Q.)p0)d+(lpQ)p2)d+(2Q)+2)dp6qr5=qrp5== 0 Math 0 Math (1+XHD) 2 +a -X-2 ► ■ a+X-0 :> 2 + <1 -x-í ► x= 0 x= -2 L-R= 0 L-R= 0 ■ Ta tìm được hai giá trị của / Vói r = 0=>M(l;l;0), vói t = -2 => M(-l;3;-4) => Đáp án đúng là B Bải 3 , ■ Thiết lập phương trình khoảng chừng cách d (rì;(p)) = Vố <=> L ..... —2 . 1 = yfs B Đó là lúc ta nhẩm, nếu vừa nhẩm vừa điền luôn vào máy tính thì làm như sau (để tiết kiệm thời gian) aqc2pl+3pQ)Rs2d+ld+ld H Math + 12+12 12-1+3-:*;! •4*22 +12 + i 2 Math Á ỈS Chi có A hoặc c là đúng r4= 0 Mith A I2-1+3-KI J 2 2+i2 +1 2 Giá trị m = 4 không thỏa mãn vậy đáp án A sai => Đáp án đúng là c 0 248 Bải 4 . ■ Mặt phẳng (o.vr) có phương trình y = 0 ■ Để tính tỉ số ~~ ta sử dụng công thức tỉ số khoảng chừng cách (đã gặp ở chuyên đề hình học không khí) ị Ta có: bất kể hai điểm A,B cung phía hay khác phía so vói (Oxz) I MB d{B{Oxz)) Ta hoàn toàn có thể dùng máy tính Casio tính ngay tỉ số này wl aqc0+3+0Rqc0+p6+0= 0 À I0+6+01 IŨ+-6+ŨI ị 2 Ta hiểu cả hai mẫu số của hai phép tính khoảng chừng cách đều như nhau nên ta triệt tiêu luôn mà không cần cho vào phép tính của Casio => Đáp sổ đúng là A Bải 5 , B d là giao tuyến của hai mặt phằng (a) và («') nên cùng thuộc 2 mặt phang này => vecto chỉ phương u cúa đương thẳng d vuông góc vói cả hai vecto pháp tuyến của 2 mặt phằng trên. => li = ựi u ; ỉĩ ư . J = (8; “4; 2) w8111=1 =p2=w8210=3=2-w q530q54= fuỊ VCT0 B -M Eì 2 ■ Gọi điểm Af(;t;y;0) thuộc đường thẳng d |[Ã^V;w]| 11 Klioảng cách từ điểm M đêh đưòng thẳng d là: /? = - pr 1 = 3.8265... = w8115P2p2=p3P2p3^3ppl=w8218= ::: p4 : =2“Wqcq530q54)Pqcq54)= : Abs c VctAỈVctB) ^ > 3.826598639 => Đáp số đúng là B Bải 6 . ■ Vecto pháp tuyến của {ABC) là n = = (1;2;2) w811p2=2«pl=w821p2*l=0=Wq53Oq54= VCT0 HĨI Ĩ Ỹmsmsm 2 2 ] 1 249 =>(,48C):l(;e--l)-í-2(y-l) + 2(z-3) = 0 <=>Jt-f2y + 3z-9 = 0 ■ Khoảng cách từ o đến mặt phẳng (ABC) là h = = 3 6 v Vl 2 + 2 2 + 2 2 => Đáp số đúng là B Bải 7 . ■ Đưcmg thằng ả đi qúa điểm Af(ũ-3;4) và có vectọ cliỉ phưong (2;l;-2) ~ ~ . 7 Đưòng thẳng d' đi qua điềm Ni ' (-2; 1; -1) và có vecto chi phtmng ( -4; -2 ; 4)_ Dễ thây 2 đường thắng trên song song vói nhau Khoảng cách cần tìm là khoảng chừng . ... >6.5489.,.. M l“l 3 w811p3=4=p5= ; w8212=l ; =p2=Wqcq530q54)Pqcq54)= : AbsíVctA™VctB)+> r>ár i Tn AA ' /7 •LI => Đáp số đúng là D 6.548960901 Bài 8 . ■ Đường thẳng d đi qưa điểm M( 1;2;3) và có vecto chi phương w(l;2;3) Đường thẳng d' đi qưa điểm M'(2;-l;0) và có vecto chỉ phương «’(-l;l;l) Dễ thây 2 đường thẳng trên chéo nhau Khoảng cách cần tìm là MM 'ịu;u' w;w' = 0.3922...: 726 13 w8111=p3=p3==w8211=2 : -3=w831pl : =l= : l=Wqcq53q57(q540q55))Pqcq540q55) : = Abs(VctA-CVctBxi> Đáp số đúng là c 0.3922322703 T. CASIO TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM, MỘT ĐƯỜNG THẲNG I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG. 1. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một mặt phang. ■ Cho điểm M(x 0 ;y ữ ;z ữ ) và mặt phẳng (p): Ax + By + Cz + D = 0 thi hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng(p) là giao điểm của đường thẳng A và mặt phẳng (p) ■ A là đường thẳng qua M và vuông góc vói (ịP) (A nhận n Ịt làm W A ) 2. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một đường thẳng. ■ Cho điểm M(x ữ y-z ữ ) và đường thẳng d ; — - Zz2jt - LZlỉL thì hình chiếu vuông a b c góc của M lên đường thằng d là vấn đề H thuộc d sao cho MH 1 u lf <=> MH.u (l - 0 3. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng đến một mặt phẳng. ■ Cho đường thẳng d và mặt phẳng (p) . Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d đêh mặt phẳng (p) là giao điểm của mặt plìẳng (a) và mặt phẳng (p) ■ (a) là mặt phẳng đi chứa d và vuông góc vói (T) ■ (a) nliận Ii d và n v là cặp vecto chỉ phương ■ (a) chứa mọi điếm nằm trong đường thẳng d 4. Lệnh Caso. a Lệnh đăng nhập môi trường tự nhiên thiên nhiên vecto MODE 8 " Nhập thông SỐ vecto MODE 811 B Tính tích vô vị trí hướng của 2 vecto: vectoA SHIFT 5 7 vectoB ■ Tính tích được bố trí theo vị trí hướng của hai vecto: vectoA X vectoB * Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP H Lệnh tính độ lơn một vecto SHIFT HYP ■ Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 ■ Lệnh dò nghiệm của phương trinh SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1 . ĨThi thử Sở GD-ĐT tỉnh thành phố Hà Tĩnh lần 1 năm 2022] I Cho mặt phẳng (a):3x-2y + z + 6-0 và điểm d(2;~l;0). Hình chiếu vuông góc của A I lên mặt phẳng (ư) có tọa độ I Giải > Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (a) => Đướng thắng AH song song với vecto pháp tuyến n a (3; —2;l) của (a) =>(AH): X = 2 + 3/ z - ỉ => Tọa độ điểm /4(2 + 3/;-!-2/;l+ /) (Phần này ta thuận tiện và đơn giản nhẩm được mà không cần nháp) 251 > Đê’ tìm / ta chỉ cân thiết lập điều kiện A thuọc (a) là xong 3(2+3Q))p2(plp2Q))+Q.)+6qrl= 0 Math 3(2+3X)-2(-1-2X > ĩ=í -1 L-R= 0 =>/ = -!=> (“l;!;-]) => Đáp số đúng là D VD2 . [Thi Hoc sinh gỉoi tmh Phu^ho nam 20171 Tìm tọa độ cúa điểm M ’ đối xứng với điểm Ã/(3; 3; 3) qua mặt phẳng [p):x y + z-~0 Tliliilliillli. Giẳỉ > Tương tự ví dụ 1 ta nhẩm được tọa độ hình chiếu vuông góc H của M lên (p) là M(3 + /;3 + /;3 + /) > Tính t bằng Casio, 3+Q)+3+Q)+3+Q)plqrl= E Math 3+X+3+X+3+X-Ị x= : 2.666666667 L-R= ỏ Ta thư được t = ~=> h( -;ị;ị I 3 3 3 3) > Ví Ấ ’ đối xứng vói M qua H nên H là trung điểm của MM '. Theo quy tắc trung điểm ta suy ra được n aẨLLI) 3 3 ; 3 J 1^3 ; 3 ; 3 j => Đáp SỐ chính xác là c VD3 , [Thi thử THPT Quảng Xương - Thanh Hóa íân 1 năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ ()xỵz, cho đường thẳng d ; ~ và điểm M(l;2;-3). Tọa độ hình chiếu vuông góc cửa diêm M lên đường thẳng d là: A. /7(1; 2;-~l) B. /V(1; “2; — 1) c, //(-1;-2;-1) _ _ Giải > Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d . í* = 3 + / Đường thắng d có phương trinh tham số ị y = “l+/ => Tọa độ //(3 + 2/; —1 +/;1 +2/) 2 = 1 + 2/ MH Ld =>AđHãi d =0 vơi Uj( 2;1;2) > Sử dụng máy tính Casio bấm: 2(3+2Q)pl)+(pl+Q.)p2)+2(l+2Q)pp3)qrl= : 2 c3+2X-1)+c-í+x> x=~ -1 L-R= 0 252 Khi đó / = -l =>/7(l;-2;-l) IZ> Đáp số đúng là B VD4. [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lân 2 năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = £ỉl và điểm A(2:~:). Gọi / là hình chiêu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (c) có tâm / và đi qua A A.x 2 +(y-3) 2 +(z-]) 2 =20 B.x 2 +(y-3) 2 +(z-) 2 =5 c.ịx-]) 2 +(y-2) 2 +(z+]f =20 D.(.r-l) 2 + (j>-2) 2 +(z + l) 2 =14 Giải > Điếm / có tọa độ /(! ~/;2 + /;-l+/) > Thiết lập điều kiện vuông góc <=> ĨẢ.ũ ti = 0 pl(lpQ)p 2 ) + (2+Q.)ppl)+2(pl+2Q)pl)qrl- Q. Ms.th -1(1-X-2)+c 2+X-Ị> X-' 0 L-R= 0 =>/ = 0=>/(l;2;-l) > Với /(1;2;-1) và /í(2;-l;l) ta có : = ỈA 2 = ỊI3| 2 = 14 w8112pl=plp2=lppl=Wqcq53)==d= VCTB => Đáp số đúng là D VD5. [Thi thủ chuyên Khoa học Tự nhiên lân 1 năm 2017] Cho đường thẳng ả : Hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy) là: * II o X 1 4- 2 1 4 = -1+2/ x = ~ +2 1 A.< y = -~t ,y = -l + / c - y= + í D.< y--+t z = 0 z — 0 . z = ° z = 0 Giải > Ta hiếu : Hình chiếu vuông góc d' của d lên mặt phẳng (Oxy) là giao tuyến của mặt phang (ư) chứa d vuông góc với (Oxy) và mặt phẳng (Oxy) > Mặt phẳng (a) chứa d và vuông góc vớỉ (ỚJty)nên nhận vecto chỉ phưong u( 2; 1; 1) của đường thẳng d và vecto pháp tuyến n (hy (0;0;1) là cặp vecto chỉ phưong =>«a = [«,/;%,,] = 0;-2;O) w8112=1=1 =w8210=0=l=Wq530q54= VCF0 s 0] 1 253 Hơn nữa (a) đi qua điểm có tọa độ (];-l;2) nên có phương trình: (a):l(jc-l)-2(^ + l) + 0(z-2) = 0 o(a):x-2y-3-Q. ị(a):x-2y~3 = 0 T-H . í 7 J_ V / J OI-rẨU oí > Phương trình của d' có dạng ~ Q. . Chuyển sang dạng tham số ta có: ^/•=[vrì"a] = ( _2; ~ 1;0 ) w811 I=p2=0=w8210=01= w q530q54= VCĨB ftn SlT -I 01 ______ -2 ^ ; CÓ 3 đáp án thỏa mãn vecto chỉ phương cố tọa độ (-2;-l;0) là B , c, D Tuy nhiên chỉ có đáp án B chứa điểm M(l;-1;0) và điểm này cũng thuộc d' _' :=> Đáp số đúng là B VP6 . [Câu 61 Sách bài tập hình học nâng cao 12] x~-- + 2>t 2 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:ịy = -2t trên z = ~~2t (a) :x + 2y-2z“2 = 0 3 3 A x-s = y+ 2 = £ B.^il = T_2. = £ ■ -4 2 1 -4 2 1 3 3 ,£zl = ^—2=l D nl = - _ 2 _£ 4 2 1 '4 2 1 > Lập phương trình mặt phẳng (/3 ) chứa d và vuông góc vói (n) == ] = (8;4;8) w8113=p2=p2=w8211=2=p2=W q530q54= 8 (/?) đi qua điểm Ịj~;0;oj nên có phương trình 8^x-^-j + 8y+8z = 0 c=> 2x + 2y + 2z-7 = 0 oC .T:2y ^ 77777 7777^ 7; 777' 77, 7 77 „77 v>77 7 > Ta có d':ị . x + 2y-2z-2 = 0 Tính Ụ = 7 (- 8 ;6;2)777(-4;372) cung ĩa vecto chỉ phương của .3 ^ _ s ^ ‘Ì z Đường thẳng d' lại đi qua điểm Ị 5;-ệ;0 I nên có phương trình: = ~Y~ = Ỹ Đáp án đúng chuẩn. là A 254 BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 . [Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần 1 năm 2017] Hình chiếu vuông góc của A (-2:4;3) lên mặt phẳng (p) :2x-3y + 6z +19 = 0 có tọa độ là: A. (1; — 1;2) B. c D. Kết quả khác Bải 2 . [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Trong không khí vói hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng (P):jc+y~z-4 = 0 và điểm M(l;-2;-2). Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( p) A. /V(3;4;8) B.V(3:0;-4) C.yv(3;0;8) D. jV(3;4;~~4) Bải 3 . [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 1 năm 2017] Cho i4(5;l;3) ỈJ B(~5;l;~l) s C(l;"-3;0),Đ(3j“6;2), Tọa độ của chêm A' đối xứng vói A qua mặt phẳng ( BCD ) là: A.(-l; 7; 5) .B.(l;7;5) C.(l;-7;-5) .D.(l;-7;5) Bài 4 . [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lân 2 năm 2017] X -f 1 y z + 2 Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : = zJ ~ = ~ Y~ và mặt phẳng (P):~x+y-p2z+3 = 0. Viết phưong trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (p). A x-2 _ y- _ z + B x + 2 _y+ = £-| c x-2 _ y- _z + 1 D j: + 2 _ ỵ + _z- 1 1-3 3 i 1 '3 1 1 1 1-3 Bải 5 . [Câu 75 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ba điểm T(-l;3;2),£(4;0;-3), c(5;-l;4) . Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên đường thẳng BC. A.í^;--ị;]|ì V17 17 17 ) BẨ 7 ±ị£) V17 17 17 ) c. 77 . 9 12 17 ’ 17 ’ 17 D, l 17’ 17 ; 17 J Bải 6 > [Câu 76 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Tìm tọa độ điểm đối xứng của M(-3;ĩ;-l) qua đường thẳng ả là giao tuyến cua hai mặtphẳng (ư):4A“3y-l3 = 0 và (0)y “2z + 5 = 0 A.(-2;-5;-3) B.(2;-5;3) C.(5;-7;-3) D. (5;~7;3) Bải 7 . [Câu 22 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho đường thằng d : tọa đọ ( Oxy ) là: A~l_y + l__Z“2 . Hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng x = 0 'x = 1 + 2/ A = -l + 2/ A.< y = ~~t B. y = -l+/ c. y = + t D. < z = 0 z = 0 2 = 0 x = -l + 2/ y~~]+ỉ z~ 0 255 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 . .. .. .. ...... .___ * Đường thắng Ạ chứa A và vuông góc vói (p) có phương trình: < y = 4-3/ Điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên (p) nên có tọa độ H (-2 + 2/;4 - 3/;3 + 6/) Tính t bằng Casio 2(p2+2Q))p3(4p3Q))+6(3+6Q))+19qrl= 2 c -2+2X 5 -3 c 4-"ẩX > x= -0.428571428 L-R= 0 Chuyển t về dạng phân thức qjz= 0 Math À Ans*A _ 20 37 3 'ì Vậy / = --=> H 7 l 7 7 7j Vậy đáp số đúng là B Bải 2 , ịx = +t H Phương trình A:< y = —2 4-/ 2 => Tọa độ hình chiếu i/(l + /;-2 + /;~2 -/) z = ~2-t ■ Tim t bằng Casio ta được t = 1 l+Q.)p2+Q.)p(p2pQ))p4qrl= 0 Míktli 1+X-2+X-c-2-50 -4 x= 1 L-R= Với f = l=>tf(2;-l;-3)=>JV(3;0;-4) => Đáp án đúng là B Bải 3. Ũ ■ Tính vecto chi phương của ( BCD ): M =[bC;SỢ] = (-5;-1.0;-10) w8111pp5=p3pl=0ppl=w8213pp5=p6pT=2ppl=Wq53pg54=___ 1 Vữa -1D -10] -5 (BCD) qua £(-5;l;-1) =>(BC£»):-5(jc + 5)-10(^-l)-10(z + l) = 0 <=>x + 2j + 2z + 5 = 0 ■ Gọi H là hình chiếu của A lên ( BCD ) => H(5 +/;1 + 2í;3 + 2í). Tính t wl5+Q.)+2(l+2Q))+2(3+2Q))+5qrl= 256 5+X+2(1+2X)+2(3J x=' -2 L-R= Ũ t = -2 => //(3;—3; — I) A'( I: —7: —5) Đáp án đúng là c Bải 4. Lập mặt plìằng (a) chứa d và vuông góc với (p) =$ n fx = = (];-7;4) w8112=2=3=w821 pl=1 =2=Wq530q54= ftnS VCĨH -n MỈ 1 (<*):(*+I)-7j/ + 4(2 +2) = 0o.y-7j; + 4z + 9 = 0 . . ;i > .. ..7 t í AT 7 V + 4z + Ọ ^ 0 ■ Đường thăng d có phương trình tổng quát { ' 7. . Để so sánh kết quả ta [-x+7y+ 2z + 3 = 0 phải chuyển phương trinh đường thẳng d về dạng chính tắc Ta có : u d = n a ; n p ] = (—18;—6;—6) => w(3;l;l) cũng là vecto chỉ phương của d w811 l=p7=4-w821pl=l-2-Wq530q54= VCTH -1S Hơn nữa điểm M( 2;l;-l) cũng thuộc d => Phương trình chính tắc d : = ^Ỹ~ = —y- => Đáp số đúng là c Bải 5 . ■ Đường thằng BC nhân vecto z?c(l;-l;7) là vecto chỉ phương và đi qua điểm £(4;0;-3) í* = 4 + / =>£C: y = -t z = -3 + 7t Gọi H là hình chiếu vuông góc của Ả ỉên =>//(4 + q-t;-3 + 7t) ■ Mặt khác ÃH1 èc => AH.BC = 0 . wl(4+Q.)ppl)p(pQ)p3)+7(p3+7Q)p2)qrl- s Math u+x--l) : c-x : 3)> x= 0.5294117647 L-R= 0 Chuyển / về dạng phân số qjz 0 Math Á Ans+A 9 17 257 => t = Ẹ- => tìịTZ’-Tz's 7 z => Đáp số chứửi xác là A 17 V17 17 17 ; r Bải 6. ■ c ỉ là giac ) tuyến của 2 n / / /V , ■ V t ^ , Í4x-3y-13 = G lặt ,phăng (ar) ;(•/?) nên có phương trình tống quát: 1 2 5 0 1 /ecto ch ỉ phương của ậ lẳiỹ~ = [^;^] = (6;8;4) => nhận «(3;4;2) là vecto chi phưong w8114=p3=0=w8210=l=p2=Wq53Oq54= VCỈ0 6 Đường thẳng d có vecto đi qua điểm 7^(4; 1;3) nên có phương trình tham số j x = 4 + 3 1 y -1 + 4f 2 = 3 + 2í ■ Điểm tì là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d nên có tọa độ M(4 + 3/;l + 4/;3 + 2r) Mặt khác Mĩ ±d=> Mỉ.ũ = 0 wl3(4+3Q)pp3)+4(l+4Q)pl)+2(3+2Q)ppl)qrl= 3 (4+3X—3) +4 (ĩ+ > w -1 L-R= 0 =>/ = -l=>tf(l;-3;l) M' đối xứng M qua d vậy tì là trung điểm MM' =>M'(5;-7;3) => Đáp số chúih xác là D Bải 7. . ... I* Dựng mặt phẳng (a) chứa đường thẳng d và vuông góc vói (Oxy) => «„ = =(i;-2;0) w8112=l=l=w82Ĩ0=0=l=Wq53Oq54= VCỈ0 flns_ _ uBBBSHl “2 0] i Mặtphẳng ( a ) chứa điểm w(l;-l;2) nên có phưong trình là: (a):(x-])-2(y + ) + 0(z-2) = 0x-2y-ĩ = 0 ■ Đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (Oxy) => d' là giao tuyến của (a) và (Oxy) => d': Ị*~ Tính V, = = (-2;-l;0) => nhận m( 2;I;0) là vecto chi phương w8111=p2=0=w8210=0=1 =w q530q54= 258 VCT0 -I Q.] -2 A = ì 4- 2t Lại có d' qua điểm có tọa độ (!: —1:0) =>£/': y = ~ 1 +ỉ Z = Q. => Đáp số đúng là B. T. CASIO TÍNH NHANH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP VÀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG. 1. ứng dụng tích được bố trí theo hướng tính diện tích s quy hoạnh tam giác. !■ Cho tam giác ABC có diện tích s quy hoạnh tam giác ABC tính theo công thức s = -~||^2?;,4C]| , __ ÌAB-ÃCĨ !■ ứng dụng tính độ cao AH của tam giác ABC : AH = = ' —7=7—- 2. ứng dụng tích được bố trí theo hướng tính thể tích hình chóp. * Thể tích hình chóp ABCD được tính theo công thức V AhC1) = ■ ứng dụng tínla độ cao AH của hình chóp ABCD : Atì - - - = ịAB^AC^ADị ỊbC;BD] 3. Lệnh Caso. ■ Lệnh đăng nhập môi trường tự nhiên thiên nhiên vecto MODE 8 ■ Nhập thông số vecto MODE 8 11 ■ Tính tích vô hương của 2 vecto: vectoA SHIFT 5 7 vectoB ■ Tính tích được bố trí theo vị trí hướng của hai vecto: vectoA X vectoB ■ Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP a Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP ■ Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 8 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1 . [Câu 41 đề minh họa vào ĐHQG HN năm 2016] Cho 4 điểm v4(l;0;l ), B( 2;2;2) / c(5;2; 1), D(4;3;-2). Tính thể tích tứ diện ABCD A.6 B.12 C.4 D. 2 Gỉảỉ > Nhập thông số ba vecto Aẻ,AC,AD vào máy tính Casio 259 0 > Điểm D nằm trên Oy nên có tọa độ D(ồy;0) => AD(-2;y -1; 1) Nếu Zd[ZỖ;3c] = 30 wl0O(p2)p4(Q.)pl)p2Olp30qrl= Ị>:(-2)-4(X-l) M -2£ ỹ= -7 L“R= 0 Ta thu được y = - 7 ==> D(0;~7;0) Nếu ^d[ZỖ;Íc] = -30 !!!o+qrl= CỊK(-2,Ì-4CX-1 )-2> A = 8 L-R= 0 260 Ta thu được y = 8 => D(0;8;0) => Đáp số đúng là B VD3 , [Thi thử THPT Lương Thế Vinh ^ Hà Nội lần 1 năm 2017] Trong không khí vói hệ tọa độ Oxyz cho A(;2;0), JỮ(3;~1; 1), c(ỉ;l;l). Tính diện tích s quy hoạnh A>S = y/3 B.5 = V2 c. 5 '=ị D.^ệ-S = ỉ 2 3 Giải Nhập 2 vecto AB~AC vào máy tính Casio w8112=p3=l =w8210=pl =1 = VCIQ [ 5-3 M * [ VCT0 ũ -I H1Ỉ 1 1 . > Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức: S AtìV = “ỊỊ^£;^íc]| = l.732... = Ỉ3 Wqcq530q54)P2~ VCT0 Abs(VctAxVctEĐ+2 1.732050808 ==> Đáp SỐ đúng là A VD4 . [Thi thử THPT Vĩnh Chân - Phú Thọ lần 1 năm 2017] I Cho hai điếm A( 1;2;0) , Z?(4;I;l). Độ dài đưòng cao 'Ỡ7/ cua tam giác OAB là: A. VĨ 9 B.. ■m Ỉ9_ 86 Gỉảỉ > Tính diện tích s quy hoạnh tam giác ABC theo công thức s a |[04;Ớ5]| w8111=2=0=w8214=l=l=Wqcq53Oq54)P2= Abs(VctAxVctE0+2 3.674234614 Vì giá trị diện tích s quy hoạnh này lẻ nên ta lưu vào biến A cho dễ nhìn qjz Ans+A ” a 3.674234614 1 2 s > Gọi h là độ cao hạ từ ớ đến đáy AB ta có công thức S 0AH = -~h.AB <=> h- -fr 2 AB > Tính độ dài cạnh = w8113=pl=l=Wqcq53)= 261 AbsCVctÀT 3.31662479 Giá trị này lẻ ta lại lưu vào biến B qjx Ans*B " =>6 = H = 2.2156...= B 2QzPQx= 3.31662479 VCT0 2.215646838 => Đáp số đúng là D VD5 . [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] ; Trong không khí vơi hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có d (2; 3; l), £(4; ỉ; -2), c(6; 3; 7), Z)(-5;~4;8). Độ dài đường cao kẻ tò D của tứ diện là: Ạ. 11 b| c| ' D i| Gỉảỉ > Ta tính được thể tích cả tứ diện ABCD theo công thức V = 1 = -^- w8112=p2=p3=w8214=0=6=w831p7=p7=7=Wqcq53q57(q54Oq55))P6= AbsCVctA- 0 (Vct.Bx> 51.33333333 . 1 . XV 154 > Gọi h là khoảng chừng cách từ D => V =--h.S AHC =>h = = =— 3 ^ABC s ABC > Tính S MC theo công thức S AHr = 14 qcq530q54)P2= VCTB AbsCVctAxVctB)-2 Khi đó h - —7- = 11 => Đáp số đúng là A 14 K 14 VP6 . [Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu - Bình Định lần 1 năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho d(l;5;0), z?(3;3;6) và Điểm M thuộc d đế tam giác MAB có diện tích s quy hoạnh nhỏ nhất có tọa độ là: : A.M(-1;1;0) B.M(3;-1;4) C.M(-3;2;-2) D.M(l;0;2) 262 Giải > Diện tích tam giác ABM được tính theo công thức 9 = -^Ị[/4 B;^m]Ị»25'-Ị[ AB;AM~ỵ > Với M(-1;1;0) ta có 29 = 29.3938... w8112=p2=6=w821p2=p4=0=Wqcq53Oq54)= AbsCVctẢ-VctB) 29.39387691 > Với M(3;-l;4) ta có 29 = 29.3938... w8212=p6=4=Wqcq530q54)= Abs(VctAxVctB) 29.39387691 > Với M(-3;2;-2) ta có 29 = 32.8633... w821 p4=p3=p2=Wqcq530q54)= AbslVctA-VctB) 32.86335345 > Với M(l;0;2) ta có 29 = 28.1424... w8210=p5=2=w qcq530qc4ooq54)= AbsCVctÃxVctB) 28.14249456 So sánh 4 đáp số :=> Đáp án chính xác là c BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 . [Câu 1 trang 141 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12] Cho d(2;-l;6), B(-3;-l;-4), c(5;-l;0), D(l; 2 ;l). Thể tích tứ diện ABCD bằng: A. 30 B. 40 c. 50 D.60 Bài 2 . [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lân 1 năm 2017] Cho bốn điểm A(a;--,6), ỉ(-3;-l;-4), e(5;~ 1;0)/D(l;2;l) và thể tích của tứ điện ABCD bằng 30. Giá trị của ứ là: A.l __B.2 . C.2họặc32__.D.32.. Bài 3 . [Thi thủ THPT Phan Chu Trinh - Phú Yên lần 1 năm 2017] Viết phương trình mặt phẳng (p) đi qua M (l;2;4) và căt những tia Ox,Oy,Oz lan lượt tại A,B,C sao cho V om - = 36 A.- + —+ —= 1 B.- + - + - = l C.i + ^ + -ị- = l D. Đáp án khác ‘3 6 12 424 63 12 263 Sầii- [Thi thử THPT Nho Quan - Ninh Bình lần 1 năm 2017] Trong không khí với hệ tọa độ Oxyz cho ^(0;];0), B( 2;2;2), C(-2;3;I) và đường thẳng d '■ ~ = ~~ = - Tìm điểm M thuộc d sao cho thể tích tứ diện MABC bằng 3 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài 1 , Chọn A. ■ Thể tích tứ diện ABCD được tính theo công thức V = = 30 w811 p5“0=p 10=w 8213=0=p6=w 8 31 p 1 =3“p 5=w q cq53q57 (q540q55)) P6= VCT0 AbsCVctĂ-(VctBxl> 30 Vậy đáp SỐ đúng là A Bải 2 . Chọn c. “ Vì điểm A chứa tham số nên ta ưu tiên vecto BA tính sau cùng. Công thức tính thế tích ABCD ta sắp xếp như sau : V = ^|&ỉ[z?C;ĨŨ3]| 8 Tính [5 C;Ỗd]=:(-12;~24;24) - w8118-0-4=w8214=3-5-Wq53Oq54- VCT0 ftn s HOF- -2M sụ] •• ■■■• ■ ... ' wlpl2(Q.)+3)p24O0+24(6+4)pl80qrl“ -1 2 c X+3)-24x0+2> X=I 2 L-R=^ 0 Với 5 ^[ổC; 5Z)] = -l80<=>Ã4 [ĨĨC;Ãd]+' 180 = 0 =>a = 32 !!!!o+qrl= 264 0 M»h -12CX+3)-24*Ũ+2t> r : =I 32 L-R= 0 Đáp án đúng là c ■ Trong những đáp án chi xuất hiện phăng ở đáp án A đi qua điểm M(l;2;4) cho nên vì thế ta chỉ đi kiểm tra tính đúng sai của đáp án A * Theo tính chất của phưong trình đoạn chắn thì mặt phằng (p): ì + ^ Ẳ = 1 cắt những tia Ox.Oy.Oz lần lượt tại 3 điểm /l(3;0;0),i?(0;6;0),c(0;0;12). Hơn nữa 4 điểm 0 9 A 9 B,C lập thành một tứ diện vuông đỉnh o ■ Theo tính chất của tứ diện vuông thì v am . = ^|0^||ơ5||ơc| = -.3.6.12 = 36 (đúng) => Đáp án đúng là A Bải 4 . Chọn A. ■ Điếm M thuộc d nên có tọa độ Mz,+z 2 b = 1.25 . F Với z“' = — Sử dụng máy tính Casio alRl+1.25b= CMPLX 0 MĩLth À 1+1.25Ì 16 20- 41 41 1 Ta thây phân thực số phức z~' là: — đây là 1 giá trị dưong. Vì ta chọn b> a> 0 nên ta thây ngay đáp số c và D sai. Thử đáp số A có a + b = 1 +1.25 = — * vậy đáp số A cũng sai => Đáp án chính xác là B Bài 3. Tính SỐ phức z = 2 - V3/|i + 73/ j 2ps3$b (a 1 R2$+s3$b)= CMPLX. 0 í 2-ỉ3iị+Ĩ3ĩị 5~§ã Vậy z = 5~i Dùng lệnh SHIFT HYP tính Môđun của số phức z ta được qc5pas3R2$b= CMPIX a M%th Ả Vậy z Vĩõ3 P_±íLi Đáp số chính xác là A 7ĨŨS" 2 Bải 4 . ■ Dãy số trên là một cấp số nhân với ƠJ =(l + /) 2 , số số hạng là 21 và công bội là 1 + /.Ị ! / 1 /1 . ,2I . Thư gọn z ta được: z = ơ. -— ! — = (]+ ị) 2 . 1 - 4 ." 1 h y-cỊ v ' 1-0+/) Sử dụng máy tính Casio tính 2 (l+b)dOalp(l+b) A 21Rlp(l+b)= 281 CMPLX s Math A (l+ỉ) 2 * 1 ĩ=a+if l> -2050-2048Ì Vậy z =-2050-2048/ => Ph'ân ảo số phức z là -2050 = -2" - 2 => Đáp số đúng là c Bài 5 . _ 1 Dãy sế trên là một cấp số nhân với Uỵ .== (1 + /) / SO sọ hạng là 21 yà công bội là một trong + ì . Thu gọn z ta được: z =, ơ r y^- = (1 + /) 2 * Sử dụng máy tính Casio tính z (l+b)dOalp(l+b) A 21Rlp(l+b)= CMPIX 13 Math A Cl + í) 2 *^ịf» -2050-2048Ĩ Vậy z =-2050-2048; => Phần ảo số phức z là -2048 = -2" => Đáp số đúng là A Bài 6 ._.. __________ ^ ^ ■ Phươngtrình o(2-3/)z + (4 + /)z+(l+3/) 2 =0 ■ Nhập vế trải vào máy tính Casio và CẠLC với X = 1000 +100/ (2p3b)Q.)+(4+b)q22Q))+(l+3b)drl00q+100b=___ . _ . 6392-2194i ị 6392 = 6.1000 + 4.100 - 8 = 6a + 46 - 8 Vậy vếtrái =6392-2194/ với j 2194 1 2.1000 + 2.100-61 2« + 26-6 ■ Để vê trái = 0 thì N ’, , _ <=> a = -2; 6 = 5 [2a + 26~6 = 0 Vậy z = -2 + 5/ => p = 2a + b = => Đáp số chính xác là c Bải 7 ■ Phương trình o(2-3/)z + (4 + /)z + (l+3/)‘=0 * Nhập vế trái vào máy tính Casio và CALC với X = 1000 +100/ (2p3b)Q)+(4+b)q22Q))+(l+3b)drl000+100b= C2-3i)^CM)Co‘> 6392-2194Ĩ Vậy vế trái =6392-2194/ vói Ị 6392 = 6.1000 + 4.100 - 8 = 6a + 4b - 8 [2194 = 2.1000 + 2.100-6 = 2«+ 26-6 282 T. CASIO BIỂU DIỄN HÌNH HỌC số PHỨC TRÊN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ THựC Ảo I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Các khái niệm thường gặp 8 Hệ trục thực ảo gồm có 2 trục vuông góc với nhau: Trục nằm ngang là trục thực, trục đúng dọc là trục ảo ■ Số phực z = a + bi khi biêu diễn trên hệ trục thực ảo là điểm M(ab) m Môđun cúa số phức z = a + bi là độ lớn của vectơ OM 2. Lệnh Caso Ỷ Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE 2 ? Lệnh giải phưong trình bậc hai MODE 5 3 ■ Lệnh giải phương trình bậc ba MODE 5 4 II) VÍ DỤ MINH HỌA. VDl -[Câu 31 Đê minh họa THPT Quốc Gia lân 1 năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn (l+/)z = 3-/. Hỏi điểm màn biểu diễn số phức z là điếm nào trong những điếm A. điểm p B. điểm 0 c. điểm M D. điểm N Giải > Cô lập J = -—- 1 + / Sử dụng máy tính Casio trong môi trường tự nhiên thiên nhiên CMPLX đế tìm z w2a3pbRl4-b= CMPLX ta Msrth A 3-i 1+i A ; SI .ị.: ; ị 1 : ịo p' •. Q. 1—2i => z -1 - 2/ và điểm màn biểu diễn z trong hệ trục thực ảo có tọa độ (l;-2). Điểm có thực dương và ảo âm sẽ nằm ở góc phần tư thứ IV => Điểm phải tìm là Q. và đáp án đúng là B VD2- [Thi thư trung tâm Diệu Hiển - cần Thơ lần 1 năm 2017] Điểm màn biểu diễn SỐ phức z = 7 + bi với b G R, nằm trên đường thẳng có phương trinh là; ; :ỌrẠpjc-~l A. L ; :-y D, y-1 . Gỉảỉ > Điểm màn biểu diễn số phức Z = 1 + bi là vấn đề M có tọa độ Mịlb) Ta biết điểm M thuộc đường thẳng d nếu tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng cỉ > Thử đáp án A ta có X = 7 <=> 1 .X 4- o.y ~ 1 = 0 . Thế tọa độ điểm M vào ta được: 1 .74-0.0-7 = 0 (đúng) Vậy điểm M thuộc đường thẳng X = 7 => Đáp án A là đúng chuẩn 283 VD3 -ĨThi thử Group Nhóm toán - Meta lần 5 năm 2022] Các điểm M,N,P lần lượt là vấn đề màn biểu diễn cho những số phức Zj z 2 = 0“00 + 2/); z 3 = -1 + 2 i A. Tam giác vuông B. Tam giác cân c. Tam giác vuông cân D. Tam giác đều Gỉảỉ > Rút gọn z, a4bRbpl= Ta được Zj =2-2/ vậy điểm M 2;-2) > Rút gọn z 2 bằng Casio (lpb)(l+2b)» CMPLX s Mãth A Cl-ĩ)Cl+2i) 3+i Ta được z 2 =3 + / vậy điếm /v(3;l) Tưong tự z 2 = -1 4- 2/ và điểm p(- 1;2) > Để phát hiện tính chất của tam giác MVP ta nên màn biểu diễn 3 điểm M ,N,P trên hệ trục tọa độ Dễ thấy tam giác MNP vuông cân tại p => đáp án c đúng chuẩn VD4 -ĨThi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 4 năm 2022] Trong mặt phang Oxy, ịọi những diêm M , N lầi ì lượt là đ iem biê u diễn số phức Zị =l-i,z 2 =3 + 2/. Gọi G là trọng tâm tam giác c WN, với 0 là gốc tọa độ. Hởi G là Wế : 0ttÊ. • điếm biếu diên của sô phứ c nào sầụ đây, _4 1 _1 A. 5 —/ B. 4 4- ỉ c, -— + •“•/ D. 2+2-/ 3 3 2 284 > Điểm M màn biểu diễn số phức z =-i => tọa độ A/(l;~l) Điểm N màn biểu diễn số phức z 2 = 3 + 2/ => tọa độ yV(3;2) Gốc tọa độ 0(0:0) > Tọa độ điểm . Vậy G là điêm màn biểu diễn cua số phức “ + •“/ => c là đáp án đúng chuẩn VD5~[Thi thử THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy M gọi M là vấn đề màn biểu diễn số phức z = 3-4/, điểm M' là điểm biếu diễn số phức z'= Ỵ ~ụ~z . Tính diện tích s quy hoạnh A OMM' 2 AO R .9 “ > Điểm M màn biểu diễn sô'phức z, =3-4 i => tọa độ A/(3;-4) Điểm M' màn biểu diễn số phức z’ = tí-í. z => tọa độ AfỊl;~h al+bR2$0(3p4b)= CMPLX Q. ^<3-41) □ Màth A l-Ấị 2 2 1 Gốc tọa độ 0(0; 0) > Đề tính diện tích s quy hoạnh tam giác OMM' ta ứng dụng tích được bố trí theo vị trí hướng của 2 vecto trong không khí. Ta thêm cao độ 0 cho tọa độ mỗi điểm ỒỳM,M' là xong ÕM{ 3;-4;0), ÕÃ^Í|;-Ỉ;o) =>5 = i|[õÃ?;ỠÃ^]| Tính ị[ơM;ƠM']| w8113=p4=0=q51217P2=pl P2=0=Cq53q57q54= VctA-VctB 12.5 Vậy |[ÕÃ7;ÕM-]| = 12.5 = ^^5 (MH/ . =Ì|[ÕÃ?;ÕÃ7-]| = ^. => A là đáp án đúng chuẩn VD6-[Đề thi minh họa Bộ GD và ĐT Tân 2 năm 2017] Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phân ảo dương của phương trình 4z 2 -16z +17 = 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là vấn đề màn biểu diễn số phức w = /z 0 A.mÍI;2 Ì c.í--;lì D. m{ — ;lì u ) l 2 J l 4 J 14 ) 285 Giải > Sử dụng lệnh giải phưong trình bậc hai MODE 5 3 đê giải phương trinh 4z 2 “ Ị 6z + 17 = 0 w534=pl 6=17= X 1-*» 11 s MathT 2+ịi 11 N X 0 MithTA 2-ịi Vậy phương trình 4z 2 -16z + 17 = 0 có hai nghiệm z = 2 + -t/ và z = 2 > Để z 0 có phần ảo dương =z> z = 2 - . Tính w = z 0 / w2(2+alR2$b)b= CMRLX 0 Math Á (2+ịi)i -ị+2i Vậy phương trình w = ”-— + 2/ => Điểm màn biểu diễn số phức w là Ảf j => B là đáp án đúng chuẩn BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài lTThi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lầ Cho số phức z = 2 .+■i , Hãy xác định điếm n 2 năm 2022] màn biểu diễn hình học của số phức w = ịì-ỉ)z Á. Điểm M B Điểm N c Điểm p D. Điểm Q. M Ị X ^ - H ..Ị ■■■■!. : -6.< .“.*.*.Ị.■> -2 ■■ &• - - Á- ^ Q. p -i- Bài 2 -[Thi thử íacebook nhóm toán lần 5 năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn (2 -/)2 = 4z +5. Hỏi điểm M 2 ' s màn biểu diễn của 2 là vấn đề nào trong những điếm ! 1 M,N,P,Q. ở hìnhbên. I " ị A.Điềm N B. Điểm p Q. Ặ p c. Điểm M D. Điểm Q. 286 4 Bải 3 -fThỉ thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2022] Trên mặt phẳng tọa độ những điểm A,BX' lần lượt là vấn đề màn biểu diễn của số phức — 4 -4 + ~/ 5 5 , (l“/)(l + 2/), -2Í' Khi đó tam giác ABC A. Vuông tại c B. Vuông tại A c. Vuông cân tại B D. Tam giác đều Bải 4 ’Các điểm A,B,C, A BC' trong mặt phẳng phức theo thứ tự màn biểu diễn những số: l-/,2 + 3/,3 + / và 3/,3-2í*,3 + 2/ có G,G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A'B'C '. A.G trùng G B. Vecto GGV(1;-1) c. GA = 3GA ' D. Tứ giác GAG'B lập thành một hinh bình hành LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 . ■ Tính SỐ phức v - (1 - /)z bằng máy tính Casio (lpb)(2+b)= CMPLX B Msith A (1-ĨK2+Ĩ) 3-i Vậy tọa độ của điểm thỏa mãn số phức w là (3;-l). Đây là tọa độ điểm Q. r=> Đáp số đúng là D Bải 2 . I" Cô lập (2 ~ /)z - 4z = 5 <=> -(2 + /)z = 5 <=> z = —— Ị-''- ^ ■ Tìm số phức z = —- r 2+7 ap5R2+b= CMPLX s Math Ả —5 2+i -2+i Vậy tọa độ của điểm thỏa mãn số phức z là (“2;1). Đây là tọa độ điểm M => Đáp số đúng là c Bải 3. Rút gọn 2 4 -~ + -i 5 5 được -2-4/ vậy tọa độ điểm A (“2; -4) a4Rpa2R5$+a4R5$b= CMPLX s Math A -bếj - 2—4i 287 ■ Rút gọn (1-/)(l+ 2/) được 3 + / vậy tọa độ điểm 5(3;!) (lpt , )(l+2b)= CMPLX □ Mith A (1-1X1+21) 3+i ■ Rút gọn -2/ 3 = 2/.r = 2i vậy tọa độ điểm c(0;2) ị ■ Để phát hiộn tính chất của tam giác ABC ta chỉ việc màn biểu diễn trên hệ trục tọa độ là ' thấy ngay. ; _... ._ .y . . .... ._j Dễ thấy tam giác ABC vuông tại c => Đáp số đúng là A. Bải 4 . ■ Ta có tọa độ những đỉnh i4(l;-l), 5(2:3), c( 3;l) => Tọa độ trọng tâm G( 2;1) 6 3 ' y a = yA+y : + yc=" u 3 ■ Ta có tọa độ những đinh T"(0;3), ổ'(3;-2), C'(3;2) => Tọa độ trọng tâm G(2;l) X A . + X H . + x c . =2 3 y* + y* + y<" =1 y °' 3 RÕ ràng G s G’ => Đáp số chínla xác là A T. CASIO VÀ MẸO GIẢI NHANH BÀI TOÁN QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SÔ PHỨC I) KIẾN THỨC NầN TẢNG 1. Mẹo giải nhanh ■ Bài toán quỹ tích luôn đi lên từ định nghĩa. Ta luôn đặt z = x + yi, biếu diễn số phức theo yêu cầu đề bài, từ đó khử / và thu về một hệ thức mới: ■ Nếu hệ thức có dạng Ax + By + c = 0 thì tập họp điểm là đường thẳng ■ Nếu hệ thức có dạng (x-ứ) 2 +(y~b) 2 =R thì tập hợp điểm là đường tròn tâm ỉ(a;b) bán kính R. ______ ___ ; ? ___ » Nếu hệ thức có dạng C + thì tập họp điểm có dạng một Elip Nếu hệ thức có dạng p-p- -1 thì tập hợp điểm là một Hyperbol • Nêu hệ thức co dạng y = Ax 2 + Bx+c thì tập hợp điểm 1 à một Parabol 2. Phương pháp Caso * Tìm điểm đại diện thuộc quỹ tích cho ở đáp án rồi thế ngược vào đề bài, nếu thỏa mãn thì là đúng 288 II) ví DỤ MINH HỌA VDl TThi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lân 3 năm 2022] Tập hợp những điếm biếu diễn số phức z thỏa mãn Iz - 2 - /| = |z + 2/j A.4*-2y + ỉ = 0 B. 4.V - 2y “1=0 C.4a- +2y -1 = 0 D. 4x-6y -1 = 0 Giải •> Cách Casio ỉ ^ Gọi sỗ phức z cổ dạng z = a + hỉ . Ta hiểu: diêm M màn biểu diễn số phức z thì M có tọa độ M(ab ). Giả sử đắp án A đúng thì M thuộc đường thẳng 4x- 2 y + 1 = 0 thì 4a - 2b + 1 = 0 Chọn a- thì =>z = 14-2.5/. Số phức z thỏa mãn |z-2-/| = |z + 2/| thì |z-2~/j-|z + 2/j = 0 ' > Sử dụng máy tính Casio đế kiểm tra qcl+2.5bp2pb$pqclp2.5b+2b= Ta thấy ra một kết quả khác 0 vậy |z - 2 - /| - |z + 2/j — 0 là sai và đáp án A sai > Tương tự với đáp số B chọn a = 1 thì /> = 1.5 và z = 1 +1.5/ qcl+1.5bp2pb$pqclpl.5b+2b= CMPLX EJ M%th Á ll+1.5i-2 : íl-ll> 0 Ta thấy kết quả ra 0 vậy |z - 2 - /Ị - Ịz + 2/| = 0 là đúng và đáp án đúng là B ❖ Cách mẹo > Đặt z = x + yi (ta luôn đi lên tù’ địnlì nghĩa). > Thế vào |z - 2 - /| = |z + 2/j ta được |(.v-2) + (^-l)/| = |x 2 +(-^ + 2)/j «7(x-2) 2 + ơ- 1) 3 *( ■.'• í 2) ; ’ ~(x'-2y + (y-l) 2 =x> + (-y + 2f <=> X 2 -4x + 4 + y 2 ~2y + = X 2 + y 2 -4y + 4 ^- T- 2y -1 = 0 Vậy tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức z là đường thẳng 4x - 2y -1 = 0 đáp án B là đúng chuẩn ❖ Bình luận > Trong dạng toán này ta nên ưu tiên dùng mẹo vì tính nhanh gọn của nó > Nhắc lại một lần nữa, luôn đặt z - X + yị rồi biến hóa theo đề bài VD2-ÍThi thử sở GD và ĐT thành phố Hà Tĩnh lần 1 năm 2022] Cho số phức z thỏa mãn |2 + z| = |l “ /| . Chọn phát biểu đúng A. Tập hợp điểm màn biểu diễn số phức z là một đường thẳng B. Tập hợp điểm màn biểu diễn số phức z là một đường Parabol c. Tập hợp điểm màn biểu diễn số phức z là một đường tròn D. Tập hợp điểm màn biểu diễn số phức z là một đường Elip 289 Giải ❖ Cách mẹo > Đặt z = x + yì. > Thể vào |2 + z| = |l-/| ta được x + 2 + yi = |l - /| <=> yJ(x + 2) 2 + y 2 = yỊỸ + (-f <=> (* + 2) + .y 2 = (>/2) Vậy tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức z là đường tròn tâm / (~2;0) bán kinh R = yíĩ Vậy đáp án c là đúng chuẩn VD3- TĐề thi minh họa của cục GD và ĐT lân 1 nảm 2022] Cho những số phức z thỏa mãn |z| = 4. Biết rằng tập hợp những điểm màn biểu diễn những số phức + 4/)r • i là mộ t dường tròn.' ríỉih bán kính r của đu ờng tròn đọ. A. r = 4 : B.r = 5 + ■ V c.r = 20 D. r = 22 mmmmm 'ỀỀÊÊễÊÊẾỀ Giải ... V ❖ Cách Casio > Để xây dựng 1 đường tròn ta cần 3 điểm màn biểu diễn của w, vì z sẽ sinh ra w nên đầu tiên ta sẽ chọn 3 giá trị đại diện của z thỏa mãn z = 4 > Chọn 2 = 4 + 0/ (thỏa mãn |z| = 4). Tính Wị =(3 + 4/)(4 + 0/) + / (3+4b)04+b= CMPLX ■ a Math Á 12+171 Ta có điểm màn biểu diễn của 2 , là M[2\l) > Chọn 2 = 4 i (thỏa mãn |z| = 4), Tính w 2 = (3 + 4/')(4/) + / (3+4b)04b+b= -16+131 Ta có điểm màn biểu diễn của 2 , là .v( 16; 13) __ __ > Chọn z = -4ỉ' (thỏa mân |z| = 4 ). Tính vr 3 =(3 + 4/')(-4/) + ; (3+4b)(p4b)+b= CMPLX ■ 0 ■ Mith A 16-111 Ta có điểm màn biểu diễn của z 3 là /"(lỗ;-! Ị) Vậy ta có 3 điểm M,N,P thuộc đường tròn màn biểu diễn số phức w y Đường tròn này sẽ có dạng tổng quát X 2 + y 2 +ax + by + c = 0. Đê tìm a,b,c ta sư dụng máy tính Casio với hiệu suất cao MODE 5 3 > W5212=l7=l=pl2dpl7đ=pl6=13=l=pl6đpl3d=16=pll=l=pl6dplld= 290 x= □ MithT s MãtIiTA -2 -399 Vậy phương trình đường tròn có dạng .r + y 2 - 2y - 399 = 0 <=> X 2 + (y - 1) 2 = 20 2 Bán kính đường tròn tập hợp điểm màn biểu diễn số phức w là 20 Đáp án đúng là c ♦> Cách mẹo > Đê bài yêu cầu tìm tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức w vậy ta đặt w = X + yi . 'y Thế vào w = (3 + 4/) z + / <=> r = ^ . Tiếp tục rút gọn ta được 3 + 4/ 3 + 4/ ỵ ’ ồ * I + (3-4/) 3x + 4y ~ 4 + (-4x + 3y-3)/ ; z (3 + 4/)(3~4/) = 25 ộ--= 16 Ox 2 y y - 2y = 399 <=> X 2 + (y -1) = 20 2 Vậy tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức w là đường tròn bán kínhr - 20 => đáp án c là đúng chuẩn ❖ Bình luận > Chức năng MODE 5 2 để tìm phương trình đường tròn được lý giải như sau : Đường tròn có dạng X 2 +y 2 + ax + by + c = 0 Vói M thuộc đường tròn thì 12ứ + 17Ò + 1 * = -12 2 -17 2 Với N thuộc đường tròn thì -16c/+ 13Ò + C = -16 2 -13" Vói p thuộc đường tròn thì 1 6a - 1 b + c = -1 6 2 - 11 2 12tf + 17Ỏ + C = “12 2 “17 2 Vậy ta lập được hệ phương trình 3 ẩn số 1 <1 -16ơ + 136 + c = -16 2 ~13 2 6a~Ub + c^-6 2 -\ 2 __ Và ta sử dụng hiệu suất cao giải hệ phương trìnlì 3 ẩn bậc;.nhạrìMỌDE 5 2 để xử lý > Hai cách đều hay và có ưu điểm riêng/ tự luận sẽ tiết kiệm thời gian một chút ít nhưng việc tính toán rút gọn dễ nhầm lẫn, còn Casio có vẻ như bấm máy nhiều hơn nữa nhưng t uyệt đối không sai. __ _ _ VD4 -[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 3 năm 2017] Tập hợp những điểm biếu diễn những số phức z thỏa mãn phần thực của “—“ bằng 0 là 2 - i đường tròn tâm / bán kính R (trừ đi một điểm) A. / c/ 7ĩ R - 1 R = Ị_ 2 291 Giải *> Cách mẹo > Đặt z-x + yỉ. > Thế vào -— 7 ta được: z-i x-- yi (.V-I+y/)| V- (, -1)/] x 2 -x + / 1 - xyi — (-V - l ) ( .V - 1) / x + (y -1); [x + (y-l)z][x--( .'■-1)0 x+ịy-l) 2 2-1 7 ( |Ỵ ] Để phần thực của -—-băng 0 thì X 2 ~x + y 2 -y = 0 <=> X-A + y~~ 2 - i 2) 2' Ị bán kính = rz>đáp án B là 2 2) v2 đúng chuẩn. BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải l -[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 2 năm 2017] Cho .những số phức 2 thỏa mãn z + 1 - /| = z - 1 + 2i . Tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó. A. 4x-fốy-3 = 0 B.4x — 6y-3 = 0 c. 4x +6y + 3 = 0 D.4x—6y + 3 = 0 Bải 2 -[Thi thử THPT Triệu Sơn - Thanh Hóa lần 1 năm 2017] Tập hợp những điểm M màn biểu diễn số phức z z = jz - 3 + 4zj là phương trinh có dạng A.6jc + 8y-25 = 0 B.3* + 4y-3 = 0 C.Jt 2 +y = 25 D.(.*-3) 2 +(y-4) 2 =25 Bài 3 -fThi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu - Bình Định lần 1 năm 2022] Cho những SỐ phức z thỏa mãn z = 2. Biết rằng tập hợp những điểm màn biểu diễn những số phức vv = 3 -2/ + (2 - /) z là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. A.r - 20 B. r = V 20 c.r = v7 D.r = 7 Bải 4 -[Thi thử THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa Tân 1 năm 2017] Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm màn biểu diễn số phức z thỏa mãn z -1| “ |(l + i)zị A. Tập hợp những điếm màn biểu diễn số phức z là đường tròn tâm /(2;-l), bán kính R = l2 B. Tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức z là đường tròn tâm /(l;0), bán kính R = yỊ 3 ■ C.Tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức z là đường tròn tâm /(0;-l), bán kính R = 73 D.Tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức z là đường tròn tâm /(0;-l), bán kính R = J2 Bải 5 -fThi thử THPT Qúảng Xương I -Thanh Hóa lầii 1 năm 2022] Tập họp điểm màn biểu diễn số phức z thỏa mẵn |z| 2 - z 2 là: A. Cả mặt phẳng B. Đường thẳng c. Một điếm D. Hai đường thẳng Bàị_6-Tập hợp điểm màn biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z-l| = |z-z + 2zj là một Parabol có dạng: A. y = 3x 2 -6x + 2 B. y = ~~~X c. y- — -4 Đ.y = x 2 +2x + — 292 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN ♦> Cách 1: Casio ■ Giả sử đáp án A đúng, điểm màn biểu diễn số phức z = x + yi thuộc đường thẳng 4x + 6y - 3 = 0 Chọn X ~ ] thì y = và số phức z = -~i . 6 6 ■ Xét hiệu z + 1 - /Ị -z - 1 + 2/|. Nếu hiệu trên = 0 thì đáp án A đúng. Để thao tác này ta sử dụng máy tính Casio qclpalR6$b+lpb$pqclpalR6$bpl+2b= bDpl+ZD= CMPLX s t Màth À 1-£1+1-1 -ịì~ỳ z Ịl+jÌ9|; Hiệu trên khác 0 vậỳ đáp án A sai Thử với đáp án B. Chọn X = 1 thì y = -ị và số phức X = 1 + ì . Xét hiệu: 6 6 qcl+alR6$b+lpb$pqcl+alR6$bpl4-2b= CMPLX s Math À I l + *i + l~ì I - I 1+Ìỳ 0 Vậy hiệu |z + ] - /| -|z - Ị + 2/| = 0 o |z +1 -* /| = Ịz -1 + 2/| Đáp án đúng là B ❖ Cách 2: Tự luận * Vì đề bài yêu cầu tìm tập hợp điểm màn biểu diễn số phức z nên ta đặt z = x + yi a Theo đề bài |z 4* 1 - /| = |z -14- 2i ịx 4-1 4- (y - 1)/| = ịx “ 1 4- (y + 2)/| <=>(* + l) 2 + (y-l) 2 = (x- Ị) 2 +(y + 2) 2 o X 2 + 2x4- 1 4-y 2 - 2y + 1 = X 2 - 2* +1 -Ly 2 +4y + 4 <=> 4x - 6 y - 3 = 0. Vậy đáp án đúng là B Bải 2 . ■ Đặt số phức z = x + yi. Ta có: |z| = |z-3 + 4/| <=>|x4*y/| = |x-3 4*(4-y)/| <=> X 2 +y 2 = (x-3) 2 4*(4-y) 2 <=> X 2 +y ĩ “ X 2 - 6x + 9 4* y 2 - 8y +16 <=> 6x 4* 8>’ - 25 = 0 Vậy tập hợp những điểm M biếu diễn số phức z là đường thẳng 6x 4- 8jp - 25 = 0 =4> Đáp án đúng là A Bài 3 . ❖ Cách 1: Casio * Chọn số phức z = 2 thỏa mãn |z| = 2 vậy Wj =3-2/4* (2“/).2 = 7-4/. Ta có điểm biểu diễn của vv, là M(7;-4) ■ Chọn số phức z = -2 thỏa mãn |z| = 2 vậy w 2 = 3-2/4*(2“/).(-2) = -l4*0/. Ta có điểm màn biểu diễn số phức w 2 là V(-1;0) 293 • Chọn số phức z = 2 i thỏa mãn |z| = 2 vậy w, = 3 - 2/ + (2 - i).(2i) = 5 + 2/. Ta có điểm biểu diễn số phức w 3 là jP(5;2) 3p2b+(2pb)02b= CMPLH 0 Math A 5+2i ■ Sử dụng máy tính tìm phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P W527=p4=l-p7dp4d^pl=0=l-pld=5=2=l : = : p5dp2d=- >c il 0 MtthY 13 Y= MathTA z= -6 Sỉ Mkth À 4 -7 Vậy phương trình đư x 2 + y 2 - 6x + 4 y - 7 = 0 òng tròn car <=>(*-3) 2 +( 1 tìm là: y + 2) : = (V 20) ; sẽ có bán kính là r = -j2Ô :=> Đáp án đúng là B ❖ Cách 2: Tự luận ■ Vì đề bài yêu cầu tìm tập hợp điểm màn biểu diễn số phức vv nên ta đặt w = X + yỉ ■ Theođềbài w = 3-2i + (2-i)z z = 7 7 — — 2-1 x-3 + ịy + 2)i r*-3 + (y + 2)/~|(2 + /) 2x-y-S + (x + 2y +1) <=> z = ■ — = k -7 " --7 - — , x <=>* =-7- 2-i (2- /)(2 + /) 3 ■ Tac6|=| = 2^^y + (i^)'=4 o(2:c-y-8) 2 + (x + 2y-f l) 2 =100 o5r +5 y 2 -3ồx + 20y + 65 = 100 o X 1 + y 2 - 6x + 4y = 7 <=> (x ~ 3) : 4- (V 4- 2) 2 = ịỈ2ÕỴ Bải 4 » ■ Đặt số phức z = x + yi. -'ưacổr|z^p|[ư/)z| «Ị^>v--d|=|(x+>-;)(iư)|"^ựTy/|pF : õ^r : t : ỹF| T7 ” : <-> (A' — 1) + y 2 = (x-y) 2 +{x + y) 2 <=> X 2 - 2x + 1 + y 2 = X -2 xy + y 2 • .Y 7 +2xy y 2 ox 1 +y 2 + 2x-l = 0<=>(jc.+ l) 2 + y 2 ={'IJỴ : Vậy tập hợp cac điếm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 7(-l;0), bán kính R = yỈ2 Đáp án chính xác là D Bải 5 . H Đặt số phức z = x + yi. • Ta có |z| 2 = z 2 o Ịx + yi 2 = (X + yif <=>x 2 +y 2 = X 2 + 2 xyi + (yi) 2 294 " v ' ■ ' b’-ix = 0 Vậy tập họp các điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng y = 0 và y-ix = 0 => Đáp án chính xác là D Bài 6 . ■ Đặt số phức z = x + yi . ■ Nếu đáp số A đúng thì đúng vói mọi z = x + yi thỏa mãn ỵ= 3x 2 — 6x 4* 2 . Chọn một cặp (*;y) bất kì thỏa y = 3x 2 - 6x + 2 ví dụ 0;2) => z - 2/ Xét hiệu 2|z-l|-|z-z + 2/| 2qc2bpl$pqc2bp(p2b)+2b= CMPLX ta Mtth Ả 2l2i-il-l2i-( : 2t> -6+2^5 Vậy 2|z - l|-|z - ~z + 2/| = -6 + 2 >/5 0 => 2|z -1| * Ịz - z + 2/| => Đáp sổ A sai ■ Tương tự vói đáp số B chọn z = 1 - Y j • Xét hiệu 2|z -1| - |z ~ z + 2/| 2qclpabR2$pl$pqclpabR2$p(l+abR2$)+2b= CMPLX 12 Math A 2| 1-1-1 l-l 1-1- > 0 Vậy 2|z-l|-|z-z + 2ỉj = 0 =>2|z-l| = |z-z + 2zj => Đáp số B chính xác T. CASIO VÀ MẸO TÌM NHANH MIN MAX CỦA MÔĐUN SÔ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Bất đẳng thức thường gặp ■ Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho các số thực a,b,x,y ta luôn có (ax + by ) 2 < [a 2 + b 2 )(jc 2 + y 2 ). Dấu = xảy ra £ y ■ Bất đẳng thức Vectơ: Cho 2 vecto và v(x’;y’) ta luôn có 1 |“| + |^ <=> 4 ỵjx ử + y a > ^{x-xỶ+(y:~ỵf Dấu = xảy ra — = Ị- < 0 Ị .. ... * y' _ 295 2. Phương pháp mẹo sử dụng sử tiếp xúc ■ Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (c) bán kính R. Với mỗi điếm M thuộc đường tròn (c) thì cũng thuộc đường tròn (c r ) tâm gốc tọa độ bán kính OM = yju 2 + b 2 . +) Để I z lớn nhất thì OM lớn nhất đạt được khi đường tròn (C') tiếp xúc trong vói đường tròn (c) và OM "OI + R +) Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất đạt được khi đường tròn (c) tiếp xúc ngoài vói đường tròn (c) " Dạng 2: Cho số phức z có tập hợp các điêhì biểu diễn số phức z là đường thẳng 0) , Với mỗi điểm M thuộc (d) thỉ cũng thuộc đương tròn +) Đế I z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó OM vuông góc vói (d) và OM = d(0;(d)) da z o . f -b : 3 0 * Dạng 3: Cho số phức z cỏ tập hợp các diêm biểu diễn số phức z là Elip có đỉnh thuộc trục lơn A(a: 0) và đỉnh thuộc trục -nhò B(0:b) . Với mỗi điểm M thuộc .(.#) thì cũng thuộc đường tròn (£). +) Để z lớn nhất thì OM lớn nhất khi đó M trùng vói đỉnh thuộc trục lem và max|z| = OM = OA +) Để I^Ị nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó M trùng vói đỉnh thuộc trục nhỏ và max|z| = OM - OB Dạng 4: Cho số phức z có tập hợp các điếm biểu diễn số phức z là Hyperbol 2 2 (H):~ T -^rr = có hai đỉnh thuộc trục thực/P(-ứ;0),^(a;0) thì số phức z có môđưn a b nhỏ nhất nếu điểm biểu diễn số phức z này trùng với các đỉnh trên, (môđun lớn nhất không tồn tại). 296 II) ví DỤ MINH HỌA VDl -[Thi thử THPT Vĩnh Chân - Phú Thọ Tân 1 năm 2017] Trong những số phức z thỏa mãn điều kiện |z-2-4/| = |z-2/|. Tìm số phức z có môđun nhp nhất. A. z = -1 + ỉ B.z = -2+2/ Cz = 2+2/ D; 2 = 34:2/ Giải *> Cách Casio > Trong những số phức ở đáp án, ta sẽ tiến hành xắp xếp những số phức theo thứ tự môđun tăng dần: |-l + /|<|-2 + 2/| = |2 + 2/|<|3 + 2/| > Tiếp theo sẽ tiến hành thừ nghiệm tùng số phức theo thứ tự’ môđun tăng dần, số phức nào thỏa mãn hệ thức điều kiện z-2- 4/| = z - 2i đầu tiên thì là đúng Vói z = -l + / Xét hiệu: |(-1+/)-2-4/|-|(-l +/)-2/| qc(pl +b)p2p4b$pqcp 14-bp2b= CMPLX 0 M&th A IC—l+i 5—2—411 — 11> 272 Ra một giá trị khác 0 vậy z = -1 + / không thỏa mãn hệ thức. => Đáp án A sai > Tương tự như vậy vói z = 2 + 2/ qc2+2bp2p4b$pqc2+2bp2b= CMPLK 0 M&th A l2+2i-2“4il-l2+> Ũ Vậy số phức z-2 +2i thỏa mãn hệ thức => Đáp số c là đáp số đúng chuẩn ❖ Cách mẹo Gọi số phức -z có dạng z-a + bì. z thỏa mãn |z-2-4/ị==jz-2/| <=>.[«;-2 + (ồ-4)/| = |ứf + (ỗ-2)/j o(ứ“2) 2 +(Ố“4) 2 =a 2 + (/;-2) 2 ._^^íC~.4ữ±4,+Ặ 2 -4Ỏ±4 .o 4ứ + 4ố _= Ị 6 ^ _ _____: Trong các đáp án chỉ có đáp án c thỏa mãn a + b- 4 = 0 => Đáp án chính xác là c ❖ Cách tự luận Gọi số phức z có dạng z = a + bi . z thỏa mãn |z-2-4/| = |z-2/| oịa-2 4-(Z? — 4)/Ị = |ớ + (ố“2)/j o(c/“2) 2 -f(ố~4) 2 = <3 2 + (ồ-2) 2 <=> o 2 - 4ữ 4- 4 4 z> 2 - 8Ò 4-16 = ữ 2 4- b 2 - 4b 4 4 <=> Aa 4 4b = 16 o a 4 b = 4 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: 16 = (a 4 b) 2 < (l 2 41 2 )(a 2 4 ố 2 ) => |j| 2 -d' 4- b 2 >8 ịzị > 2fĩ ịa_b_ Dấu = xảy ra o ~ 1 oa = b = 2^>z = 2 + 2i [ũ + b = 4 297 VD2 -[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên íân 2 năm 2017] Với những số phức z thỏa mãn |( 1 + /) z + 1 - 7/ị = Ỉ2 . Tìm giá trị lớn số 1 của z A. max|z| = 4 B. max|z| = 3 c.max|z| = 7 D.max|zỊ = 6 Giải ❖ Cách mẹo > Gọi số phức z có dạng z = a + bi. z thỏa mãn Ị(l + /) z +1 - 7ìị = Ỉ2 ^ịa + bi){ + i)+-li=42 oa-h ++ = y/ĩ o(ữ"ồ + l) 2 +(a + b -7) 2 ~2 <=> lu 2 +2b 2 + 50 - 2a - 6b = 2 oa 2 +b 2 ~6a~~8b + 25 = <=>(a~~ 3) 2 +(b~4) 2 -1 > Ta có UỊ 2 -a 2 +b 2 = 6ơ + 8Ế-24 = 6(ứ-3) + 8(Ế-4) + 26 Theobc ít đẳng thức lỉu nhi acopxki ta có: 6 (a 3) + 8(ủ-4)<|6(ứ-3) + 8(/;-4)|.<^ -8-)[( 0 -3; f+(è_4) 2 ] = : 10 Vậy zf <36o|z|<6 ỂỂĩỀẾẫỀê’ đáp án D là đúng chuẩn ❖ Bình luận > Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá z là rất trở ngại vất vả, đòi hỏi học viên phải nắm rất vững bất đẳng thức Bunhiacopxki và những biến dạng của nó. > Trong tình huống của bài toán này, khi so sánh 2 cách giải ta thấy dùng mẹo tiếp xúc tỏ ra đcm giản dễ hiểu và tiết kiệm thời gian hơn. VP3 -[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z - 4| + z + 4| = 10, giá trị lớn số 1 và giá trị nhỏ nhất của z íân lượt là: • A.10 và 4 B. 5 và 4 c. 4 và 3 D. 5 và 3 298 Gỉảỉ *> Cách mẹo > Gọi số phức z có dạng z = a + bi . z thỏa mãn ịz “ 4| + z + 4| = 10 o cỉ - 4 + ỏ/ị + |ứ + 4 + ồ/| = 10 <=> y(r/-4) : -f/r + ^(tf + 4) 2 +/; 2 = 10 <-> Ặã+ 4 f +b 2 =10 — yỊịa - 4) 2 + /> 2 <=> r/ 2 + Sa 4-16 + b 2 = 100 4- a - 8c/ + 16 + b 2 - 20yJ(a - 4) 2 + b 2 <=>20^(«-4) 2 +6 2 =IOO-16ữ<=>5 N /(a-4) 2 +6 2 =25-4« o25(« : -8« +16 + ố 2 ) = 625- 200ứ + 16« 2 o9ữ 2 + 25Ố 2 =225 .2 »2 a b o + ^ 1 25 9 Vậy quỹ tích điểm màn biểu diễn số phức z là đưòng Elip đinh thuộc đáy lớn là /í(5;0), đỉnh thuộc đáy nhỏ là B{ỹ 3) > Với mỗi điểm M màn biểu diễn số phức z = a + bi thì M cũng thuộc đường tròn tâm ớ(0;0) bán kính yja 2 + b 2 . Ta gọi đây là đường tròn (C'), Môđun của z cũng là bán kính đưòng tròn (C‘) > Để bán kính (C') lớn số 1 thì M trùng với đinh thuộc trục lớn và M = /í(5;0) => OM = 5 => maxỊzỊ - 5 > Để bán kính (c r ) lớn số 1 thì M trùng vói đỉnh thuộc trục nhỏ và M £H#(0;3) => OM = 3 => min|z| = 3 => Đáp SỐ đúng là D ❖ Cách tự luận > Gọi số phức z có dạng z = a + bi . z thỏa mãn z - 4| + Ịz + 4| = Ị 0 <=> a - 4 + bi + a + 4 + bi = 10 <=> yj(ơ - 4) 2 + Ò 2 + + 4) 2 + ồ 2 = 10 o <Ị[a + 4) 2 + ố 2 + ^/(-ữ + 4) 2 + (-é) 2 = 10 Theo bất đẳng thức vecto, ta có: o 10 = Ậơ + 4) 2 + b 2 + yỊ(-~a + 4) 2 + (-Ỏ) 2 > ^[(<7 + 4)-(-Ỡ + 4)] 2 + [ố-(-ò)] 2 o 10 > l4a 2 + 4 b 2 <=> 10 > 2|z| =>|zỊ <5 > Ta có o ^/(tf-4) 2 + ồ 2 + ^(a + 4) 2 +/r = 10 Theo bất đẳng thức Burthiacopxki, ta có: 100 =|ự(á- 4) 2 + 6 2 + ^(a + 4) 2 +Mj 2 <(l 2 + l 2 )[(ứ-4) 2 + z> 2 + (ữ + 4) 2 +f> 2 ] <»100<2(2ữ 3 • 2/r + 32 ) 5 » 2 q 2 + 2g + 32> 50 <=> fl 2 + tr >9 Vậy Ịz| 2 >9«ỊzỊ<3 => 3 < |z| < 5 => đáp án D là đúng chuẩn 299 VD4 - I rong những sổ phức z thỏa mãn |z-2Ị-Ịz + 2| = 2, tìm sốphức z có môđun nhỏ nhất. A.z = l-V3/ B.z = -1 + V3/ c. Z = 1 D. z = V3 + i Giải ❖ Cách mẹo > Gọi sốphức z códạngz = x + y/ . z thỏa mãn |z-2|-|z + 2| = 2 <=> |x - 2 + - |x + 2 + yi = 2 <=> -1 - 2x = -J(.Y + 2) 2 +.)•" ị^-1- 2.V > 0 <=> X <. ~t j <=> I r 4x + 4.v ; X 2 r 4.V + 4 + V’ <=>x 2 Y = 1 Vậy tập hợp đ i ểm biể u diễn số phức z la Hypebol (//): X -Ệ- - V có 2 đính thuộc thực là d’(-l;0),5(l;0) > Số phức z = x + yi có điểm màn biểu diễn M(xy) và có môđun là OM = va 2 +è 2 . Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì M trùng với hai đinh của (//) M = A => A/(1;0) => z = 1 => Đáp án đúng là c BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 -Cho những SỐ phức z thỏa mãn |2z-2 + 2/j = l. Môđun z nhỏ nhất hoàn toàn có thể đạt được là bao nhiêu: . -I + 2 V 2 A. B. I + 2V2 C.V 2 + I D.n/2-1 2 2 Bải 2 -Trong những Số phức z thỏa mãn Iz - 3i| + |iz + 3 Ị = 10. Hai số phức z, và z 2 có môđun rứìỏ nhất. Hỏi tích z ỉ z 2 là bao nhiêu A. 25 B.-25 c. 16 D .-16 Bài 3 -Trong những số phức z thỏa mãn I iz ~ 3| = z - 2 - /|. Tírửì giá trị nhỏ rửìất của |z|. A. 1 B. ■ã c.v 5 D.-Ị= 75 LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài 1 ❖ Cách mẹo ■ Gc i |p phi xc z ~x+yì thc )a mãn |2z ~2 + 2/| -1 o| 2x-2 + 2y/ + 2/| = ;1. WÊÊ - i 2 , / .1 ; V v;-; , ó (2x 2) + + 2j - ỉ • '• >( • ' -0 + ( y • 1) =- iiiliii v ,' ■ •, . Vậy tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức z là điíờng tròn (c) có tâm /(1;-1) bán kính *=! 2 300 * Với môi điêm M(x:y) biêu diễn số phức z = x + yi sẽ thuộc đường tròn tâm o bán kính R' = ịzị-yJX 2 + y : . Vì vậy đê R~z nhỏ nhất thì đường tròn (C') phải tiếp xúc ngoài với đường (c) Khi đó điêm M sẽ là tiếp điếm của đường tròn (c) và (C') và z=om=oi-r=^ỊĨ s(lpO)d+(plpO)d$palR2= , CMPLX B M»tli Ạ Hl-ỏrH-l-ữ)** “ 1 + 2 V 2 ' ' 7 <* => Đáp SỐ đúng là A Bải 2 V Cách mẹo ■ Gọi sổ phức z = x + yi thỏa mãn z - 3/| +1 iz + 3| = 10 <=> x + (y- 3)/j + y + 3 + xi = 10 <=> yỊx' +(y - 3) : + yj(y + ĩy +r = 10 0 -J(ỹ+ĩỹ + x 2 =10- yịx 2 + (_y-3) i o [y + 3) 2 +x 2 - 100-20 yịx 2 +(y- 3) 2 +x 2 +(>>-3) 2 «20 A /xh(^3) ĩ = I00-12>> o25jt 2 + I6/ =400 <=>^r + -E = l Vậy tập hợp những điếm màn biểu diễn số phức z là đường Elip (£):^- + -^- = l có 2 đỉnh thuộc trục nhỏ là A(-4;Q.),A'(4Q.) Với mỗi điêm M{xỳ) màn biểu diễn số phức z = x + yì sẽ thuộc đường tròn tâm o bán kính R' - z = sịx 2 ~+ỹr . Vì elip (£) và đường tròn (c) có cùng tâm o nên để OM nhỏ nhất thì M là đỉnh thuộc trục nhó ^>M = A'=5z ị =-4,M^A=>z ? =4 Tổng hợp z v z 2 = (-4).4 = -16 => Đáp số đúng là D ❖ Mở rộng ị .. Nếu đề bài hỏi tích 2,22 với |^|,|^| có mức giá trị lớn số 1 thì hai điểm M biểư diễn hai số phức trên là hai đỉnh thuộc trục lớn 5(0;-5),/?'((); 5) => M '33 5’=> 2,=-5/, M = Ẩ=>Z 2 =5i 1 I Tôhg h ợp z r z 2 = 5/. (-5/) = -25Ỉ 2 =25 Bải 3 ❖ Cách mẹo ■ Gọi số phức 2 = X + yi thỏa mãn I ìz - 3| = z - 2 - /Ị o|~y~3 + x/j = |x-2 + (y-l)/| o(~y~3) 2 + Jt 2 =(x“2) 2 + (y-ì) 2 <=> y 2 4- 6y + 9 + X 2 = X 2 - 4x -I- 4 + y 2 - 2y + ỉ o JC + 2y +1 = 0 020 ^+(>>-3) 2 = 100-12_y 301 Vậy tập hợp những điểm màn biểu diễn số phức z là đường thằng (í/): x + 2y +1 - 0 ■ Với mỗi điểm M + ^Z 8.0;.^. c. 2 2022 P,2 1008 ... . Gỉảỉ ❖ Cách Casio 1 > Tírứì nghiệm của phương trình bậc hai z 2 + 2z + 2 = 0 bằng hiệu suất cao MODE 5 3 w531=2=2— Q. M&thY □ KàthYA -1+i -1-i > Ta thu được hai nghiệm z, =-l +/ và z 2 =-i - Với những cụm đặc biệt -1 + /, -1 -/ ta có điều đặc biệt sau: (-]+/) 4 =-4, (~|-/) 4 =-4 w2(pl+b) A 4= CMPLX E Ms.th A -4 Vậy p = zr +zf ,s = (-l+/f 6 + (-l-/)“' 6 =[(-l + /) 4 ] i0J + [(-l-/) 4 ] 504 __ ^„ 4 j 504 ^_ 4^ 504 __ 4 504 + 45(14 _ ọ 1008 _J_ 2 ỉ008 _ 2 2 1008 — 7 i00 Ngoài cách sử dụng tứìh Chat đặc biệt của cụm (-ĩ ± /) 4 ta cồ thể xư lý ~1±/ bằng cách đưa về dạng lượng giác bằng lệnh SHIFT 2 3 Vói 2 ị =-1 + i = r (cos ẹ + /sin ọ) pl+bq23= CMPLX 03 Math A ãLị% 303 Ta nhận được r = J 2 và góc

.z ] =• Vỉ í cos^- + /sin.-- ;=> 2, 2022 = ỊV > Tính cosỊ^2022.^j + /.sin 1^2022.““j 1 y s~ o r/n /1 di , 1 *r-/"'l -» X / o TX"T~» /( k2016Oa3qKR4$+bOj20160a3qKR4$))o= CMPLX 0 M»tti A cũs( 2 Ũ 16 x^+ìxí|> i z ^=(72p=2' M8 > Tương tự zf' 6 = 2 1008 => T = 2 ,0W VD3 . [Đề minh họa bộ GD và ĐT ĩân 1 năm 2017] Kí hiệu z,,z 2 ,z 3 và z 4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4 - z 2 - 12 = 0. Tính tổng: r =w + hl + w+kl A.r = 4 B.r = 2/3 c. r = 4 + 2>/3 D.r = 2 + 2^ Giải ❖ Cách Casio > Để tính nghiệm của phương trình ta dùng hiệu suất cao MODE 5. Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương z 4 - z 2 - í 2 = 0 thì ta coi z 2 = í khi đó phương trình trở thành t 1 - t- 12 = 0 w531=pl=pl2= a MathT 0 Xi= Xz= MathVA -3 Vậy t = 4 / = -3 hay z 2 =4 z 2 =-3 > Với z 2 = 4 => z = ±2 > Vói z 2 =■ -3 ta hoàn toàn có thể đi dụng hiệu suất cao MODE 5 ưa về z 2 = 3r o 2 cho phương trìn = ±yỈ3i với í' --1 . H h z 2 = -3 <=> z 2 +3 = 0 Dặc ta hoàn toàn có thể tiếp tục sủ w531=0=3— Xi= 0 MathT □ X2= MathTA m -■/Ti Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm +1 II N +1 íl > Tính T ta lại sử dụng hiệu suất cao tính môđưn SHIFT HYP W2qc2$+qcp2$+qcs3$b$+qcps3$b- CMPLX s ' Math ▲ I2I + I-2I + IV3Ĩ l-tt> 4+2^3 Đáp án đúng là c 304 VD4 . [Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lân 3 năm 2017] Giải phưong trình saù trên tập số phức: z y + (/'+ l)z 2 + (/ + l)z + i = 0 A. z = -/ B.z=~ + yi c. z.= -i-y-/ D. Cả A, B, c đều đúng Gzíìz ❖ Cách Casio 'r Để kiểm tra nghiệm của một phưong trình ta sử dụng hiệu suất cao CALC Q.) A 3$+(b+l )Q.)d+(b+l )Q.)+brpb= X? CMPLX Q. M3.th À x 3 +(i+nx 2 +(i+ii> -i 0 Vậy z = -ị là nghiệm ^ ị > Tiếp tục kiểm tra z = nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa lả đáp án D đúng chuẩn. Nếu giá trị này sẽ không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất. rp(lP2)+(s3)P2)b- CMPLX □ M*th A X 3 +(i+l)X 2 +íi+Jt : - 0 Vậy z = ]_ 2 tiếp tục là nghiệm nghĩa là đáp án A và B đều đúng ^ Đáp án đúng là D ❖ Cách tự luận > Để giải phương trình số phức xuất hiện số i trong đó ta không thể sử dụng chức năng MODE 5 được mà phải tiến hành nhóm nhân tó chung Phướng trình o z 3 +z 2 +z + (z 2 +z + l)/ = 0 <=>(z + /)(z 2 +z + 1) = 0<=> z ~ 1 J ■ > Phương trình z 2 + z +1 = 0 không chứa số / nên ta hoàn toàn có thể sử dụng máy tính Casio với hiệu suất cao giải phương trình MODE 5 w531=l=l= Xi= Q. MathT □ MithTA Tóm lại phương trình có 3 nghiệm 2 - -/; z = I_s. 2 2 1 => D là đáp án đúng chuẩn VD5 . [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Trong những phương trình dưới đầy, phương trình nào có hai nghiệm z, = Ị + Vĩ ;z 2 = 1 - ^ A. z 2 + iyỈ3z+ 1 = 0 B.z 2 + 2z + 4 = 0 C.z 2 -2z + 4 = 0 D. z 2 -2z~4-0 305 Giải > Ta hiểu phương trình bậc hai ơx 2 + bx + c = 0 nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định b lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức) Z Z 2 > Tính z ] + z 2 = 2 w21+s3$b+lps3$b= CMPLX g Mỉtth & Tính z,z, = 4 (l+s3$b)(lps3$b)= 2 CMPLX B Mith À (1+J3ìK1-J30 4 Rõ ràng chỉ có phương trình z 3 - 2z 4- 4 = 0 có — = 2 và — = 4 ==> Đáp số đúng là c VD6. ÍThi thử'chuv.ên Khoa 1 0m Õ- r- 1 ỉn lân 1 năm 2022] ÊỉễilÊỂMẾ ISiiii Phướng trình z 2 + iz +1 = 0 A. 2 B.l CÓ bao nhi êu nghiệm trong tập c.o SỐ phức: ĐV sillii 1 r ôs Ố iili Giải > Ta phân biệt: Trên tập số thực phương trình bậc hai ax 2 +bx + c^ 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu A>0, có hai nghiệm kép nếu A=0, vô nghiệm nếu A<0. Tuy nhiên trên tập số phức phương trình bậc hai ox 2 +bx + c~ 0 có một nghiệm duy nhất nếu A = 0, có hai nghiệm phân biệt nếu A ^ |_A < 0 > Vậy ta chi cân tính ầ là xong. Với phương trình z 2 + /z + l=0 thì A=ỉ 2 - 4 = -5 là một đại lượng < 0 vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt => Đáp số đúng là A. (1-0’°(V3+/) 5 VD7 . Ph'ân thực của số phức z là bao nhiêu biết z = —-- _ ' ĩo. (-,-,- 75 ) A.-1 + i B. 1 C.3-2/ D.2 5 / Giải > Để xử lý SỐ phức bậc cao (> 3) ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng _ . Z Ị°' Z Ị công thức Moa-vơ. Và để dê nhìn ta đặt z = 1 0 z 3 > Tính z, = 1 - / = r (cos <3 + /sin ọ). Để tính r và ẹ ta lại sử dụng hiệu suất cao SHIF 2 3 lpbq23= 306 □ ' Maith Á CMPLX_ ãi-ị « Vậy z, = /2^cos—p + isin—Ị^-j zỊ° = p2j ^coslO.—^• + ;sinlO.-^j Tứửicosl 0 .^ + 7 sin 10 .^- ỵ.ịặ; ỂÊệềỉ ỀÉỂẫầ 'Éiii! ilií iiil . : • klOOapqKR4$)+bjlOOapqKR4S)= CMPLX Q. Math Á CŨSÍIO-Ĩ^Ì +ìsir t> -i Vậy z , 10 = (V 2 )* ./ = 2 5 ./ > Tương tự z 2 = 2 5 Ị^cos5.y +/sin 5.™J = 2 5 44 2 2 1 _ o 10 1 s.) J 2 l~ 2 ~ 2 'J Tổng hợp z = z!°.zi 2 5 i.2 5 .73 ^ 1 ; - ■— + - - / 2 2 ,i_73 i 2 2 ; a2 A 5$bO2 A 5$(pas3R2$+alR2$b)R2 A 10$(palR2$pas3R2$b)= CMPLX . 0 Math > iuirư! LaJ inứ.1.11 ^ * 10 (-ị-#õ Vậy z = 1 => Đáp số đúng là B BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 . [Thi thử chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa lần 2 năm 2017] Cho phương trình z 2 - 2z + Ị 7 = 0 có hai nghiệm phức Zj và z 2 . Giá trị của |Zị 14- Ịz 2 1 là: A. 2 VĨ 7 B. 2 VĨ 3 c. 2 VTÕ Đ.2f5 Bải .2 . [Đề thi toán Đại học -Caojđẳng khối A năm 2009] Gọi z,,z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 + 2z 4- Ị 0 = 0 . Tính giá tri biểu thức A = N 2+ N 2 : 4 V 4 7 A. 2 / 1 Ố B. 20 . c 5 s D.I 0 V 3 Bài 3 . [Thi thử Group Nhóm toán lần 5 năm 2017] Kí hiệu z 1? z 2 ,z 3 là nghiệm của phương trình z 3 4- 27 = 0 . Tính tổng T = |zị| + |z 2 | + |r 3 A.r = o B.r- 3 V 3 CJ = 9 D. T = 3 Bài 4 . [Thi thử THPT Bảo Lâm - Lâm Đồng lần 1 năm 2017] Gọi z,, 2 ,, z 3 , z 4 là bôh nghiệm phức của phương trình 2z 4 - 3z 2 - 2 = 0. Tính tổng sau: 307 D .-Jĩ 7 ’ = l Z l| + kỉ + | Z 3Ỉ + l Z 4| A. 5 B.5-72 C. 3 V 2 Bài 5 . [Thi thử THPT Bảo Lâm - Lâm Đồng lần 1 năm 2017] Xét phương trình z 3 = 1 trên tập số phức. Tập nghiệm của phương trình là: A - S j« Bài 6. Biết z là nghiêr n củ a phương trình z +ỉ - 1. Tính giá trị biểu thức ; 'V rì.. ■ ■ IIH Á.p = 1 ‘,p =0 rì : c./>=;-| : rì - ' n.p=-ị':;, ' : Ệặ LỜI GIẢI BÀI TẬP Tự LUYỆN Bải 1 . Chọn A. ❖ Cách Casio H Tìm hai nghiệm của phương trình w531=p2=17= E Xi= z 2 - 2z +17 = 0 MathV B MathVA ■ l+4i Tính tổng hai môđưn bằng lệnh SHIFT HYP w2qcl +4b$+qc 1 p4b= CMPLX s Math A I l+4i1 + 11—4iI 1—4i 2ÌĨ7 Vậy |zj| + |z 2 | = 2>/Ĩ7 => Đáp số đúng là A Bài 2 « Chọn B. ❖ Cách Casio B Tìm hai nghiệm của phtLơng trình z 2 + 2z 4-10 = 0 w531-2=10= Xi= s HathT X2= s HathVA -l+3i -l-3i Bải 3 . Chọn c. ❖ Cách Casio 308 Tính nghiệm của phương trình r + 27 = 0 bằng hiệu suất cao MODE 5 4 w541=0=0=27— Xi= Q. Matr.T . ' 1 |J □ KUthYÀ •? / JLm Màth À A3— 5 ■ _ _3 , 3n/3 . _ 3 W3 ; ậy 2,= ;2 JL ,z ’ 2 2 . ■ Tính tổng môđun 7’ = |z l | + |z,| + Ị 2 1 | w541=0=0=27==wlw2qcp3$+qca3R2$+a3s3R2$b$+qca3R2$pa3s3R2$b= CMPLX □ Mi.tr* A I •■=: •. pET I Ị 1-31 + 11+ 2 i I + 1 Vậy r = 9 => Đáp số chínlì xác là c Bải 4 . Chọn c. <* Cách Casio B Đặt t -z 2 . Tìm nghiệm của phương trình 2r - 3/ - 2 = 0 w532=p3=p2= 0 MĩđhV Xi= &= Q. MathTÁ ■ 2 • Tính tổng môđun 7’ = |z 1 | + ịz 2 | + |z-,| + |2j| w2qcs2$$+qcps2$$+qcabRs2$$$+qcapbRs2= CMPLX s M*th Á 3/2 Vậy T = 3 V 2 => Đáp số đúng là c Bải 5 . Chọn c. ❖ Cách Casio ■ Giải phương trình bậc ba z : ' - 1 = 0 vói hiệu suất cao MODE 54 w541=0=0=pl= 309 MaithV MathTA Xi = Xs= X2= i+iHi E Mĩth A 4-#i 2 2 1 ■ Phương trình có 3 nghiệm X, = l,x 2 = => Đáp số đúng là c Bải 6 . Chọn A. * Cách Casio 1 >6. . + — — /,x. =- 2 2 2 2 1_4 w531=pl=l Xi= 0 Mkthv i + ^i X2= E MathVA 4-#ĩ 2 2 1 2 2 1 2 2 1 Ta thu được hai nghiệm z nhưng hai nghiệm này còn có vai trò như nhau nên chỉ có thể việc lấy một nghiệm z đại diện là được. Với z = t-4; ta chuyển về dạng lượng giác => z = lỊ^cos j + /sin jj alR2$+as3R2$bq23= CMPLX 0 Math A _CMPLX E 1 I '4 - Lnyủ Wk20090aqKR3$)+bj20090aqKR3$)=qJz Cũs(ãif)iỉ Ans*Â CMPLX 0 Math A 0.5-0.866025403► 0.5-0.866025403► Tông kết /> = ^ + X = l Qz+alRQz= CMPLX 0 Mĩth A Đáp số đúng là A. 310 Mục lục HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN * T.Casio giải đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2022 ..3 * T.Casio giải đề minh họa Bộ GD và ĐT lần 1 năm 2022.19 ♦> T.Casio tìm nhanh giá trị lớn số 1 “ nhò nhất của hàm số.35 T.Casio tìmnhanh khoảng chừng đồng biến nghịch biến của hàm số......43 ♦> T.Casio tìm nhanh bài toán cực trị hàm số...52 ♦> T.Casio tìm nhanh tiếp tuyến của đồ thị hàm số.62 ♦> T.Casio tìm nhanh số lượng giới hạn xác định - vô định của hàm số.68 * T.Casio tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm số.72 ♦> T.Casio giải nhanh bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số. 80 ♦> T.Casio tìm nhanh đạo hàm số 1, bậc hai, bậc n của hàm số.88 HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT ♦> T.Casio tìm nhanh nghiệm của phương trình Mũ-Logarit.96 ♦> T.Casio tìm số nghiệm phương trình Mũ-Logarit (Pl).105 T.Casio xác định nhanh số nghiệm phương trình vô tỉ - Mũ-Logarit (P2)....113 ♦> T.Casio giải nhanh bất phương trình Mũ-Logarit (Pl).121 *> T.Casio giải nhanh bâ't phương trình Mữ-Logarit (P2).131 ❖ T.Casio tìm nhanh số chữ số và so sánh hai lũy thừa mũ cao khác cơ số.138 •> T.Casio tính nhanh giá trị biểu thức Mũ-Logarit. 147 * T.Casio chúng minh nhanh tính đúng sai của mệnh đề Mũ-Logarit..;.157 ❖ T.Casio giải nhanh bài toán chứa tham số Mũ-Logarit........165 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN ♦> T.Casio tìm nhanh họ nguyên hàm của hàm số.173 ♦> T.Casio tính nhanh giá trị của tích phân xác định.186 ♦> T.Casio tính nhanh diện tích s quy hoạnh hình phẳng. 196 ♦> T.Casio tính nhanh thê’ tích khối tròn xoay.206 ♦> T.Casio tìm nhanh quãng đường vật hoạt động và sinh hoạt giải trí biến hóa...215 ❖ T.Casio giải bài toán tích phân chống lại Casio.221 HÌNH TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ♦> T.Casio xác định nhanh vị trí trương đối của đường thẳng, mặt phẳng,..232 ♦> T.Casio xác định nhanh khoảng chừng cách trong không khí Oxyz...240 ❖ T.Casio tìm hình chiếu vuông góc của một điểm, một đường thẳng.251 ♦> T.Casio tính nhanh thể tích hình chóp và diện tích s quy hoạnh tam giác.259 ♦> T.Casio tính nhanh góc giữa vecto, đường thẳng, mặt phẳng.266 SỔ PHỨC > T.Casio tìm nhanh phần thực - phần ảo - môđun - Acgument của số phức...275 > T.Casio màn biểu diễn hình học số phức trên tọa độ thực ảo.283 > T.Casio và mẹo giải nhanh bài toán quỹ tích những điểm màn biểu diễn số phức.288 > T.Casio và mẹo tìm nhanh min max của môđun số phức.. 295 > T.Casio và mẹo giải nhanh phương trình số phức - dạng lượng giác của số phức .....................302 NHÀ XUẤT BẢN THANH HÓA Số 248 - Trần Phú - p. Ba Đình - TP. Thanh Hóa Điện Thoại: (037). 3723.797 - 3853.548 Fax: (037) 3853.548 E-mail: THỦ THUẬT CASIO GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN 12 VƯƠNG THANH BÌNH Chịu trách nhiệm xuất bản ThS. HOÀNG VĂN TÚ Chịu trách nhiệm nội dung NGUYỄN HỮU NGÔN Biên tập: ThS. HỒ THỊ PHƯƠNG Vẽ Bìa: Công ty KHANG VIỆT Trình bày: Công ty KHANG VIỆT Sửa bản in: Công ty KHANG VIỆT Đối tác LKXB: CÔNGTYTNHH MTV DỊCH VỤ VĂN HÓA KHANG VIỆT ( Địa chỉ: 71 Đinh Tiên Hoàng - P.Đa Kao - Q1 -TP.Hồ Chí Minh Điện thoại: 08. 39115694-39105797 - 39111969 - 39111968 Fax: 08. 3911 0880 E-Mail: I Gmail: VVebsite: www.khangvietbook.com ^ISBN: 978-604-74-3113-7 In: 1.000 cuốn. Khổ: 20x30 cm, tại: CÔNG TY Trách Nhiệm Hữu Hạn sx DV TM Bao Bì Kiến Á Địa chỉ: 320/32A, Trần Bình Trọng, P.4, Q5, TP. Hồ Chí Minh. So xác nhận ĐKXB: 580-2022/CXBIPH/07-12/ThaH, ngày 2 tháng 3 năm 2022 QĐ xuất bản sổ 66/QĐ-NXBThaH, ngày 14 tháng 3 năm 2022. In xong và nộp lưu chiểu: Quý 11/2022. Tải thêm tài liệu liên quan đến nội dung bài viết Mode7 casi tại sao start là

Clip Mode7 casi tại sao start là ?

Bạn vừa Read nội dung bài viết Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về Clip Mode7 casi tại sao start là tiên tiến nhất

Chia Sẻ Link Tải Mode7 casi tại sao start là miễn phí

Quý khách đang tìm một số trong những Chia Sẻ Link Cập nhật Mode7 casi tại sao start là miễn phí.

Giải đáp thắc mắc về Mode7 casi tại sao start là

Nếu sau khi đọc nội dung bài viết Mode7 casi tại sao start là vẫn chưa hiểu thì hoàn toàn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Mình lý giải và hướng dẫn lại nha #Mode7 #casi #tại #sao #start #là - 2022-11-22 16:50:14

Post a Comment